《备考指南一轮 数学 》课件-高考专题突破1

导数及其应用第四章【高考专题突破(一)】——探秘函数与导数热点问题和动向高考函数与导数的压轴题常以组合函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)．着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、分类讨论、数形结合及转化与化归等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．热点题型1利用导数研究函数的性质【例1】

已知函数f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2(a>0)，记f′(x)为f(x)的导函数．(1)若f(x)的极大值为0，求实数a的值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋6x，求g(x)在[0,1]上取到最大值时x的值．【解题思路】(1)求f′(x)→解f′(x)＝0→用所得解分割定义域→逐个区间分析f′(x)的符号，得f(x)的单调性→求极大值→根据极大值为0列方程求a.(2)易求g′(x)＝6(x2－ax＋1)，x∈[0,1]．①由g′(x)＝0是否有解想到Δ≤0，即0<a≤2和Δ>0，即a>2两种情况．(2)g(x)＝f(x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2(a>0)，则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0,1]．①当0<a≤2时，Δ＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g(x)在[0,1]上单调递增，则g(x)取得最大值时x的值为1.【变式探究】1．已知函数f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．(1)若m＝－2，求函数f(x)的极值；(2)是否存在实数m，使f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)当m＝－2时，f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)，则f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2)＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex.当x∈(－∞，－3)或x∈(0,2)时，f′(x)<0；当x∈(－3,0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.又f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，所以f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．所以当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值．极小值为f(－3)＝－37e－3和f(2)＝－2e2；当x＝0时，f(x)取得极大值，极大值为f(0)＝2.【解题思路】(1)求f(x)的定义域和f′(x)→发现f′(x)＝0不易解，f′(x)的符号不易分析，想到构建新函数，研究其单调性，确定f′(x)的符号．(2)将不等式等价转化，构建新函数，转化为求函数最值问题．【解题思路】(1)求f(x)的定义域→求f′(x)，解f′(x)＝0→用所得实数解分割定义域→分析f′(x)的符号，判断f(x)的单调性．(2)g(x)有两个极值点→g′(x)＝0有两个不同的零点记为x1和x2→分析g(x1)，g(x2)的正负和x→0时g(x)的变化趋势，x→＋∞时g(x)的变化趋势→得出g(x)的大致图象→判断g(x)的零点个数．解：(1)函数f(x)＝2xlnx＋2x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋2)，由f′(x)＝0得x＝e－2.x∈(0，e－2)，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(e－2，