《误差理论与数据处理（苐7版）》教案全套 第1-7章 绪论-动态测试数据处理

PAGEPAGE18/71误差理论与数据处理教案目录TOC\o"1-2"\h\z\u第一章绪论 4第一节 研究误差的意义 4第二节误差的基本概念 4第三节精度 6第四节有效数字与数据运算 7第二章误差的基本性质与处理 8第一节随机误差 8第二节系统误差 20第三节粗大误差 25第四节 测量结果的数据处理实例 28第三章误差的合成与分配 30第一节函数误差 30第二节随机误差的合成 33第三节 系统误差合成 34第四节 系统误差与随机误差的合成 36第五节误差分配 37第六节 微小误差取舍准则 38第七节 最佳测量方案的确定 39第四章测量不确定度 40第一节 测量不确定度的基本概念 40第二节 标准测量不确定度的评定 40第三节 测量不确定度的合成 42第四节 测量不确定度应用实例 43第五章线性测量的参数最小二乘处理 49第一节 最小二乘原理 49第二节 正规方程 52第三节 精度估计 57第四节 组合测量的最小二乘处理 59第六章回归分析 61第一节 回归分析的基本概念 61第二节 一元线性回归 61第三节 两个变量都具有误差时线性回归方程得确定 65第四节一元非线性回归 65第七章动态测试数据处理基本方法 67第一节 动态测试基本概念 67第二节 随机过程及其特点 67第三节 随机过程特征量的估计 69 第一章绪论第一节 研究误差的意义研究误差的意义主要归纳为：1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因—从根本上，消除或减小误差2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果—通过计算得到更接近真值的数据3、正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法—根据目标确定最佳系统第二节误差的基本概念一、误差的定义及表示法误差的定义：测得值与被测量的真值之间的差。表达式为：误差＝测得值－真值真值（ruelue：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。包括理论值和约定真值。约定真值(oetionalruealue：对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。也称为指定值、最佳估计值、约定值或参考值。按表示形式可分为：绝对误差和相对误差。按性质可分为：随机误差、系统误差和粗大误差。（一）绝对误差定义：某量值的测得值和真值之间的差值。通常简称为误差。表达式为：绝对误差＝测得值－真值真值常用约定真值来表示特点：绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。在实际使用时，为方便消除系统误差，常使用修正值。修正值的定义：为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。其表达式为：修正值≈真值－测得值特点：与误差大小近似相等，但方向相反。修正值本身还有误差。举例说明测得值、真值、绝对误差。（二）相对误差定义：绝对误差与被测量真值之比。其表达式为：特点：

相对误差=绝对误差/真值*100%相对误差有大小和符号。无量纲，一般用百分数来表示。举例比较绝对误差与相对误差（略）（三）引用误差定义：是一种表示仪器仪表示值相对误差，它是以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测得范围上限值或全量程值为分母的比值。其表达式为：引用误差=绝对误差/仪表量程*100%说明标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。举例说明误差的各种表示法。二、误差来源为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。来源包括：1．测量装置误差：标准量具误差、仪器误差、附件误差2．环境误差：指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。4．人员误差：测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。三、误差分类按照性质可以划分为：（一）系统误差定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。特征：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，：误差绝对值和符号已经明确的系统误差。未定系统误差：误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。举例说明（略）按误差出现规律，系统误差可分为：不变系统误差：误差绝对值和符号固定不变的系统误差。变化系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，变化系统误差又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。举例说明（略）（二）随机误差定义：测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。特征：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。产生原因：实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。性质：随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。虽然一经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率（三）粗大误差定义：指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。产生原因：某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。（。（。处理方法：由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。（四）三类误差的关系及其对测得值的影响系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。第三节精度精度：反映测量结果与真值接近程度的量。它与误差的大小相对应，误差小则精度高，误差大则精度低，因此可用误差大小来表示精度的高低。精度可分为：准确度（orrectness：它反映测量结果中系统误差的影响。精密度（Pecision：它反映测量结果中随机误差的影响程度。（Accuracy（略）精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。第四节有效数字与数据运算一、有效数字：含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。测量结果保留位数的原则1：最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。测量结果保留位数的原则2：在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一维数字作为参考。二、数字的舍入规则计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。1。三、数字的运算规则（或称为安全数字。在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。n(n位对数表，以免损失精度。系：角度误差（″）1010.10.01函数值位数5678第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差一、随机误差的产生原因当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，却明显具有某种统计规律。随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面：①测量装置方面的因素：不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。②环境方面的因素：温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。③人为方面的因素：瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。二、正态分布随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为L0，一系列测得值为li，则测量列的随机误差i可表示为：式中i2, ,n0。

iliL0

（2-1）正态分布的分布密度f与分布函数F为 ef 1 e

222

(2-2) 1 2(22 F e 式中：——标准差（或均方根误差）e——自然对数的底，基值为2.7182……。它的数学期望为：

(2-3)它的方差为：其平均误差为：

Ef)d022f()d

(2-4)(2-5)

