《备考指南一轮 数学 》课件-第4章 第2讲 第2课时

导数及其应用第四章第2讲导数在研究函数中的应用第2课时利用导数求函数的极值与最大(小)值考点要求考情概览1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)(重点)．3．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(重点、难点)考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测本年度高考以考查用导数解决函数的极值、最值问题为主．试题难度较大，主要以解答题形式呈现．学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏02重难突破

能力提升03配套训练基础整合自测纠偏11．函数的极值与导数>

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大小大小2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，且最大(小)值必在区间端点或极值点处取得．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则______为函数的最大值，______为函数的最小值．f(a)

f(b)

f(a)

f(b)

【特别提醒】1．函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝0，但x＝0不是极值点．2．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．【常用结论】1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点．2．若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．1．(教材改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) (

)A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【答案】D3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝ (

)A．－4

B．－2

C．4

D．2【答案】D【答案】A5．函数f(x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．【答案】81．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．2．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．3．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．判断下列结论的正误．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的． (

)(2)在指定区间上极值可能有多个，也可能一个也没有，最大值最多有1个．

(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大． (

)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√重难突破能力提升2示通法利用导数研究函数极值问题的一般流程利用导数研究函数的极值【答案】D【解析】由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x＞0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.【解题技巧】

1．求函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．2．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．【变式精练】1．(1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是 (

)A．x＝1

B．x＝－1C．x＝1或－1或0

D．x＝0(2)(2020年广州综合测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为 (

)A．(－3,3)

B．(－11,4)C．(4，－11)

D．(－3,3)或(4，－11)(3)设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)．当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值．【答案】(1)C

(2)C

(3)见解析利用导数求函数的最值【解题技巧】1．利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．解：(1)因为f(x)＝excosx－x，所以f(0)＝1.f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，所以f′(0)＝0.所以y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1.

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．利用导数解决生活中的优化问题【解题技巧】1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)