第4讲　万有引力定律及应用-2026版大一轮高考物理复习

第4讲万有引力定律及应用学习目标1.了解开普勒三定律内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。2.理解万有引力定律的内容，知道适用范围。3.掌握计算天体质量和密度的方法。1.eq\a\vs4\al(2.,,)1.思考判断(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(√)(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)(3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力。(×)(4)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(√)2.2022年11月30日，天和核心舱与神舟十五号载人飞船成功对接。已知天和核心舱绕地球做圆周运动的轨道离地高度为地球半径的eq\f(1,16)，不考虑地球自转，则宇航员在天和核心舱受到地球的引力是其在地球表面重力的()A.eq\f(17,16) B.eq\f(16,17)C.eq\f(289,256) D.eq\f(256,289)答案D考点一开普勒三定律的理解和应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。3.由开普勒第二定律可得eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。4.开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。例1(多选)如图1所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中()图1A.从P到M所用的时间等于eq\f(T0,4)B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大C.从P到Q阶段，速率逐渐变小D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案CD解析由行星运动的对称性可知，从P经M到Q所用时间为eq\f(1,2)T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于eq\f(1,4)T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。例2(多选)如图2所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有()图2A.TA＞TB B.EkA＞EkBC.SA＝SB D.eq\f(Req\o\al(3,A),Teq\o\al(2,A))＝eq\f(Req\o\al(3,B),Teq\o\al(2,B))答案AD解析根据开普勒第三定律知，A、D正确；由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)和Ek＝eq\f(1,2)mv2可得Ek＝eq\f(GMm,2R)，因RA＞RB，mA＝mB，则EkA＜EkB，B错误；根据开普勒第二定律知，同一轨道上的卫星绕地球做匀速圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于卫星A、B，SA不等于SB，C错误。考点二万有引力定律的理解和应用角度万有引力定律的理解及简单计算例3(2023·新课标卷，17)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资()A.质量比静止在地面上时小B.所受合力比静止在地面上时小C.所受地球引力比静止在地面上时大D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大答案D解析物体的质量由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A错误；物资所受地球引力的大小F＝Geq\f(m地m,r2)，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C错误；空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由开普勒第三定律可知，物资做圆周运动的周期小于地球同步卫星的周期，所以物资做圆周运动的角速度大于地球自转角速度，D正确；物资所受合力即为其做圆周运动的向心力，由向心力公式Fn＝mω2r可知，对接后物资所受合外力比静止在地面上时的大，B错误。角度“挖补法”求解万有引力例4有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图3所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为()图3A.eq\f(7GMm,36R2) B.eq\f(14GMm,63R2)C.eq\f(343GMm,2048R) D.eq\f(343GMm,2048R2)答案A解析挖去小球前球与质点的万有引力F1＝Geq\f(Mm,（2R）2)＝eq\f(GMm,4R2)，挖去的球体的质量M′＝eq\f(\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(3),\f(4,3)πR3)M＝eq\f(M,8)，被挖部分对质点的引力为F2＝eq\f(G\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3R,2)))\s\up12(2))＝eq\f(GMm,18R2)，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝eq\f(7GMm,36R2)，故A正确。角度万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是物体的重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图4所示(设地球质量为M)。图4(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。例5(2024·广东广州高三期中)2020年9月，我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为()A.eq\f(T2·ΔF,4π2m) B.eq\f(T2·ΔF,2π2m)C.eq\f(mT2·ΔF,4π2) D.eq\f(mT2,4π2·ΔF)答案A解析设地球的质量为m地，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，即eq\f(Gm地m,R2)－mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，北极熊在北极时，有eq\f(Gm地m,R2)＝mg′，根据题意，有ΔF＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，得R＝eq\f(T2·ΔF,4π2m)，A正确，B、C、D错误。角度星体上空及星体内部重力加速度的求解1.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)。2.万有引力的“两个推论”推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。例6近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7000m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为()A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R＋h)))eq\s\up12(2)C.eq\f(R3,（R＋h）2（R－d）) D.eq\f(（R－d）（R＋h）,R2)答案C解析设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，由于地球的质量M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3，联立解得g＝eq\f(4,3)πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)，联立可得eq\f(g1,g)＝eq\f(R－d,R)，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，解得加速度g2＝eq\f(GM,（R＋h）2)＝eq\f(R2,（R＋h）2)g，所以eq\f(g2,g1)＝eq\f(R3,（R＋h）2（R－d）)，故C正确。