f()d0.797945

(2-6)

f()d1可解得或然误差为：2由式（2-2）可以推导出：

0.674523

(2-7)①分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性；②当0时推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性；nF的存在区间是只是出现在一个有限的区间内，即kk，称为误差的有界性；ni④随着测量次数的增加随机误差的算术平均值趋近于零i0这n n称为误差的补偿性。图2-1图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。值为曲线上拐点A的横坐标，B值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。三、算术平均值对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。(一)算术平均值的意义设l1,l2 ,ln为n次测量所得的值，则算术平均值x为： ll

l

nnlix1 2 nin n

（2-8）下面来证明当测量次数无限增加时，则算术平均值x必然趋近于真值L0。iilin nnn nnl2 ln)iin0i1 i1n ni iL0

iin nn由前面正态分布随机误差的第四特征可知：nlixi1Ln 0由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：ilix

(2-9),n此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数l0作为参考值，计算每个测得值与l0,nlilil0

i1,2,n n nlixi1=

(l0li)i

(linl0)=i=l+x

(2-10)n n n 0 0式中的

xi

为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。例2-1测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平均值。（计算略）（二）算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。n nn n由iixiinxx（2-8i1 i1x为未经凑整的准确数时，则有：nnvi0i1

(2-11)Δ。经过分析证明，用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为：①残差代数和应符合：n n当linxx为零；ii1n n当linxxx时i1的余数；

i1n n当linxx为非凑整的非准确数时，x时i1的亏数。②残差代数和绝对值应符合：

i1当n为偶数时，

nnvii1

nA；2当n为奇数时，

nnvii1

(n0.5)A；2式中的A为实际求得的算术平均值x末位数的一个单位。以上两种校核规则，可根据实际运算情况选择一种进行校核，但大多数情况选用第二种规则可能较方便，它不需要知道所有测得值之和。例2-2用例2-1数据对计算结果进行校核。（计算略）四、测量的标准差（一）均方根误差（标准偏差）由于值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此值可作为随机误差ff减小得愈快，即测量到的精密度愈高，如图2-2所示。标准差不是测量到中任何一个具体测量值的随机误差，的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差，一般都不等于，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。五、标准差的几种计算方法（一）等精度测量列单次测量标准差的计算1、贝塞尔(Bessel)公式计算公式为：ininv2i1 n12、别捷尔斯法计算公式为：1.253

nnvin(nn(n1)例2-4用别捷尔斯法求得表2-3的标准差。（计算略）3、极差法用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余计算公式为：ndn例2-5仍用表2-3的测量数据，用极差法求得标准差。（计算略）4、最大误差法计算公式：K'vimaxK'n例2-6仍用表2-3的测量数据，按最大误差法求标准差（计算略）5、四种计算方法的优缺点①贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；②别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍；③用极差法计算σ，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式；④用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当n10时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验(n=1)只能应用最大误差法。（二）多次测量的测量列算术平均值的标准差在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。多次测量的算术平均值标准差计算公式为：nxn

（2-21）即在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的1 nn高。增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与n的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图2-3可知,一定时，当n10以后，x已减少得非常缓慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量n10若用残余误差表示或然误差和平均误差，则有：2in22in2i1 3 n(n1)4in24in2i1 5 n(n1)例2-8用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08求算术平均值及其标准差。（计算略）六、测量的极限误差（单次测量或测量列的算术平均值）p，并使差值1p可予忽略。（一）单次测量的极限误差测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概率论知识，正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率，即：p

1 2e22d1 当研究误差落在区间,之间的概率时，有：2(t) 2

tet2/2dt0这样我们就可以求出积分值p，为了应用方便，其积分值一般列成表格形式，称为概率函数积分值表。当t给定时，t值可由该表查出。现已查出t1,2,3,4等几个特殊值的积分值，并求出随机误差不超出相应区间的概率pt1t，如表2-6所示（图2－4随着t的增大，超出的概率减小得很快。当t2时，即22次测量中只有1范围;而当t3

2时，在3时，在370次测量中只有一次误差绝对值超出3范围。由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于3的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差limx，即lim xlim当t3时，对应的概率P99.73%。

(2-35)在实际测量中，有时也可取其他t值来表示单次测量的极限误差。如取tP99%;tPPlim xtlim

(2-36)若已知测量的标准差，选定置信系数t，则可由式（2-36）求得单次测量的极限误差。（二）算术平均值的极限误差测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差 ，即xxxL0当多个测量列的算术平均值误差(i2, ,N)为正态分布时，根据概率论知识，同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为lim x xtlim xit为算术平均值的标准差。i

