苏教版八年级下册第11章反比例函数教学案

苏教版八年级下册第11章反比例函数教学案一、教学目标1.知识与技能目标理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是反比例函数关系。能根据已知条件确定反比例函数的表达式。会画反比例函数的图象，并能根据图象理解反比例函数的性质。能利用反比例函数的图象和性质解决简单的实际问题。2.过程与方法目标通过对实际问题的分析，经历反比例函数概念的形成过程，体会函数的模型思想。在探究反比例函数图象和性质的过程中，培养学生的观察、分析、归纳和概括能力，体会数形结合的思想方法。通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的应用意识。3.情感态度与价值观目标引导学生积极参与数学活动，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。在合作交流中，让学生学会与他人合作，培养学生的团队精神和交流能力。通过对反比例函数的学习，体会数学与生活的紧密联系，感受数学的应用价值。

二、教学重难点1.教学重点反比例函数的概念、表达式、图象和性质。利用反比例函数的图象和性质解决实际问题。2.教学难点对反比例函数概念中"反比例"的理解。反比例函数图象的性质的探究和理解。如何引导学生将实际问题转化为反比例函数问题，并利用反比例函数的知识解决实际问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解反比例函数的概念、表达式、图象和性质等基础知识，使学生系统地掌握知识要点。2.探究法：通过引导学生对实际问题进行探究，让学生自主发现反比例函数关系，经历概念的形成过程，培养学生的探究能力和思维能力。3.讨论法：组织学生进行小组讨论，交流在探究过程中的想法和体会，促进学生之间的合作与交流，培养学生的团队精神和表达能力。4.练习法：通过布置适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）情境导入1.呈现问题情境问题1：京沪铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化。问题2：某住宅小区要种植一个面积为1000m²的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。问题3：已知北京市的总面积为1.68×10⁴km²，人均占有土地面积S（单位：km²/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化。2.引导学生分析问题对于问题1，根据速度、时间和路程的关系，可得\(v=\frac{1463}{t}\)。对于问题2，根据矩形面积公式，可得\(y=\frac{1000}{x}\)。对于问题3，可得\(S=\frac{1.68×10⁴}{n}\)。3.观察上述式子，思考以下问题这些式子有什么共同特征？它们与我们学过的一次函数有什么不同？

（二）探究新知1.反比例函数的概念引导学生观察\(v=\frac{1463}{t}\)，\(y=\frac{1000}{x}\)，\(S=\frac{1.68×10⁴}{n}\)这三个式子，发现它们都具有\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的形式。总结反比例函数的概念：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数称为反比例函数，其中\(x\)是自变量，\(y\)是函数。自变量\(x\)的取值范围是不等于0的一切实数。强调反比例函数概念中的几个要点：\(k\)为常数，\(k≠0\)。函数表达式的右边是\(\frac{k}{x}\)的形式，而不是\(kx\)或\(kx+b\)等形式。自变量\(x\)的取值范围是\(x≠0\)。2.反比例函数表达式的确定例1：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((2,3)\)，求这个反比例函数的表达式。分析：因为点\((2,3)\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象上，所以将\(x=2\)，\(y=3\)代入\(y=\frac{k}{x}\)中，可得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=6\)。解：设反比例函数的表达式为\(y=\frac{k}{x}\)，把\((2,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=6\)。所以这个反比例函数的表达式是\(y=\frac{6}{x}\)。总结确定反比例函数表达式的方法：已知反比例函数图象上一点的坐标，将该点坐标代入\(y=\frac{k}{x}\)中，求出\(k\)的值，即可确定反比例函数的表达式。3.反比例函数的图象让学生画出反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象。引导学生按照以下步骤进行画图：列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出相应的\(y\)值。|\(x\)|6|3|2|1|1|2|3|6||||||||||||\(y\)|1|2|3|6|6|3|2|1|描点：根据列表中的数据，在平面直角坐标系中描出相应的点。连线：用平滑的曲线依次连接所描出的点。观察画出的图象，思考以下问题：反比例函数的图象是什么形状？它与坐标轴有交点吗？为什么？当\(k＞0\)时，反比例函数图象在哪些象限？在每一象限内，\(y\)随\(x\)的变化如何？当\(k＜0\)时，反比例函数图象在哪些象限？在每一象限内，\(y\)随\(x\)的变化如何？组织学生进行小组讨论，交流自己的观察结果和想法。教师总结反比例函数图象的性质：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的图象是双曲线。当\(k＞0\)时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。当\(k＜0\)时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。强调反比例函数图象性质中的几个要点：反比例函数图象是双曲线，不是直线。反比例函数图象与坐标轴没有交点。讨论\(y\)随\(x\)的变化情况时，必须强调"在每一象限内"。

