不等式的应用之方案选择

不等式的应用之方案选择一、引言在实际生活和工作中，我们常常会面临各种方案选择的问题。通过建立不等式模型，可以帮助我们在多种可能的方案中找到最优解或满足特定条件的可行方案。不等式的应用在经济、工程、管理等众多领域都有着广泛的应用，它能够为决策者提供科学的依据，使决策更加合理和有效。本文将通过具体的实例，详细阐述不等式在方案选择问题中的应用。

二、不等式在经济领域方案选择中的应用

（一）生产方案选择某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产一件甲产品需要消耗原材料A2千克，原材料B3千克；生产一件乙产品需要消耗原材料A4千克，原材料B2千克。现有原材料A100千克，原材料B80千克。甲产品每件利润为500元，乙产品每件利润为600元。问如何安排生产方案才能使利润最大？

设生产甲产品\(x\)件，生产乙产品\(y\)件。

根据原材料的限制可得不等式组：\(\begin{cases}2x+4y\leq100\\3x+2y\leq80\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)

利润\(Z=500x+600y\)

通过解不等式组并结合目标函数求最值。

由\(2x+4y\leq100\)可得\(x\leq502y\)。

由\(3x+2y\leq80\)可得\(x\leq\frac{802y}{3}\)。

在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域。

然后通过平移目标函数\(Z=500x+600y\)的直线，找到在可行域内使得\(Z\)最大的点。

联立\(\begin{cases}2x+4y=100\\3x+2y=80\end{cases}\)解方程组得\(\begin{cases}x=10\\y=20\end{cases}\)

将\((10,20)\)代入目标函数\(Z=500×10+600×20=17000\)（元）

所以，当生产甲产品10件，乙产品20件时，利润最大，最大利润为17000元。

（二）销售方案选择某商场计划销售A、B两种商品，经市场调研，发现A商品每件进价为20元，售价为30元；B商品每件进价为35元，售价为50元。商场准备用不超过3000元购进A、B两种商品共100件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1100元。问该商场有几种进货方案？哪种进货方案利润最大？

设购进A商品\(x\)件，则购进B商品\((100x)\)件。

根据资金限制和利润要求可得不等式组：\(\begin{cases}20x+35(100x)\leq3000\\(3020)x+(5035)(100x)\geq1100\\0\leqx\leq100\end{cases}\)

解第一个不等式：\(20x+350035x\leq3000\)\(15x\leq500\)\(x\geq\frac{100}{3}\approx33.33\)

解第二个不等式：\(10x+150015x\geq1100\)\(5x\geq400\)\(x\leq80\)

所以不等式组的解集为\(\frac{100}{3}\leqx\leq80\)，因为\(x\)为商品数量，应为整数，所以\(x\)可以取34、35、36、......、80，共47种取值。

则\(100x\)也有相应的取值。

利润\(Z=(3020)x+(5035)(100x)=10x+150015x=15005x\)

因为\(Z=15005x\)是关于\(x\)的一次函数，且\(k=5<0\)，所以\(Z\)随\(x\)的增大而减小。

所以当\(x=34\)时，\(Z\)有最大值，此时\(100x=66\)。

即购进A商品34件，B商品66件时利润最大。

三、不等式在工程领域方案选择中的应用

（一）工程进度方案选择一项工程，甲工程队单独做需要30天完成，乙工程队单独做需要20天完成。现在甲工程队先做10天后，剩下的工程由甲乙两队合作完成。已知甲队每天的费用为800元，乙队每天的费用为1200元。问如何安排甲乙两队合作天数，既能在规定时间内完成工程，又能使工程费用最低？

设甲乙两队合作\(x\)天。

甲队先做10天完成的工作量为\(\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)。

甲乙两队合作完成的工作量为\((\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x\)。

根据工程总量为1，可得不等式：\(\frac{1}{3}+(\frac{1}{30}+\frac{1}{20})x\geq1\)

\(\frac{1}{3}+(\frac{2}{60}+\frac{3}{60})x\geq1\)\(\frac{1}{3}+\frac{5}{60}x\geq1\)\(\frac{5}{60}x\geq1\frac{1}{3}\)\(\frac{5}{60}x\geq\frac{2}{3}\)\(x\geq8\)

工程费用\(Z=800×(10+x)+1200x=8000+800x+1200x=8000+2000x\)