（2-37）通常取t3，则

x

（2-38）lim xt“学生氏”“Studentdistribution或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即lim xlimxtax(2-39)式中的taP1和自由度n1来确定，具体数值见附录表3；为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平，通常取0.010.02,0.05ni为n次测量的算术平均值标准差。对于同一个测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，因而求得的算术平均值极限误差也不相同。例2-9对某量进行6802.40802.50802.38，802.48，802.42，802.46。求算术平均值及其极限误差。（计算略）七、不等精度测量①在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量。②对于精密科学实验而言，为了得到极其准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，由不同的人进行测量。如果这些测量结果是相互一致的。那么测量结果就是真正可以信赖的。这是人为地改变测量条件而进行的不等精度测量。得到了不同的测量结果。我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意的准确的测量结果。这也是不等精度测量。对于不等精度测（如标准差（一）权的概念在等精度测量中，各个测得值可认为同样可靠，并取所有测得值的算术平因而不能简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小一些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这个数值即称为该测量结果的“权”，记为p。因此测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。（二）权的确定方法既然测量结果的权说明了测量的可靠程度，因此可根据这一原则来确定权的大小。最简单的方法是按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数越多，其可靠程度也越大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即pini。假设同一被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差与权的关系为p p 1 1m2 2121 2x1 x2 xm即：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比，若已知算术平均值的标准差。则可按式（2-42）确定相应权的大小，测量结果的权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数，允许各组的权数乘以相同的系数，使其以相同倍数增大或减小，而各组间的比例关系保持不变，但通常皆将各组的权数予以约简，使其中最小的权数为不可再约简的整数，以便用简单的数值来表示各组的权。举例说明（计算略）（三）加权算术平均值计算公式：m piximxi1 mpii1pm当各组的权相等，即p1pm

（2-44）p时，加权算术平均值可简化为m m pxi

xixi1 i1 mp

（2-45）2-11的平均长度为999.9425mm（三次测量的、999.9416mm（两次测量的、9999419mm（五次测量的，每单次测量均为等精度测量，求最后测量结果。（计算略）,m(四)单位权的概念由式（,mix此式又可表示为ix

p2

i1,2,ixp22pix

（2-47式中的为等精度单次测得值的标准差。由此可认为，具有同一方差2的等精度单次测得值的权数为1。若已知方差2，只要确定各组的权pi，就可按式（2-47）分别求得各组的方差2。由于测得值的方差2的权数为1在此有特殊用途，故特称等于1的权为单位权，而2为具有单位权的测得值方差，为具有单位权的测得值标准差利用单位权化的思想，可以将某些不等权的测量问题化为等权测量问题来处理。单位权化的实质，是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。（五）加权算术平均值的标准差计算公式1：pippipii1mpiipii1m

（2-49计算公式2：mpv2ixi impv2ixi i1 m(m1)pii1x注意：用式（2-51）可由各组测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差，但是只有组数m足够多时，才能得到较为精确的加权算术平均值的标准差值。一般情况下的组数较少，只能得到近似的估计值。在上述两个计算公式中，公式（2－49）比公式（2－51）可靠，应优先采用。举例：例2－12略。八、随机误差的其他分布正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分布规律。下面介绍几种常见的非正态分布。(一)均匀分布在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主要特点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，故又称矩形分布或等概率分布。其数学期望为：a它的方差和标准差分别为

Ea2ad0a2

（2-54）2 （2-5533a3

（2-56(二)反正弦分布反正弦分布实际上是一种随机误差的函数分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。它的数学期望为：它的方差和标准差分别为

a a22Ea a22

（2-58）a22 （2-5922a2

（2-60（三）三角形分布当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普逊（Simpson）分布。实际测量中，若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次测量的随机误差服从相同的均匀分布，则总的测量误差为三角形分布误差。它的数学期望为：它的方差和标准差为

E0a2

（2-64）2 （2-65）66a6

（2-66）如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及二点分布等，在此不做一一叙述。(四)2分布2v令1,2, ,v为v个独立随机变量，每个随机变量对服从标准化正太分布，定义一2v1 22221 2

（2-67）随机变量2称为自由度为v的卡埃平方变量。自由度数v表示式（2-67）中项数或独立变量的个数。它的数学期望为：E

2 2

v/21

e/2d2v

（2-69）2v2v/2()2它的方差和标准差分别为

22v

（2-702v （2-712v在本书最小二乘法中要用到2分布，此外它也是t分布和F分布的基础。由图2-8的两条2理论曲线可看出，当v逐渐增大时，曲线逐渐接近对称。可以证明当vv为自由度，它的改变将引起分布曲线的相应改变。（五）t分布令和是独立的随机变量，具有自由度为v的2分布函数，具有标准化正态分布函数，则定义新的随机变量为/vt /v式中，v为自由度随机变量t称自由度为v的学生氏变量t。它的数学期望为(v1)E2

t)(v1)/2dt

2（2-74）2它的方差和标准差为

(v)v22vv2vv2

vv2

（2-75）（2-76）t2-9t分布与正态分布有明显区别，但当自由度vt分布曲线趋于正态分布曲线。t分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计，或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。六）F分布数学期望为：E0Ff(FdF

v2v22

(v2>2)

（2-79它的方差和标准差分别为2v2vv222 1 2

(v>4)

