相似三角形应用举例课件人教版九年级数学下册

第二十七章27.2.3相似三角形应用举例课堂环节导航新知导入知识探究课堂小结学习目标课堂检测课后作业新知导入怎样测量这些非常高大

的物体的高度？1.能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简单的几何推理.2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，能利用相似三角形的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高度和宽度的测量问题.学习目标

据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.知识点1利用相似三角形测量高度知识探究素养考点1利用相似三角形测量高度知识探究解：太阳光是平行的光线,因此∠BAO=∠EDF.因此金字塔的高为134m.又∠AOB=∠DFE=90°，例1、如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.∴△ABO∽△DEF.【总结】测量不能到达顶部的物体的高度

测高方法一：可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.表达式：物1高：物2高=影1长：影2长知识探究巩固练习1．如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（

）

CAFEBO┐┐还可以有其他测量方法吗？△ABO∽△AEF平面镜【想一想】知识探究知识探究测高方法二：可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.【归纳总结】测量不能到达顶部的物体的高度2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P

处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C

处，已知AB=2米，且测得

BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米B知识探究素养考点2利用相似三角形测量宽度知识探究

如图，为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,RT确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据,计算河宽PQ.知识探究分析：设河宽PQ长xm,由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到_______∽_______，△PST△PQR再解x的方程可求出河宽．因此有即已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据,计算河宽PQ.知识探究解：

设河宽PQ长Xm，依题意得：a//b∴△PST∽△PQR∴∴解得X=90

因此河宽为90m。经检验：X=90是原分式方程的解。已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据,计算河宽PQ.【讨论】测量前面例题中的河宽，你还有哪些方法？【方法总结】利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字型，也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离．知识探究巩固练习3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．

此时如果测得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求两岸间的大致距离AB．EADCB30m24m80m巩固练习解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

解得AB=64.因此，两岸间的大致距离为64m.EADCB30m24m80m巩固练习测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.【归纳总结】例3

已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内．素养考点3利用相似三角形测量有遮挡的物体图（1）仰角水平线视线知识探究解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．由题意可知，AB⊥l，CD⊥l∴AB∥CD，△AEH∽△CEK即解得EH＝8（m）由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．图（2）∴知识探究【讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是怎样的【方法总结】一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．知识探究4.

如图，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，DH⊥BC，DH交EF于G点，则AD＝_____＝_____，图中的相似三角形是______∽______．EGBH△DGF△DHC巩固练习1.

如图，要测量旗杆AB

的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE

的长以及DE

和AB

在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（）

A．B．

C．D．C课堂检测2.

如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C

处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是____米．

8课堂检测3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．

此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．EADCB60m50m120m课堂检测解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴

，即，解得AB=100(m).因此，两岸间的大致距离为100m.EADCB60m50m120m课堂检测

4.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.ABCDGEF课堂检测ABCDGEF解：由题意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，则

解得：AC=10，AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）.答：旗杆的高度为11.5m.∴

课堂检测

5.如图，某一时刻，旗杆AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．ABCD课堂检测解：如图：过点D作DE∥BC，交AB于点E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA:ED=1:1.2，∴AE=8m，∴AB=AE+EB=8+2=10(m)，故学校旗杆的高度为10m.EABCD课堂检测课堂检测6．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（

）A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m7．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为______．

A1.5米课堂检测8.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D