考点三天体质量和密度的计算天体质量和密度的计算方法类型方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天体的质量r、vGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)m中＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)，Geq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)m中＝eq\f(gR2,G)—密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时，ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)—角度重力加速度法例7我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是()A.火星表面重力加速度大小是eq\f(2hx,veq\o\al(2,0)) B.火星的半径是eq\f(2hT2veq\o\al(2,0),π2x2)C.火星的质量是eq\f(h3T4veq\o\al(6,0),2Gπ4x6) D.火星的密度是eq\f(3πx,GT2h)答案C解析设物体在火星表面附近做类平抛运动的时间为t，水平方向x＝v0t，竖直方向h＝eq\f(1,2)g′t2，联立得g′＝eq\f(2hveq\o\al(2,0),x2)，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T，可得加速度为g′＝ω2R＝Req\f(4π2,T2)，联立得R＝eq\f(hT2veq\o\al(2,0),2π2x2)，A、B错误；在火星表面有mg′＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(h3T4veq\o\al(6,0),2Gπ4x6)，C正确；火星的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，D错误。角度环绕法例8(2023·辽宁卷，7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图5所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为()图5A.k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) B.k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)C.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) D.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)答案D解析设太阳、地球、月球的半径分别为R太、R地、R月，月球绕地球转动的半径为r月，地球绕太阳转动的半径为r地，根据题意，由几何关系，有eq\f(R太,r地)＝eq\f(R月,r月)，根据万有引力提供向心力，有eq\f(GM地m月,req\o\al(2,月))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r月，eq\f(GM太M地,req\o\al(2,地))＝M地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r地，星球的密度ρ地＝eq\f(M地,\f(4,3)πReq\o\al(3,地))，ρ太＝eq\f(M太,\f(4,3)πReq\o\al(3,太))，可得eq\f(ρ地,ρ太)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R月,R地)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)，故D正确，A、B、C错误。(多选)(2024·山东临沂模拟)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)()火星的小档案直径d＝6794km质量M＝6.4219×1023kg表面重力加速度g0＝3.7m/s2近火卫星周期T＝3.4hA.ρ＝eq\f(3g0,2πGd) B.ρ＝eq\f(g0T2,3πd)C.ρ＝eq\f(3π,GT2) D.ρ＝eq\f(6M,πd3)答案ACD解析设近火卫星的质量为m，火星的质量为M，对近火卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有eq\f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(2))＝eq\f(m4π2,T2)·eq\f(d,2)，可得M＝eq\f(π2d3,2GT2)，可得火星的密度为ρ＝eq\f(M,\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(3))＝eq\f(6M,πd3)，将M＝eq\f(π2d3,2GT2)代入上式可得ρ＝eq\f(3π,GT2)，故C、D正确；又火星对近火卫星的万有引力近似等于近火卫星的重力，则有mg0＝Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(2))，解得M＝eq\f(g0d2,4G)，因此火星的密度为ρ＝eq\f(M,\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(3))＝eq\f(\f(g0d2,4G),\f(1,6)πd3)＝eq\f(3g0,2πGd)，A正确，B错误。A级基础对点练对点练1开普勒三定律的理解和应用1.(2024·江苏南京模拟)某行星绕太阳运动的轨道如图1所示，则以下说法正确的是()图1A.该行星在a点的向心加速度比在b、c两点的都大B.该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更小C.行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是不相等的D.行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳在圆心上答案A解析根据a＝eq\f(v2,r)知该行星在a点的向心加速度比在b、c两点的都大，A正确；根据开普勒第二定律可知近日点速度最大，所以该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更大，B错误；由开普勒第二定律知相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积是相等的，C错误；由开普勒第一定律可知，太阳一定在椭圆的一个焦点上，行星绕太阳做椭圆运动，D错误。2.(2024·云南师大附中质检)如图2所示，“天问一号”从地球发射后，沿着地火转移椭圆轨道从P点运动到Q点。已知地球和火星绕太阳的公转轨道半径分别为1.5×1011m和2.3×1011m，则“天问一号”从P点运动到Q点的时间约为()图2A.0.2年 B.0.7年C.1.4年 D.2.0年答案B解析分析可知地火转移轨道的半长轴a＝eq\f(1.5×1011＋2.3×1011,2)m＝1.9×1011m，根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝eq\f(req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))，代入数据可得T≈1.4年，则“天问一号”从P点运动到Q点的时间约为t＝eq\f(T,2)＝0.7年，故B正确。3.如图3所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点，M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是()图3A.B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小B.地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积为椭圆面积C.