（2-80v(v2)2v

4 212 2 2 1 2 2v v 2 1 2 2v vv22v(v2) v42122

（2-90F分布也是一种重要分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。第二节系统误差系统误差是指在确定的测量条件下，某种测量方法和装置，在测量之前就已存在误差，并始终以必然性规律影响测量结果的正确度，如果这种影响显著的话，就要影响测量结果的准确度。实际上测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。因此测量结果的精度，不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响。由于系统误差和随机误差同时存在测量数据之中，而且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏使得系统误差比随机误差具有更大的危险性，因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。一、系统误差产生的原因系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：①测量装置方面的因素②环境方面的因素③测量方法的因素④测量人员的因素二、系统误差的分类和特征系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。由系统误差的特征可知，在多次重复测量同一值时，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律的误差。从广义上讲，系统误差是指服从某一确定规律变化的误差。系统误差分为不变系统误差和变化系统误差两大类。（一）不变系统误差固定系统误差是指在整个测量过程中，误差的大小和符号始终是不变的。如千分尺或测长仪读数装置的调零误差，量块或其它标准件尺寸的偏差等，均为不变系统误差。它对每一测量值的影响均为一个常量，属于最常见的一类系统误差。（二）变化系统误差变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，其种类较多，又可分为以下几种：①线性变化的系统误差②周期变化的系统误差③复杂规律变化的系统误差三、系统误差的发现方法由于形成系统误差的原因复杂，目前尚没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法。但是我们可针对不同性质的系统误差，可按照下述两类方法加以识别：1、用于发现测量列组内的系统误差，包括实验对比法、残余误差观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法；2、用于发现各组测量这间的系统误差，包括计算数据比较法、秩和检验法、和t检验法。（一）测量列组内的系统误差发现方法1、实验对比法实验对比法是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用于发现不变的系统误差。2、残余误差观察法残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。这种方法适于发现有规律变化的系统误差。3、残余误差校核法包括两种方法：①用于发现线性系统误差：测量列中前K个残余误差相加，后(nk)个残余误差相加（当n为偶数，取Kn2；n为奇数，取K(n1）2,两者相减得K n=ii1

jjK1若上式的两部分值Δ显著不为Δ=0，仍有可能存在系统误差。+n+n-1nn1ui1i1

12+23+若u n2，则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫（Abbe-Helmert准则4、不同公式计算标准差比较法对等精度测量，可用不同公式计算标准差，通过比较以发现系统误差。按贝塞尔公式inv2in1

121.253

nnvin(nn(n1)令 21u1n1若 u 2n1

（2-86）则怀疑测量列中存在系统误差。说明：在判断含有系统误差时，违反“准则”时就可以直接判定，而在遵守“准则”时，不能得出“不含系统误差”的结论，因为每个准则均有局限性，不具有“通用性”。(二)测量列组间的系统误差发现方法1、计算数据比较法依据：对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。若对同一量独立测得m组结果，并知它们的算数平均值和标准差为;xm,mx1,1;x;xm,m而任意两组结果之差为其标准差为

xixj222i j则任意两组结果xi与xj间不存在系统误差的标志是22i jxx22i ji j2、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。若独立测得两组的数据为xii2, ,nxyij2, ,ny将它们混和以后，从1开始，按从小到大的顺序重新排列，观察测量次数较少那一组数据的序号和T即：秩和。1）两组的测量次数n110，n210，可根据测量次数较少的组的次数n1和n22-10T和T+（0.05若T（2-88则无根据怀疑两组间存在系统误差。2）当n110，n210，秩和T近似服从正态分布N(n21), n21))2 12括号中第一项为数学期望，第二项为标准差，此时T和T+可由正态分布算出。根据求得的数学期望值a和标准差，则Ta，tTa选取概率(t)，由正态分布积分表（附表1）查得t，若t

ta则无根据怀疑两组间存在系统误差。举例及计算略注意：若两组数据中有相同的数值，则该数据的秩按所排列的两个次序的平均值计算。3、t检验法当两组测得值服从正态分布时，可用t检验法判断两组间是否存在系统误差。若独立测得的两组数据为,xn1x1,,xn1,y,yn2

n22)n22)(nn)(nS2nS21 2 11 22

,y2,

(2-89)此变量服从自由度为(n1n22)的t分布变量式中S21(xx)2，S21(y1 1

y)2nni 2 inn1 2nx1x，y1 yni iii1 n2取显著度，由t分布表（附表3）查P(t

ta)中的ta，若实测数列中t注意:

