微积分初步形成性考核册答案

微积分初步形成性考核册答案一、函数

（一）单项选择题1.函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x1}}\)的定义域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\geq1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\leq1\)答案：A解析：要使根式有意义，则根号下的数大于\(0\)，即\(x1\gt0\)，解得\(x\gt1\)。

2.函数\(f(x)=\frac{x^21}{x1}\)，当\(x=1\)时，函数值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.无定义答案：D解析：当\(x=1\)时，分母\(x1=0\)，分式无意义。

3.函数\(y=\sinx\)是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案：A解析：根据奇函数的定义\(f(x)=f(x)\)，对于\(y=\sinx\)，\(\sin(x)=\sinx\)，所以是奇函数。

4.函数\(y=x^3+1\)的反函数是（）A.\(y=\sqrt[3]{x1}\)B.\(y=\sqrt[3]{x+1}\)C.\(y=\sqrt[3]{x1}1\)D.\(y=\sqrt[3]{x+1}1\)答案：A解析：由\(y=x^3+1\)，得\(x^3=y1\)，所以\(x=\sqrt[3]{y1}\)，将\(x,y\)互换得反函数\(y=\sqrt[3]{x1}\)。

5.下列函数中，（）是基本初等函数。A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\sinx+\cosx\)答案：C解析：基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，\(y=2^x\)是指数函数，属于基本初等函数。

（二）填空题1.函数\(y=\sqrt{2x+3}\)的定义域是______。答案：\(x\geq\frac{3}{2}\)解析：要使根式有意义，则\(2x+3\geq0\)，解得\(x\geq\frac{3}{2}\)。

2.已知函数\(f(x)=x^22x+3\)，则\(f(0)=\)______。答案：\(3\)解析：将\(x=0\)代入\(f(x)=x^22x+3\)，得\(f(0)=0^22\times0+3=3\)。

3.函数\(y=\cosx\)的周期是______。答案：\(2\pi\)解析：根据余弦函数的周期性质，\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。

4.函数\(y=2^x\)与\(y=\log_2x\)的图象关于直线______对称。答案：\(y=x\)解析：指数函数\(y=a^x\)与对数函数\(y=\log_ax\)的图象关于直线\(y=x\)对称。

5.函数\(y=\lnx\)的定义域是______。答案：\((0,+\infty)\)解析：对数函数\(y=\lnx\)的定义域是\((0,+\infty)\)。

（三）解答题1.已知函数\(f(x)=\frac{2x1}{x+1}\)，求\(f(0),f(1),f(1)\)。解：\(f(0)=\frac{2\times01}{0+1}=\frac{1}{1}=1\)；\(f(1)=\frac{2\times11}{1+1}=\frac{1}{2}\)；\(f(1)=\frac{2\times(1)1}{1+1}\)，分母为\(0\)，无意义。

2.判断函数\(f(x)=\frac{e^xe^{x}}{2}\)的奇偶性。解：首先，函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，关于原点对称。然后，计算\(f(x)\)：\(f(x)=\frac{e^{x}e^{x}}{2}=\frac{e^{x}e^{x}}{2}=f(x)\)所以，函数\(f(x)=\frac{e^xe^{x}}{2}\)是奇函数。

3.求函数\(y=3x^22x+1\)的单调区间。解：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），其对称轴为\(x=\frac{b}{2a}\)。在函数\(y=3x^22x+1\)中，\(a=3\)，\(b=2\)，则对称轴为\(x=\frac{2}{2\times3}=\frac{1}{3}\)。因为\(a=3\gt0\)，所以函数图象开口向上。那么函数的单调递减区间是\((\infty,\frac{1}{3})\)，单调递增区间是\((\frac{1}{3},+\infty)\)。

4.已知函数\(y=\frac{1}{x1}\)，作出其图象，并求其值域。解：列表：|\(x\)|\(y\)|||||\(0\)|\(1\)||\(2\)|\(1\)||\(1\)|\(\frac{1}{2}\)||\(3\)|\(\frac{1}{2}\)|描点、连线，得到函数图象。由图象可知，当\(x\neq1\)时，\(y\neq0\)，所以函数的值域是\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。

