2025届高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理

PAGEPAGE1培优点十九圆锥曲线综合一、圆锥曲线综合一、圆锥曲线综合例1：已知为坐标原点，，分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上且位于第一象限，点在轴上的投影为，且有（其中），的连线与轴交于点，与的交点恰为线段的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，，由题意，得的横坐标为，由，得，∴，∵，，∴直线的方程为，令，则，∴，∴直线的方程为，∵直线的方程为，∴点，∵恰为线段的中点，∴，整理可得，则．例2：设，是双曲线（，）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】双曲线（，）的一条渐近线方程为，∴点到渐近线的距离，即，∴，，∵，∴，在三角形中，由余弦定理可得，∴，即，即，∴，故选C．例3：已知定点，点是抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，作准线于点，则，设的倾斜角为，则（），当与相切时，取最大值，由，可得，代入抛物线，得，即，，可得，解得或，故的最大值为，即的最大值为，即的最大值为．对点对点增分集训一、选择题1．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长等于，则双曲线两条渐近线相夹所成的锐角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】过圆心作渐近线的垂线，设垂足为，由题意知圆心到渐近线的距离，则易知，所以两渐近线相夹所成的锐角为．2．如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，交准线于点，若，，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】作，垂直准线，垂足分别为，，，即，可得，则，，，所以是线段中点，所以，则．3．已知点，是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】极限法：当重合于右顶点时，有，此时，当时，椭圆越扁，明显存在，故．或：如图，为线段中点，设，则，，可知，则，点在椭圆上，有，代入，可得，即有，解得，又，所以．4．已知过抛物线焦点的直线与交于两点，交圆于，两点，其中位于第一象限，则的值不行能为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设，，由焦点弦的性质有，即有，又，，，，当时取等号，所以，不行能等于．5．已知两点在椭圆上，若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点在第一象限，直线的倾斜角为，则，，点在椭圆上，则，即，同理有，则，，所以，当时取等号，此时．6．已知点是的双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与双曲线的渐近线分别交于点，，若线段中点为，且（为原点），则双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，，点，在渐近线上，即，同理，所以，即，因为，，，则有，得，如图，易知点在第一象限，，得，，则，所以，．二、填空题7．已知点是椭圆的右焦点，点是原点关于直线的对称点，且轴，则椭圆的离心率等于__________．【答案】【解析】由题意可知直线，直线，联立得，则线段中点为，则有，即，所以，则．8．设，是双曲线的左右焦点，过焦点的直线与曲线的左支交于点，，若，且，则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】如图，设，，由双曲线的定义知，即，，则，设为线段中点，则，，，由勾股定理得，即，解得，，所以，渐近线方程为．9．已知点是抛物线的焦点，点，在抛物线上，满意，则的最小值为．【答案】【解析】知，设，，，解得，，当时取等号．10．已知点，是离心率的双曲线的两个焦点，直线与双曲线交于，两点，设，分别是，的内心，且，则双曲线的标准方程是__________．【答案】【解析】直线过右焦点，，所以直线与双曲线的右支有两个交点，如图，设右顶点，，，，垂足分别为，，，由双曲线的定义及三角形内心特点，有，则可得，重合，同理，，垂足为，设直线的倾斜角为，由题意知，，则，则，由角平分线特点知，，可知，，，则，，所以，又，解得，，，所以双曲线的标准方程是．三、解答题11．已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的随意一点，过点的直线交曲线于另一点，交轴的正半轴于点，记点关于轴的对称点为点，交轴于点，且．（1）求证：点，关于原点对称；（2）求点到直线的距离的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】设直线，，，则，由，消，得，得，（1）设，知，，三点共线，又，，则有，即，所以点，关于原点对称．（2）因为，所以，即，即，得，则，，设，则，函数在上递减，所以．12．已知椭圆经过点，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条相互垂直的直线，分别与椭圆交于点和四点，若分别是线段的中点，推断直线是否过定点？若是，恳求出定点坐标，若不是请说明理由．【答案】（1）；（2）是过定点，定点为．【解析】（1）由题意知，解得，椭圆的标准方程为．（2）当直线，的斜