ta，则无根据怀疑两组间有系统误差。式中使用的S2不是方差的无偏估计，若将贝塞尔计算的方差用于上式，则该式应作相应的变动。举例及计算略四、系统误差的减小和消除（一）消误差源法用排除误差源的方法消除系统误差是最理想的方法。它要求测量人员，对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上加以消除或减弱到可忽略的程度。由于具体条件不同，在分析查找误差源时，并无一成不变的方法，但以下几方面是应予考虑的：①所用基准件、标准件（如量块、刻尺、光波容器等）是否准确可靠；②所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书；③仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理；④所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；⑤测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等；⑥注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。（二）加修正值法这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。如量块的实际尺寸不等于公称尺寸，若按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸（即将量块的公称尺寸加上修正量）使用，就可避免此项系统误差的产生。（三）改进测量方法在测量过程中，根据具体的测量条件和系统误差的性质，采取一定的技术措施，选择适当的测量方法，使测得值中的系统误差在测量过程中相互抵消而不带入测量结果之中，从而实现减弱或消除系统误差的目的。1、消除恒定系统误差的方法在没有条件或无法获之基准测量的情况，难以用检定法确定恒定系统误差并加以消除。这时必须设计适当的测量方法，使恒定系统误差在测量过程中予以消除，常用的方法有：①反向补偿法②代替法③抵消法④交换法2、消除线性系统误差的方法—对称法3、消除周期性系统误差的方法—半周期法4、消除复杂规律变化系统误差的方法第三节粗大误差一、粗大误差产生的原因产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为：①测量人员的主观原因②客观外界条件的原因二、判别粗大误差的准则（一）准则计算每个数据的残差vi，若残差满足：vd

xdx

3则可认为第d个数据含有粗大误差，应予以剔除。利用贝塞尔公式容易说明：在n10的情形，用3准则剔除粗大误差注定失败。为此，在测量次数较少时，最好不要选用3准则。举例及计算略（二）格罗布斯（Grubbs）准则1950年格拉布斯根据顺序统计量的某种分布规律提出一种判别粗大误差的1974年我国有人用电子计算机做过统计模拟试验与其它几个准则相比，对样本中仅混入一个异常值的情况，用格拉布斯准则检验的功率最高。设对某量作多次等精度独立测量，得,x2, ,xn,假定xi服从正态分布。为了检验xi中是否含有粗大误差，将xi按大小顺序排列成顺序统计量x(i)，而x(1)x(2) x(n)g

x(n)xg

xx(1)的分布，取定显著度（一般(n) 为0.05或0.01），可得如表2-12所列的临界值g0(n,)

，而P(x(n)xg

(n,))及P(xx(1)g

(n,))若认为x(i)可疑，则有：若认为x(n)可疑，则有：

g(1)g

xx(1)x(n)x(n) g(i)g0(n,)（2-91即判别该测得值含有粗大误差，应予剔除。举例及计算略（三）狄克松准则1950年狄克松（Dixon）提出另一种无需估算算术平均值和标差的方法，它是根据测量数据按大小排列后的顺序差来判别是否存在粗大误差。有人指出，用Dixon准则判断样本数据中混有一个以上异常值的情形效果较好。设正态测量总体的一个样本,x2, ,xn,将xi按大小顺序排列成顺序统计量xi)x(1)x2) x(n)。xn)x(1)和，分以下几种情形：rx(n)x(n1)与r

x(2)x(1)

n710

x x

10 x x (n) (1) (n) (1) x x x xr

n) (n1)与r

(2)

n:81011

x x

11 x x(n) (2) (n-1) (1)rx(n)x(n2)与rx(3)x(1)

n:111321

x x

21 x x (n) (2) (n1) rx(n)x(n1)与rx(2)x(1)

n1410

x(n)x(1)

10 x

(n)x(1)或大于临界值(n,x(1xn)含有粗大误差。临界值r0(n,)由表2－13查得。举例及计算略（四）罗曼诺夫斯基准则t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差较为合tt分布检验被剔除的值是否是含有粗大误差。设对某量作多次等精度测量，得,x2, ,xn,若认为测量值xi为可疑数据，将其剔除后计算平均值及标准差为(计算时不包括xi)：x 1n1