卫星B的周期是卫星A的周期的8倍D.1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合答案D解析根据万有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)，B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力逐渐减小，A错误；由题意知B卫星半长轴为A卫星圆轨道半径的2倍，根据开普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,A))＝eq\f(（2R）3,Teq\o\al(2,B))，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积小于椭圆面积，B、C错误；1轨道圆心在地心，2轨道的一个焦点也在地心，所以二者重合，D正确。对点练2万有引力定律的理解和应用4.(2022·全国乙卷，14)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们()A.所受地球引力的大小近似为零B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小答案C解析航天员所受地球引力大小不为零，在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故A、B错误，C正确；根据F＝Geq\f(Mm,r2)可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。5.某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(（g2－g1）T2,4π2) D.eq\f(（g1＋g2）T2,4π2)答案C解析在“极点”处mg2＝eq\f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处eq\f(GMm,R2)－mg1＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，解得R＝eq\f(（g2－g1）T2,4π2)，故C正确。6.(2023·山东卷，3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为()A.30πeq\r(\f(r,g)) B.30πeq\r(\f(g,r))C.120πeq\r(\f(r,g)) D.120πeq\r(\f(g,r))答案C解析设地球半径为R，由题意知，r＝60R，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球绕地球公转，由万有引力提供向心力，有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，联立解得T＝120πeq\r(\f(r,g))，故C正确。7.质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为()A.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g－\f(v0,t0))) B.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))C.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g－\f(v0,t0))) D.meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.2g＋\f(v0,t0)))答案B解析着陆器向下做匀减速运动时的加速度大小a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v0,t0)。在天体表面附近，有mg＝Geq\f(mM,R2)，则eq\f(g火,g)＝eq\f(M火,M地)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))eq\s\up12(2)，整理得g火＝0.4g，由牛顿第二定律知，F－mg火＝ma，解得制动力F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.4g＋\f(v0,t0)))，B项正确。对点练3天体质量和密度的计算8.2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为p。已知引力常量为G，由此可知地球的质量为()A.eq\f(2πp,G) B.eq\f(4πp,G)C.eq\f(4π2p,G) D.eq\f(2π2p,G)答案C解析卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，由题意可知r3＝pT2，联立解得M＝eq\f(4π2p,G)，故C正确。9.(多选)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的影响，则下列表述正确的是()A.月球表面的自由落体加速度g月＝eq\f(2h,t2)B.月球的质量M＝eq\f(2hR2,Gt2)C.月球的密度ρ＝eq\f(3h,2πRGt)D.月球的密度ρ＝eq\f(3h,2πRGt2)答案ABD解析月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝eq\f(1,2)g月t2，则月球表面的自由落体加速度g月＝eq\f(2h,t2)，故A正确；不考虑月球自转的影响，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月，得月球的质量M＝eq\f(2hR2,Gt2)，故B正确；月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2)，故C错误，D正确。B级综合提升练10.(2024·天津南开高三期末)2022年10月，太原卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将S－SAR01星发射升空，这颗卫星主要为应急管理、生态环境主体业务提供国产化数据保障，若S－SAR01星绕地球做匀速圆周运动的轨道距地面高度为h，地球的半径为R，地球表面北极的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是()A.地球的质量为M＝eq\f(（R＋h）2g,G)B.S－SAR01星轨道处的重力加速度为eq\f(gR2,（R＋h）2)C.地球的平均密度为eq\f(3g,4πG（R＋h）)D.S－SAR01星运行的速度为eq\r(gR)答案B解析根据地球表面两极处万有引力等于重力有eq\f(GMm,R2)＝mg，可得M＝eq\f(gR2,G)，则地球的平均密度为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3g,4πGR)，故A、C错误；根据eq\f(GMm,（R＋h）2)＝mg′，结合M＝eq\f(gR2,G)，可得S－SAR01星轨道处的重力加速度g′＝eq\f(gR2,（R＋h）2)，故B正确；根据eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\f(v2,R＋h)，结合M＝eq\f(gR2,G)可得S－SAR01星运行的速度v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，故D错误。11.某行星周围的卫星绕其做圆周运动的轨道半径r与运行周期T的关系如图4所示。行星的半径为R0，引力常量为G，图中a、b为已知量。下列说法正确的是()图4A.绕该行星表面运行卫星的周期为eq\f(aReq\o\al(3,0),b)B.该行星的质量为eq\f(4aπ2,bG)C.该行星的密度为eq\f(3bπ,aGReq\o\al(3,0))D.该行星表面的重力加速度为eq\f(4b,aReq\o\al(3,0))答案C解析根据开普勒第三定律有eq\f(Req\o\al(3,0),T2)＝k，且k＝eq\f(b,a)，可得T＝eq\r(\f(aReq\o\al(3,0),b))，A错误；由万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，可得eq\f(GM,4π2)＝eq\f(b,a)，解得M＝eq\f(4π2b,Ga)，B错误；由ρ＝eq\f(M,V)，且V＝eq\f(4,3)πReq\o\al(3,0)，可得ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πReq\o\al(3,0))＝eq\f(\f(4π2b,Ga),\f(4,3)πReq\o\al(3,0))＝eq\f(3bπ,aGReq\o\al(3,0))，C正确；由Geq\f(