（三）例题讲解1.例2：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象在第二、第四象限，求\(k\)的取值范围，并指出在每一象限内\(y\)随\(x\)的变化情况。分析：因为反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象在第二、第四象限，所以\(k＜0\)。解：因为反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象在第二、第四象限，所以\(k＜0\)。在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。2.例3：已知反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)，当\(x=2\)时，求\(y\)的值；当\(y=2\)时，求\(x\)的值。分析：当已知自变量\(x\)的值时，将\(x\)的值代入反比例函数表达式中，即可求出\(y\)的值；当已知函数值\(y\)的值时，将\(y\)的值代入反比例函数表达式中，通过解方程求出\(x\)的值。解：当\(x=2\)时，\(y=\frac{4}{2}=2\)。当\(y=2\)时，\(2=\frac{4}{x}\)，解得\(x=2\)。3.例4：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\(A(2,3)\)，若点\(B(1,m)\)也在该函数的图象上，求\(m\)的值。分析：先将点\(A(2,3)\)代入反比例函数表达式中，求出\(k\)的值，再将点\(B(1,m)\)代入求出的表达式中，即可求出\(m\)的值。解：把\(A(2,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=6\)。所以反比例函数的表达式为\(y=\frac{6}{x}\)。把\(B(1,m)\)代入\(y=\frac{6}{x}\)，得\(m=\frac{6}{1}=6\)。

（四）课堂练习1.已知反比例函数\(y=\frac{5}{x}\)，当\(x=5\)时，\(y\)的值为（）A.1B.2C.5D.252.若反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((1,2)\)，则这个反比例函数的表达式是（）A.\(y=\frac{2}{x}\)B.\(y=\frac{2}{x}\)C.\(y=\frac{1}{2x}\)D.\(y=\frac{1}{2x}\)3.反比例函数\(y=\frac{3}{x}\)的图象在（）A.第一、第二象限B.第一、第三象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限4.已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)，当\(x＞0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，则\(k\)的取值范围是（）A.\(k＞0\)B.\(k＜0\)C.\(k≥0\)D.\(k≤0\)5.若点\(A(2,y_1)\)，\(B(1,y_2)\)在反比例函数\(y=\frac{1}{x}\)的图象上，则\(y_1\)与\(y_2\)的大小关系是（）A.\(y_1＜y_2\)B.\(y_1＞y_2\)C.\(y_1=y_2\)D.无法确定6.已知反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)，当\(y=3\)时，\(x\)的值为______。7.若反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((2,3)\)，则\(k\)的值为______。8.反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)的图象在第______象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而______。

（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括反比例函数的概念、表达式、图象和性质。2.让学生思考以下问题：如何判断一个函数是否为反比例函数？确定反比例函数表达式的方法是什么？反比例函数图象有什么特点？其性质与\(k\)的取值有什么关系？3.请学生回答上述问题，教师进行总结和补充，强调重点和难点内容，帮助学生梳理知识体系，加深对所学知识的理解和记忆。

（六）布置作业1.书面作业教材第7页练习第1、2、3题。教材第8页习题11.1第1、2、3、4题。2.拓展作业已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象与一次函数\(y=2x+1\)的图象相交于点\(A(1,m)\)，求反比例函数的表达式，并求出这两个函数图象的另一个交点坐标。如图，在平面直角坐标系中，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的图象与一次函数\(y=x+b\)的图象交于\(A\)、\(B\)两点，点\(A\)的坐标为\((1,3)\)。求反比例函数和一次函数的表达式。求点\(B\)的坐标。观察图象，直接写出不等式\(\frac{k}{x}＞x+b\)的解集。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对反比例函数的概念、表达式、图象和性质有了初步的认识和理解。在教学过程中，我注重引导学生通过自主探究、小组讨论等方式获取知识，培养学生的探究能力和合作精神。同时，通过例题讲解和课堂练习，让学生及时巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。

在教学中，我也发现了一些不足之处。例如，在讲解反比例函数图象的性质时，部分学生对"在每一象限内"这一条件理解不够深刻，导致在判断\(y\)随\(x\)的