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平面解析几何第九章【高考专题突破(四)】——高考中立体几何问题的热点题型高考解答题主要采用证明与计算相结合的模式，第一问考查空间平行或垂直关系的证明，第二问考查空间角的计算求解．重在考查考生的逻辑推理及计算能力，试题难度一般不大，属中档题，且主要有以下几种常见的热点题型．【思路导引】(1)利用勾股定理的逆定理证明PA⊥PB，PA⊥PC即可得证；(2)建立空间直角坐标系，用向量法求解．解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以AD∥l.因为在AD⊥DC，所以l⊥DC．又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．所以PD⊥l.因为CD∩PD＝D，所以l⊥平面PDC．【思路导引】(1)利用翻折前后的不变关系，四边形ABFE是矩形，证明BF⊥平面PEF，即可证明平面PEF⊥平面ABFD；(2)方法一：借助第(1)问，过P作平面ABFD的垂线为z轴，垂足为原点，EF所在直线为y轴，建系，再求直线DP的方向向量和平面ABFD的法向量，由公式计算所求角的正弦值．方法二：作出PD与平面ABFD所成的角，用几何法求解．证明：(1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD．(2)方法一：作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD．解：(1)CD∥AB．理由如下：连接CD，分别取AF，BE的中点M，N，连接DM，CN，MN，由图1可得，△ADF与△BCE都是等腰直角三角形且全等，则DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN.因为平面ADF⊥平面ABEF，交线为AF，DM⊂平面ADF，DM⊥AF，所以DM⊥平面ABEF.同理得，CN⊥平面ABEF，所以DM∥CN.又因为DM＝CN，所以四边形CDMN为平行四边形．所以CD∥MN.因为M，N分别是AF，BE的中点，所以MN∥AB．所以CD∥AB．(2)在AB边上取一点P，使得AP＝DF.由图1可得，ADFP为正方形，即AP＝FP.因为M为AF的中点，所以MP⊥MA．由(1)知，MD⊥平面ABEF，所以MA，MP，MD两两垂直．以M点为坐标原点，直线MA，MP，MD分别为坐标轴建立空间直角坐标系M－xyz，如图．解：(1)取AD的中点O，连接OP，OC，AC，由题意可得△PAD，△ACD均为正三角形，所以OC⊥AD，OP⊥AD．又OC∩OP＝O，所以AD

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