工程数学I第5次作业

工程数学I第5次作业一、作业题目本次作业涵盖了多个方面的工程数学知识点，包括矩阵运算、线性方程组求解、特征值与特征向量等内容。具体题目如下：

（一）矩阵运算1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，计算\(A+B\)，\(AB\)，\(AB\)。2.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&1&3\\4&2&5\\1&3&2\end{pmatrix}\)的逆矩阵\(A^{1}\)。

（二）线性方程组求解1.求解线性方程组\(\begin{cases}2x+3yz=5\\x2y+3z=4\\3x+y+2z=1\end{cases}\)。2.已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2x_3=3\\2x_1+3x_2+x_3=5\\3x_1+5x_2=8\end{cases}\)，判断其解的情况，并求解。

（三）特征值与特征向量1.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。2.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&2&2\\2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}\)，求其特征值和特征向量，并判断矩阵\(A\)是否可对角化。若可对角化，求出可逆矩阵\(P\)和对角矩阵\(\Lambda\)，使得\(P^{1}AP=\Lambda\)。

二、题目解答

（一）矩阵运算1.计算\(A+B\)：\[\begin{align*}A+B&=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\end{align*}\]计算\(AB\)：\[\begin{align*}AB&=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}15&26\\37&48\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}\end{align*}\]计算\(AB\)：\[\begin{align*}AB&=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}5+14&6+16\\15+28&18+32\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\end{align*}\]2.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&1&3\\4&2&5\\1&3&2\end{pmatrix}\)的逆矩阵\(A^{1}\)。

首先，计算矩阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)：\[\begin{align*}\vertA\vert&=2\times\begin{vmatrix}2&5\\3&2\end{vmatrix}(1)\times\begin{vmatrix}4&5\\1&2\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&2\\1&3\end{vmatrix}\\&=2\times(2\times(2)5\times3)+1\times(4\times(2)5\times1)+3\times(4\times32\times1)\\&=2\times(415)+1\times(85)+3\times(122)\\&=2\times(19)+1\times(13)+3\times10\\&=3813+30\\&=21\end{align*}\]

然后，求伴随矩阵\(adj(A)\)：\[\begin{align*}A_{11}&=(1)^{1+1}\begin{vmatrix}2&5\\3&2\end{vmatrix}=(415)=19\\A_{12}&=(1)^{1+2}\begin{vmatrix}4&5\\1&2\end{vmatrix}=(85)=13\\A_{13}&=(1)^{1+3}\begin{vmatrix}4&2\\1&3\end{vmatrix}=122=10\\A_{21}&=(1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&3\\3&2\end{vmatrix}=(29)=7\\A_{22}&=(1)^{2+2}\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}=43=7\\A_{23}&=(1)^{2+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=(6+1)=7\\A_{31}&=(1)^{3+1}\begin{vmatrix}1&3\\2&5\end{vmatrix}=56=11\\A_{32}&=(1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}=(1012)=2\\A_{33}&=(1)^{3+3}\begin{vmatrix}2&1\\4&2\end{vmatrix}=4+4=8\\\end{align*}\]

所以伴随矩阵\(adj(A)=\begin{pmatrix}19&13&10\\7&7&7\\11&2&8\end{pmatrix}\)。

最后，逆矩阵\(A^{1}=\frac{1}{\vertA\vert}adj(A)=\frac{1}{21}\begin{pmatrix}19&13&10\\7&7&7\\11&2&8\end{pmatrix}\)。

（二）线性方程组求解1.求解线性方程组\(\begin{cases}2x+3yz=5\\x2y+3z=4\\3x+y+2z=1\end{cases}\)。

增广矩阵\(\overline{A}=\begin{pmatrix}2&3&1&5\\1&2&3&4\\3&1&2&1\end{pmatrix}\)