nninv2inv2i1 n2i1ij根据测量次数n和选取的显著度，即可由表2-14查得t分布的检验系数K(n,)。xjxK（2-93则认为测量值xi含有粗大误差，剔除xi是正确的，否则认为xi不含有粗大误差，应予保留。举例及计算略总结：几点考虑去具体应用：（n50）用准则最简单方便，虽然这种判别准则的可30n503n30个异常值，用狄克逊准则适于剔除一个以上异常值。当测量次数比较小时，也可根据情况采用罗曼诺夫斯基准则。②在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的σ只是偏大一点，这样较为安全。另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它对平均值的影响。三、防止与消除粗大误差的方法对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量结果者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可以防止粗大误差产生的。在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中含有粗大误差，可采用不等精度测量和互相之间进行校核的方法。例如对某一测量值，可由两位测量者进行测量、读数和记录；或者用两种不同仪器、或两种不同测量方法进行测量。四、三类测量误差处理的方法总结①随机误差具有抵偿性，这是它最本质的特性，算术均值和标准差是表示测量结果的两个主要统计量；系统误差则违背抵偿性，因而会影响算术均值，变化的系统误差还影响标准差；粗大误差则存在于个别的可疑数据中，也会影响算术均值和标准差。②随机误差服从统计规律，是无法消除的，但通过适当增加测量次数可提高测量精度；系统误差则是有确定性规律，在掌握这个规律后，可以采取适当的措施消除或减小它；粗大误差既违背统计规律，又违背确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。③为处理一组测量数据，往往先找出个别可疑数据，经统计判断确认无粗大误差后，再用适当的方法检验数据中是否含有明显的系统误差，如确认已无系统误差，最后处理随机误差，统计算术平均值、标准差及极限误差，以正确的表达方式给出测量结果。第四节 测量结果的数据处理实例分两种情况：等精度直接测量列测量结果的数据处理实例和不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例。一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例例：对恒温箱的保温性进行研究，等精度测量某一温度点的值20次，测得值如下：（单位：℃）25.5325.5225.5025.5225.5325.5325.5025.4925.4925.5125.5325.5225.4925.3825.5025.5225.5425.4725.4825.51已知温度计的系统误差为-0.05℃,除此以外不再含有其它的系统误差，试判断该测量列是否含有粗大误差，并求当置信概率为99.73%时该温度点的测量结果。解：由于测量温度计的系统误差为-0.05℃,除此以外不再含有其它的系统误差，故这里不考虑系统误差的辨别。1.求算术平均值：nni

510.02Ti 25.50℃2.求残余误差：即

n 20viTiT0.03,v20.02,v30,v40.02,v50.03,v60.03,v70,v80.01,v90.01,0.03,0.02,0.01,0.12,0,0.02,0.04,0.03,0.02,v200.01（也可列表计算）3.校核算术平均值及其残余误差：（略）4.求测量列单次测量的标准差：根据Bessel公式，单次测量标准差为：ininv2in10.02319 0.0355.判别粗大误差：用3准则判别粗大误差，判定第14个测量值，即25.38为粗大误差，剔除。6.重新计算算术平均值和单次测量的标准差为：nn i

484.68Ti 25.51℃n 19=

inv2iinv2in10.0069187.再判别粗大误差，根据3准则，发现此时测量列中不含有粗大误差。8.求算术平均值的标准差：nTn

0.0200.005℃199.求算术平均值的极限误差：19由于给定置信概率为99.73%，按照正态分布，此时0.27，t3算术平均值极限误差为：limTtT30.0050.015℃10.给出最后的测量结果（要减去已定系统误差）：TT0.05limT25.56二、不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例略第三章误差的合成与分配第一节函数误差测量分类：直接测量与间接测量间接测量中的函数误差：间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差一、函数系统误差计算间接测量的数学模型：yf(x1,x2, ,xn)由y的全微分，函数系统误差y的计算公式yfx

fx

x2

fx

xn1 2 n几种简单函数的系统误差1、线性函数：ya2x2 anxnya2x22、三角函数形式

anxn,anxn,xn,)sin

f(,x2,

cosxxii1 i,xn,)1 n,xn,)cos

f(,x2,

sinxxii1 i举例：用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡h50mms500mmhh-计算略二、函数随机误差计算函数的一般形式y若变量中只有随机误差，即

f(x1,x2, ,xn)yy

f(x1,x2x2, ,xnxn)泰勒展开，并取其一阶项作为近似值：fxnyfxfxnx 1 x 2 n1 2((f)xn2f

22f

22

22

n ffy (x)

x1 (x) x2

xn 2(xx

Dij)1 2或者

1ij i jn2(f)22n

(f)22

(f)22

2

(ff)y x

x1 x x2

x xn

xx

ijxixj1 2 n相互独立的函数标准差计算公式为：

1ij i j2(f

)2

(f

)2

(f

)22y

x1 x x2

x xn或者令fxi

ai

1 2 n(f)2(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnna a a 2222a221 x1 2x2nxnaa a 2222a221x1 2x2nxn三角函数标准差计算

y1）正弦函数形式为：sin函数随机误差公式为：

f(x1,x2, ,xn)1cos x1cos x(f)22(f)22x11xx2(f)22xn2xn2）余弦函数形式为：cos函数随机误差公式为：

f(x1,x2, ,xn)1sin 1sin x(f)22(f)22x1xx2(f)22xxn12n3）正切函数形式为:tan函数随机误差公式为：

f(x1,x2, ,xn)(f)22(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnn4）余切函数形式为:cot函数随机误差公式为：

f(x1,x2, ,xn)(f)22(f)22(f)22xx11xx2(f)222xxnn举例：用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡h50mms500mmh,弦长的系统误差h-计算略2、相关系数估计相关系数对函数误差的影响函数随机误差公式2f

