《备考指南一轮 数学 》课件-第8章 第6讲

立体几何第八章第6讲立体几何中的向量方法(一)

——证明平行与垂直考点要求考情概览1．理解直线的方向向量及平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理

考向预测：从近三年高考情况来看，本讲主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证的形式出现．试题以解答题的形式呈现，难度中等．学科素养：主要考查直观想象和逻辑推理的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．两个重要向量直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________个平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫作平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量无数

无数

2．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则线线平行l∥m⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0【特别提醒】

方向向量和法向量均不为零且不唯一．【答案】A2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则 (

)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确【答案】C3．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是 (

)A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)【答案】C【答案】C

5．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＋z＝________.【答案】16．(2019年日照期末)设平面α的一个法向量为n1＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.【答案】4

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)直线的方向向量是唯一确定的． (

)(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． (

)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合． (

)(4)若空间向量a垂直于平面α的法向量，则a所在直线与平面α平行． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×重难突破能力提升2

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.利用空间向量证明平行问题【解题技巧】用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．【变式精练】1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明：建立空间直角坐标系如图，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，示通法用空间向量证明垂直问题时，在建立恰当的空间直角坐标系的基础上，利用空间坐标、空间向量表示点、线，把立体几何的垂直问题转化为向量的数量积问题．利用空间向量证明垂直问题【解题技巧】证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建立空间直角坐标系是解题的关键．(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．证明：(1)取BC的中点O，连接PO.因为平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，所以PO⊥底面ABCD．以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

如图所示，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．利用空间向量解决探索性问题(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．【解题技巧】立体几何