二、极限与连续

（一）单项选择题1.当\(x\to0\)时，\(\sin2x\)与\(x\)相比是（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小答案：D解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin2x}{2x}=2\)，极限为常数且不为\(1\)，所以是同阶但不等价无穷小。

2.极限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}=(\)\)A.\(e^2\)B.\(e^3\)C.\(e^6\)D.\(e\)答案：C解析：根据重要极限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)，\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}=\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^6=e^6\)。

3.函数\(f(x)=\frac{x^21}{x1}\)在\(x=1\)处（）A.有定义B.连续C.有极限D.既无定义又无极限答案：C解析：\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)，所以在\(x=1\)处有极限。

4.若函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)，则\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)=(\)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.不存在答案：B解析：当\(x\to0^\)时，\(f(x)=x+1\)，所以\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)=\lim\limits_{x\to0^}(x+1)=1\)。

5.函数\(f(x)=\frac{1}{x^21}\)的间断点是（）A.\(x=1\)B.\(x=1\)C.\(x=1\)和\(x=1\)D.无间断点答案：C解析：函数\(f(x)=\frac{1}{x^21}\)的分母不能为\(0\)，即\(x^21=0\)，解得\(x=\pm1\)，所以\(x=1\)和\(x=1\)是间断点。

（二）填空题1.当\(x\to0\)时，\(x^2+\sinx\)是比\(x\)______阶的无穷小。答案：同解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2+\sinx}{x}=\lim\limits_{x\to0}(x+\frac{\sinx}{x})=0+1=1\)，所以是同阶无穷小。

2.极限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x1}{2x^23x+2}=\)______。答案：\(\frac{3}{2}\)解析：分子分母同时除以\(x^2\)，\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x1}{2x^23x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}\frac{1}{x^2}}{2\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}=\frac{3}{2}\)。

3.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，则\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)]^2=\)______。答案：\(A^2\)解析：根据极限的运算法则，\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)]^2=[\lim\limits_{x\toa}f(x)]^2=A^2\)。

4.函数\(f(x)=\frac{x^24}{x2}\)在\(x=2\)处______（填"连续"或"不连续"）。答案：不连续解析：\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^24}{x2}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=4\)，但\(f(2)\)无定义，所以不连续。

5.函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt1\\2x,&x\geq1\end{cases}\)，则\(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\)______。答案：\(2\)解析：当\(x\to1^+\)时，\(f(x)=2x\)，所以\(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}2x=2\)。

（三）解答题1.计算极限\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}\)。解：\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)

2.计算极限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。解：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3\sin3x}{3x}=3\)

3.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt0\\2x1,&x\geq0\end{cases}\)，讨论\(x=0\)处的连续性。解：首先计算\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)\)：当\(x\to0^\)时，\(f(x)=x^2+1\)，所以\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)=\lim\limits_{x\to0^}(x^2+1)=1\)。然后计算\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\)：当\(x\to0^+\)时，\(f(x)=2x1\)，所以\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(2x1)=1\)。因为\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)\neq\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\)，所以函数在\(x=0\)处不连续。

4.求函数\(y=\frac{1}{x2}\)的间断点，并判断其类型。解：函数\(y=\frac{1}{x2}\)的分母不能为\(0\)，即\(x2=0\)，解得\(x=2\)。当\(x\to2\)时，\(\lim\limits_{x\to2}\frac{1}{x2}=\infty\)，所以\(x=2\)是无穷间断点。

三、导数与微分

（一）单项选择题1.函数\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线斜率为（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(6\)D.\(9\)答案：B解析：对\(y=x^3\)求导得\(y^\prime=3x^2\)，将\(x=1\)代入得\(y^\prime|_{x=1}=3\times1^2=3\)，即切线斜率为\(3\)。

2.设\(y=