22f

22

22

n f

fy (x)

x1 (x) x2

xn 2(xx

ijxixj)(f)xn1 2 (f)xna a a 2222a221 x1 2x2nxny当相关系数为±1时xnyx1xn相关系数的确定1、直接判断法可判断相关系数为0的情形1）断定两分量之间没有相互依赖关系的影响2）当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然3）两分量属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量4）两分量虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关可判断1或1的情形1）断定两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系2）当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然3）两分量属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关2、试样观察法和简略计算法（1）观察法（2）简单计算法cosn1n3n（3）直接计算法

n n(x,x)

(xik)(xjkxj)ki j (x

x)2(x

x)2（4）理论计算法

ik i jk jk第二节随机误差的合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响随机误差的合成形式包括：标准差合成和极限误差合成一、标准差合成合成标准差表达式:i1i1q(a)2 aa2ii ijijijq1ijii1q(a)2ii用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差当误差传播系数为1、且各相关系数均可视为0的情形iqiq2i1视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量。二、极限误差合成若单项极限误差为：ikii

i1,2,,q其中，i为单项随机误差的标准差，ki为单项极限误差的置信系数。则合成极限误差为：k合成极限误差计算公式：((ii)qaq22 aa ijijkji iki1iji jk应用极限误差合成公式时，应注意：1）ij为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。2）根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成3）各个置信系数不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关4）对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同5）对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布。此时：k2 kqkii1q(a)2 aa2ii ijijijq1ijiq2i各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式。第三节 系统误差合成一、已定系统误差的合成定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：rr合成方法：按照代数和法进行合成。即：aiii二、未定系统误差的合成（一）未定系统误差的特征及其评定定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围e的系统误差特征：1）在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：极限误差：e；标准差：u（二）未定系统误差的合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。1、标准差合成若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为,u2, ,us，其相应的误差传递系数为,a2, ,as，则合成后未定系统误差的总标准差u为 i iisau2s2 aauu ijijiji11ij式中，ij为第i个和第j个误差项的相关系数s ii(au)s ii(au)2i12、极限误差的合成由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：s iis ii(au)2 aauu2 ijijijsi1ij或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：si1(si1(ii)au2t2 aai suuji1ijijijti jt当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，则上式可简化为： (a (ae)i1 iis2第四节 系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成1、单次测量情况r个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1,1, ,r,e2, ,es1,2, ,q若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：sseq2i(i)tii1(i)tiRrri1

it式中，R为各个误差之间的协方差之和。r当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为r=isisi1e i iq22i1一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：si1si1e i iq22i12、n次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：si1si1e2i i1qn2i1二、按标准差合成1、单次测量情况测量过程中，假定有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，它们的标准差分别为：,u2, ,us1,2, ,q若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的标准差为：= u Rsi iq22i1i1式中，R为各个误差之间的协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：i i isqu 22i1 i12、n次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总标准差变为：si1si1u2i i1qn2i1【例】在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为l150.026mm，l250.025mm，已知工件的和高度为H80mm，求测量结果及其极限误差。计算略【例】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量M14.004g，求测量结果的标准差。计算略第五节误差分配在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。满足条件：222y1 y22yn一、按等影响原则分配误差二、按可能性调整误差按等影响原则分配误差的不合理性(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。三、验算调整后的总误差误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。Dh，根据函数式D2V h4求得体积V20mm50mmDh的准确度。计算略第六节 微小误差取舍准则微小误差：测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差。已知测量结果的标准差：D2DD2D21 2D2D2D2kk k1D2n若将其中的部分误差取出后，则得D2D21 2D2D21 2D2D2kk1D2n如果yy则称Dk为微小误差。1、测量误差的有效数字取一位：某项部分误差舍去后，满足：0.3)y0.3)y或者

yk

13 y则对测量结果的误差计算没有影响。2、测量误差的有效数字取二位：某项部分误差舍去后，满足：yk(0.14 y或者

yk

110 y对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。第七节 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定：当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。考虑因素：因为已定系统误差可以通过误差修正的方法来消除，所以设计最佳测量方案时，只需考虑随机误差和未定系统误差的影响。研究对象和目标：研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。一、选择最佳函数误差公式间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值最小的函数公式。不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差较小的直接测量值的函数公式。【例】用分度值为0.05mm游标卡尺测量两轴的中心距L，试选择最佳测量方案。解：略二、使误差传播系数尽量小f则函数误差可相应减少。f测量条件，但却指出了达到最佳测量方案的趋向。【例】用弓高弦长法测量工件直径，已知其函数式为:l2D h4h