对增广矩阵进行初等行变换：\[\begin{align*}&\begin{pmatrix}2&3&1&5\\1&2&3&4\\3&1&2&1\end{pmatrix}\overset{r_1\leftrightarrowr_2}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&5\\3&1&2&1\end{pmatrix}\\&\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&5\\3&1&2&1\end{pmatrix}\overset{r_22r_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&7&7&13\\3&1&2&1\end{pmatrix}\\&\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&7&7&13\\3&1&2&1\end{pmatrix}\overset{r_33r_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&7&7&13\\0&7&7&13\end{pmatrix}\\&\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&7&7&13\\0&7&7&13\end{pmatrix}\overset{r_3r_2}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&7&7&13\\0&0&0&0\end{pmatrix}\\\end{align*}\]

得到简化的行阶梯形矩阵，对应的方程组为\(\begin{cases}x2y+3z=4\\7y7z=13\end{cases}\)

令\(z=t\)，则由\(7y7z=13\)可得\(y=\frac{13}{7}+t\)。

将\(y\)和\(z\)代入\(x2y+3z=4\)可得：\[\begin{align*}x2(\frac{13}{7}+t)+3t&=4\\x\frac{26}{7}2t+3t&=4\\x&=4+\frac{26}{7}t\\x&=\frac{2}{7}t\end{align*}\]

所以方程组的解为\(\begin{cases}x=\frac{2}{7}t\\y=\frac{13}{7}+t\\z=t\end{cases}\)，\(t\inR\)。

2.已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2x_3=3\\2x_1+3x_2+x_3=5\\3x_1+5x_2=8\end{cases}\)，判断其解的情况，并求解。

增广矩阵\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&2&1&3\\2&3&1&5\\3&5&0&8\end{pmatrix}\)

对增广矩阵进行初等行变换：\[\begin{align*}&\begin{pmatrix}1&2&1&3\\2&3&1&5\\3&5&0&8\end{pmatrix}\overset{r_22r_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&3&1\\3&5&0&8\end{pmatrix}\\&\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&3&1\\3&5&0&8\end{pmatrix}\overset{r_33r_1}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&3&1\\0&1&3&1\end{pmatrix}\\&\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&3&1\\0&1&3&1\end{pmatrix}\overset{r_3r_2}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&3&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\\\end{align*}\]

得到简化的行阶梯形矩阵，对应的方程组为\(\begin{cases}x_1+2x_2x_3=3\\x_2+3x_3=1\end{cases}\)

令\(x_3=t\)，则由\(x_2+3x_3=1\)可得\(x_2=1+3t\)。

将\(x_2\)和\(x_3\)代入\(x_1+2x_2x_3=3\)可得：\[\begin{align*}x_1+2(1+3t)t&=3\\x_1+2+6tt&=3\\x_1&=325t\\x_1&=15t\end{align*}\]

所以方程组的解为\(\begin{cases}x_1=15t\\x_2=1+3t\\x_3=t\end{cases}\)，\(t\inR\)。

该方程组有无穷多解。

（三）特征值与特征向量1.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。

首先求特征值，由\(\vert\lambdaEA\vert=0\)，即\(\begin{vmatrix}\lambda3&1\\1&\lambda3\end{vmatrix}=0\)

\[\begin{align*}(\lambda3)^21&=0\\\lambda^26\lambda+91&=0\\\lambda^26\lambda+8&=0\\(\lambda2)(\lambda4)&=0\end{align*}\]

解得特征值\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=4\)。

当\(\lambda=2\)时，求解齐次线性方程组\((2EA)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)

系数矩阵的秩为\(1\)，基础解系为\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，所以属于特征值\(2\)的全部特征向量为\(k_1\xi_1\)，\(k_1\neq0\)。

当\(\lambda=4\)时，求解齐次线性方程组\((4EA)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)

系数矩阵的秩为\(1\)，基础解系为\(\xi_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，所以属于特征值\(4\)的全部特征向量为\(k_2\xi_2\)，\(k_2\neq0\)。

2.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&2&2\\2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}\)，求其特征值和特征向量，并判断矩阵\(A\)是否可对角化。若可对角化，求出可逆矩阵\(P\)和对角矩阵\(\Lambda\)，使得\(P^{1}AP=\Lambda\)。

首先求特征值，由\(\vert\lambdaEA\vert=0\)，即：

\[\begin{align*}\begin{vmatrix}\lambda2&2&2\\2&\lambda5&4\\2&4&\lambd