因为\(Z=8000+2000x\)是关于\(x\)的一次函数，且\(k=2000>0\)，所以\(Z\)随\(x\)的增大而增大。

所以当\(x=8\)时，费用最低。

即甲乙两队合作8天，既能在规定时间内完成工程，又能使工程费用最低。

（二）资源分配方案选择某水利工程需要修建一条堤坝，有两种施工方案可供选择。方案一：使用A型材料，每米造价2000元，修建速度为每天20米；方案二：使用B型材料，每米造价3000元，修建速度为每天30米。现有资金1000000元，要求在30天内完成堤坝修建。问如何选择施工方案，既能满足资金和时间要求，又能使堤坝修建长度最长？

设方案一施工\(x\)天，方案二施工\(y\)天。

根据资金和时间限制可得不等式组：\(\begin{cases}2000×20x+3000×30y\leq1000000\\x+y\leq30\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)

化简第一个不等式：\(40000x+90000y\leq1000000\)\(4x+9y\leq100\)

由\(x+y\leq30\)可得\(x\leq30y\)。

将其代入\(4x+9y\leq100\)得：\(4(30y)+9y\leq100\)\(1204y+9y\leq100\)\(5y\leq20\)\(y\leq4\)

因为\(x+y\leq30\)，所以\(x\geq26\)。

修建长度\(L=20x+30y\)

当\(y=4\)，\(x=26\)时，\(L=20×26+30×4=520+120=640\)（米）

所以选择方案一施工26天，方案二施工4天，既能满足资金和时间要求，又能使堤坝修建长度最长，最长为640米。

四、不等式在管理领域方案选择中的应用

（一）人员调配方案选择某公司有两个部门，部门A有员工30人，部门B有员工20人。现要从这两个部门中抽调人员去完成一项紧急任务，要求抽调后部门A的人数不少于部门B人数的1.5倍，且抽调的总人数不超过15人。问有几种抽调方案？如何抽调能使留下的员工在后续工作中效率最高（假设每个员工效率相同）？

设从部门A抽调\(x\)人，则从部门B抽调\((15x)\)人。

根据人数关系可得不等式组：\(\begin{cases}30x\geq1.5(20(15x))\\x+(15x)\leq15\\0\leqx\leq15\end{cases}\)

解第一个不等式：\(30x\geq1.5(2015+x)\)\(30x\geq1.5(5+x)\)\(30x\geq7.5+1.5x\)\(x1.5x\geq7.530\)\(2.5x\geq22.5\)\(x\leq9\)

结合\(0\leqx\leq15\)，所以\(x\)可以取0、1、2、......、9，共10种取值。

因为每个员工效率相同，要使留下的员工在后续工作中效率最高，即抽调的人数最少。

所以当\(x=0\)时，即不抽调部门A的人员，从部门B抽调15人，留下的员工在后续工作中效率最高（在这种抽调方案下，留下的员工数量最多）。

（二）物资采购方案选择某企业为了满足生产需求，计划采购一批原材料。现有两种供应商可供选择，供应商甲提供的原材料单价为50元/千克，每次采购需支付运费1000元；供应商乙提供的原材料单价为45元/千克，每次采购需支付运费2000元。企业预计每月需要该原材料200千克，且采购次数不能超过3次。问如何选择供应商能使每月采购原材料的总成本最低？

设从供应商甲采购\(x\)次（\(0\leqx\leq3\)且\(x\)为整数），则从供应商乙采购\(\frac{20050x}{50}\)次（需保证采购量为200千克）。

总成本\(Z=50×50x+1000x+45×(20050x)+2000×\frac{20050x}{50}\)

化简得：\(Z=2500x+1000x+90002250x+80002000x\)\(Z=(2500+100022502000)x+9000+8000\)\(Z=750x+17000\)

因为\(Z=750x+17000\)是关于\(x\)的一次函数，且\(k=750<0\)，所以\(Z\)随\(x\)的增大而减小。

又因为\(0\leqx\leq3\)且\(x\)为整数，所以当\(x=3\)时，\(Z\)有最小值。

此时从供应商甲采购3次，采购量为\(50×3=150\)千克；从供应商乙采购\(\frac{200150}{50}=1\)次，采购量为50千克。

所以选择从供应商甲采购3次，从供应商乙采购1次，能使每月采购原材料的总成本最低。

五、结论通过以上实例可以看出，不等式在方案选择问题中具有重要的应用价值。在经济领域，能帮助企业优化生产和销售方案，实现利润最大化；在工程领域，可合理安排施工进度和资源分配，确保工程按时、按质、按量完成且成本最低；在管理领域，有助于科学调配人员和选择物资采购方案等，提高管理效率和效益。