/xi为最小，/xi等于零的试确定最佳测量方案。解：略。第四章测量不确定度第一节 测量不确定度的基本概念一、概述（ISO)。二、测量不确定度的定义测量不确定度：测量结果含有的一个参数，表征被测量值的分散性。测量结果＝被测量的估计值＋不确定度YyU三、测量不确定度的评定方法A类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定四、测量不确定度与误差联系：测量结果的精度评定数所有的不确定度分量都用标准差表征，由随机误差或系统误差引起误差是不确定度的基础区别：误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心误差一般难以定值，不确定度可以定量评定误差有三类，界限模糊，难以严格区分；测量不确定度分两类，简单明了第二节 标准测量不确定度的评定标准不确定度：用标准差表征的不确定度，用u表示一、标准不确定度的A类评定u被测量X的估计值＝单次测量值x：u被测量X的估计值＝算术平均值x：u/ n思考：当被测量Y取决于其他N个量X1,X2, ,XN时，则Y的估计值y的标准不确定uy如何估计？二、标准不确定度的B类评定B类评定的提出B类评定的依据以前的测量数据、经验和资料；有关仪器和装置的一般知识、制造说明书和检定证书或其他报告所提供的数据；由手册提供的参考数据等。（3）常见情况的B类评定a、当估计值受多个独立因素的影响，且影响大小相近时，可假设为正态分布auxkaqb、当估计值取自相关资料，所给出的测量不确定度Ux为标准差的k倍时uUxx kcx服从均匀分布，即若在区间xaxa内的概率为1，且在各处出现的机会相等，则3aux3ad、当x受到两个独立且皆满足均匀分布的因素影响时，则x服从区间为xaxa内的三角分布6aux6aex服从区间xaxa内的反正弦分布时，则其标准不确定度为2aux2a三、自由度及其确定1）自由度的概念自由度：将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数所得的差值，用ν表示意义：反映不确定度评定的质量，自由度越大，标准差越可信赖，不确定度评定质量越好。2）自由度的确定A类评定的自由度：Besseln1其他公式：见表4－1（P86教材费业泰）B类评定的自由度：v 12(u)2u第三节 测量不确定度的合成一、合成标准不确定度1、uc的确定步骤第一步明确影响测量结果的多个不确定度分量；第二步确定各分量与测量结果的传递关系和它们之间的相关系数；第三步给出各分量标准不确定度；第四步按方和根法合成。2、uc的合成例：间接测量中，设各直接测得量xi的标准不确定度为uxi，它对被测量的传递系数为f度分量为

/xiy

f(x1x1, xNxiy的不确定fxiufxii xi而测量结果y的标准不确定度uc可用下式表征NNfi1 2xiNuffxi22ijuxiuxj1ijxxi jijxixj不确定度的相关系数。3、结果表示Yyuc二、展伸不确定度1、展伸不确定度的提出2、展伸不确定度的评定Ukuck由tktp(v)p－给定的置信概率v－uc的自由度，当各不确定度分量相互独立时，u4vc Nu4Nuii1vi当自由度无法按上式计算时，取k=2~3测量结果：YyU三、不确定度报告1、报告的基本内容2、测量结果的表示用uc表示:a.y100.02147g,uc0.35mgb.Y100.02147(35)gc.Y100.02147(0.00035)gd.Y(100.021470.00035)g用U表示与d的表示形式相同，为避免混淆，应给出相应说明。相对不确定度表示形式：y100.02147g,uc0.00035%3、注意事项1）有效数字一般不超过两位2）不确定度数值与被测量的估计值末位对齐3）“三分之一准则”修约第四节 测量不确定度应用实例一、测量不确定度计算步骤1）列出主要分量2）计算各分量的传递系数3）评定标准不确定度分量，给出自由度4）分析各相关系数5）求uc和自由度，若有必要，给出展伸不确定度U6）给出不确定度报告例1：测某一圆柱体的体积。由分度值为0.01mm的测微仪重复测量直径D和高度h各6次，数据如下：Di/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.085hi/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.115、h的平均值，求V的估计值（单个计算求平均如何？）D2V h806.8mm34不确定度评定D的测量重复性引起的标准不确定度分量因u 0.0048mm,VD，则D D D hVDVD

u0.77mm3,v

6151Dh的测量重复性引起的标准不确定度分量u21D因u0.0026mm,Vh h

D24

，则VhVh

u0.21mm3,v

6152h（3）测微仪的示值误差引起的标准不确定度分量2h由仪器说明书可知，测微仪的示值误差范围u30.01mm，取均匀分布，u=0.01=0.0058mm仪 3((Du)2(仪hu仪)2VVu3

1.04mm3u设相对标准差 u3

35%，对应的自由度3、不确定度合成

v3

12(0.35)2

4因ij0，则体积测量的合成标准不确定度其自由度为

ucu2u2u2u21 2 3

1.3mm33uvc 7.86,取v83u4、展伸不确定度

4ii1vi取置信概率P0.95,v8，查t分布表得包含因子kt0.95(8)2.31于是，体积测量的展伸不确定度为cUku3.0mm3c5、不确定度报告1）用合成标准不确定度表示测量结果cV806.8mm3,u1.3mm3,v7.86c2）用展伸不确定度表示测量结果V(806.83.0)mm3,P0.95,v8c其中，±符号后的数值式展伸不确定度，Uku3.0mm3是由合成标准不cc确定度u1.3mm3及包含因子k2.31确定的。例2：电压测量不确定度计算c在标准条件下，用标准数字电压表测直流电压源的输出电压10次，测得值为（V）：10.000107,10.000103,10.000097,