2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义12 反比例函数与一次函数、几何结合含答案或解析

微专题12反比例函数与一次函数、几何结合高频考点突破考点1反比例函数与一次函数结合(6年3考)方法解读求几何图形面积：通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解.常见求三角形面积的示例如下：①S△AOB＝12OB·AD②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.例1如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)的图象与反比例函数y＝k2x(k2≠0)的图象分别交于点A(－1，－2)，B(32(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)如图①，点C是反比例函数图象上一动点，过点C作y轴的垂线，交y轴于点D，交一次函数图象于点E，当点C恰好是DE的中点时，求点C的坐标；例1题图①(3)核心设问如图②，连接OA，OB，求△AOB的面积；[2019广东23(2)题考查]例1题图②(4)核心设问如图③，点M是一次函数图象上一动点，当AM＝3BM时，求点M的坐标.[2021广东21(2)题考查]例1题图③考点2反比例函数与几何结合(6年2考)方法解读一、坐标法由y＝kx得到xy＝k，如：点A(xA，yA)，B(xB，yB)在反比例函数y＝kx的图象上，则xA·yA＝xB·yB＝k①，即反比例函数图象上的点的横、纵坐标积相等，都等于k；①式变形为xA二、面积法面积法的本质即利用“k”的几何意义，由xy＝k可以得到；反比例函数图象上的点向x，y轴作垂线，得到的矩形面积都相等，均为｜k｜；进而得到下图中：S△AOB＝S△COD＝12｜k例2(北师九上习题改编)如图，已知双曲线y＝kx(x＞0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，DE⊥OA于点E，连接OC，若△OBC的面积为3，则k等于例2题图例3(2024东莞一模改编)如图，点A是反比例函数y＝6x(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝－3x(x＜0)的图象于点B，以AB为边作菱形ABCD，其中C，D在x轴上，则菱形ABCD的面积为例3题图例4(人教九上习题改编)如图，△ABC的边AB在x轴上，边AC交y轴于点E，AE∶EC＝1∶2，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象过点C，且交线段BC于点D，BD∶DC＝1∶3，连接AD，若S△ABD＝114，则k的值为例4题图真题及变式命题点1反比例函数与一次函数结合(6年3考) 1.(2021广东21题8分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝4x图象的一个交点为P(1，m(1)求m的值；(2)若PA＝2AB，求k的值.2.(2019广东23题9分)如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，(1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞k2x的(2)求这两个函数的表达式；(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标.第2题图命题点2反比例函数与几何结合(6年2考) 3.(2020广东24题10分)如图，点B是反比例函数y＝8x(x＞0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C.反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，(1)填空：k＝；(2)求△BDF的面积；(3)求证：四边形BDFG为平行四边形.第3题图

高频考点例1解：(1)将点A(－1，－2)代入y＝k2x(k2≠0)中，得解得k2＝2，∴反比例函数的解析式为y＝2x将点B(32，n)代入y＝2x中，得n＝∴点B(32，4将点A(－1，－2)，B(32，43)分别代入y＝k1x＋b1(k得－k解得k1∴一次函数的解析式为y＝43x－2(2)设点C的坐标为(x，2x∵点C是DE的中点，∴点E的坐标为(2x，2x将点E(2x，2x)代入y＝43x－得43·2x－23＝整理得4x2－x－3＝0，解得x＝1或x＝－34当x＝1时，y＝21＝2，点C当x＝－34时，y＝2－34＝－83，点C综上所述，点C的坐标为(1，2)或(－34，－8(3)由(1)可知点A(－1，－2)，点B(32，4在一次函数y＝43x－23中，令y＝0，得x＝∴S△AOB＝12×12×(43(4)设点M(a，b)，当点M在AB的延长线上时，∵AM＝3BM，∴AB＝23AM如解图①，过点M作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点B作BQ⊥AP于点Q，则BQ∥MP，∴△ABQ∽△AMP，∴AQAP＝BQMP＝ABAM∴32+1a+1＝解得a＝114，b∴点M的坐标为(114当点M在线段AB上时，∵AM＝3BM，∴AB＝43AM如解图②，过点M作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点B作BQ⊥AP交AP的延长线于点Q，则BQ∥MP，∴△ABQ∽△AMP，∴AQAP＝BQMP＝ABAM∴32+1a+1＝解得a＝78，b＝1∴点M的坐标为(78，1综上所述，点M的坐标为(114，3)或(78，图①图②例1题解图例22【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB中点，∴OE＝12OA，DE＝12AB，∴xCxD＝OAOE＝2，又∵点C，D都在y＝kx上，∴xCxD＝yDyC＝2，即DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S△OBC＝12BC·一题多解法∵点C，D都在y＝kx上，∴S△ODE＝S△OCA＝k2，由题意得△ODE∽△OBA，且相似比DEAB＝12，∴S△ODES△OBA＝14，∴S△OBA＝4S△ODE＝2k，又∵S△OBA＝S△OBC＋S△OCA＝3＋例39【解析】设点B的纵坐标为b，∴－3x＝b，解得x＝－3b，∵AB∥x轴，∴点A的纵坐标为b，∴b＝6x，解得x＝6b，∴AB＝6b－(－3b)＝9b，∴S例44【解析】设A(－a，0)(a＞0)，∵AE∶EC＝1∶2，∴点C(2a，k2a)，∵BD∶DC＝1∶3，∴点D的纵坐标为k2a×14＝k8a，∴点D的坐标为(8a，k8a)，∴B(10a，0)，∴AB＝11a，∵BD∶DC＝1∶3，∴S△ABC＝4S△ABD＝4×114＝11，∴S△ABC＝12真题及变式1.解：(1)∵P(1，m)为反比例函数y＝4x∴当x＝1时，m＝41＝4； (2)如解图，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，由(1)得P(1，4)，∴PM＝4，PN＝1.①当点B在y轴的正半轴时，∵PA＝2AB，∴A1B1易证△A1OB1∽△A1MP，∴OB1MP＝A∴OB1＝2，∴B1(0，2)，将P(1，4)，B1(0，2)分别代入y＝kx＋b中，得k＋b=4b=2，解得k=2b=2；②当点B在y轴的负半轴时，∵PA＝2AB，∴A2B2易证△B2A2O∽△B2PN，∴OA2NP＝A∴OA2＝13∴A2(13将P(1，4)，A2(13，0)分别代入y＝kx＋b得k＋b=41综上所述，k的值为2或6. (8分)第1题解图2.解：(1)x＜－1或0＜x＜4； (2分)(2)∵点A(－1，4)在反比例函数y＝k2∴4＝k2－1， 解得k2＝－4，∴反比例函数的表达式为y＝－4x. (4分∵点B(4，n)在反比例函数y＝－4x∴n＝－44∴B(4，－1).∵一次函数的图象过A，B两点，∴－k1＋b=44解得k1∴一次函数的表达式为y＝－x＋3； (6分)(3)如解图，连接OP，OA，OB，设一次函数y＝－x＋3与x轴交于点C，第2题解图∵当y＝0时，x＝3，∴点C的坐标为(3，0).∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，∴S△AOB＝12×3×4＋12×3×1＝152. ∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，∴S△BOP＝23S△AOB＝23×∵点P在线段AB上，∴设P的坐标为(m，－m＋3)，－1＜m＜4，∵S△POB＝S△POC＋S△BOC，∴S△BOP＝12×3×(－m＋3)＋12×3×1＝5， (8解得m＝23∴－m＋3＝－23＋3＝7∴点P的坐标为(23，73). (93.(1)2； (2分)【解法提示】如解图①，过点M分别向坐标轴作垂线，垂足为P，Q.由题意得S矩形ABCO＝8，S矩形PMQO＝｜k｜.∵M是OB的中点，∴S矩形PMQO＝14S矩形ABCO＝14×8＝2，即第3题解图①(2)解：如解图②，连接OD，∴S△BDF＝S△BDO＝S△BAO－S△DAO＝12S矩形ABCO－S△DAO＝12×8－｜k｜2第3题