河南省安阳市文源高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

2024-2025学年第二学期高一年级3月月考数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，，，则下列结论错误的是（）A. B.集合有7个元素 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出全集中的元素，根据集合的交并补运算逐项检验是否正确.【详解】由题意知共7个元素,故，，，所以A，B，D三项正确，C项错误.故选：C2.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据各个函数的奇偶性逐个判断即可.【详解】均是奇函数，是偶函数．故选：B.3.下列各角中，与2286°角终边相同的角是（）A.36° B.126° C.216° D.【答案】B【解析】【分析】由终边相同角的定义判断即可.【详解】因为，所以与角终边相同的角是126°.故选：B.4.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在间阴影部分区域表示的角的范围是，然后再写出终边落在阴影部分的区域内的角的集合.【详解】解：在间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为，.所以阴影部分的区域在间的范围是.所以终边在阴影部分区域的角的集合为：.故选：C.【点睛】本题考查了象限角，终边相同的角的集合表示法，某一范围内角的集合的表示法，属于基础.题.5.已知函数的定义域为，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可.【详解】因为，所以，函数的周期为1，所以．故选：B．6.，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的单调性可得的大小，根据对数的性质可得的大小.【详解】因为，且在区间上为增函数，所以，即；又，故．故选：C.7.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角，则扇环的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设扇环所在圆的圆心为，结合扇形的弧长公式求出，，进而结合扇形的面积公式求解即可.【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角，根据，得到，所以扇环面积.故选：A.8.已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可.【详解】由题意知，函数的单调递减区间为，则或，由，解得，而，故需满足，即，此时不存在；由，解得，则需满足，即，即，故，即，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解的含义，结合其解析式，求出函数的单调区间，进而转化为集合间的包含关系，列不等式求解即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中，值为的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断；选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断；选项D利用二倍角的正切公式求解判断.【详解】选项A：，故选项A不符合题意；选项B：，故选项B符合题意；选项C：，故选项C符合题意；选项D：，故选项C符合题意.故选：BCD.10.若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（

）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】ABC【解析】【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质求参数．【详解】由，得函数的对称轴为，当时，函数取的最小值为，当或时，函数值为，函数的定义域为，值域为，所以，实数的值可能为．故选：ABC11.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A.的周期为B.C.的所有零点之和为D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期判断A；结合已知结合对称性得，，，，进而利用周期性求和判断B；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，根据中心对称即可判断C；结合与的函数值的符号，根据奇函数性质和周期性判断D.【详解】由为偶函数，得，即，函数的图象关于直线对称，由为奇函数，得，即，则，的图象关于点对称，因此函数是周期为的周期函数，A错误；由当时，，得，而，，，因此，B正确；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，观察图形知，直线与的图象共有个交点，且它们关于点成中心对称，

所以所有零点之和为，C正确；当时，，，与均为奇函数，则当时，因此当时，，又与的周期都为，所以，D正确．故选：BCD【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的周期为___________.【答案】【解析】【分析】由公式直接计算即可.【详解】函数周期为.故答案为：13.已知函数的图象关于直线对称，则的值为______．【答案】0【解析】【分析】根据函数图象对称得，代入解析式得，即可计算的值.【详解】∵函数的图象关于直线对称，∴对任意，有，则，即，∴，即，∴，∴．故答案为：0．14.函数的定义域是_________．【答案】【解析】【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，需解得：即故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的定义域；（2）求证：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据正切函数的性质求定义域；（2）利用三角函数公式变形证明即可【小问1详解】令，得，即的定义域为；【小问2详解】因为左边，且，，且，所以.16.已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．（1）若，求扇形的弧长l；（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积；（3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可；（2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积（3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得；【小问1详解】．【小问2详解】设弓形面积为．由题知．．小问3详解】由已知得，，所以．所以当时，S取得最大值，此时．17.在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和正弦公式，即可求解；（2）首先利用角的变换求，即可求解.【小问1详解】由题意可知，，，，，所以，，；【小问2详解】，，，由，得，，则，所以.18.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求函数的值域；（3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间；（2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；（3）根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解.小问1详解】，令，，解得，，故函数的单调递增区间为.【小问2详解】由，得，则，所以在区间上的值域为.【小问3详解】由，得，又，即的两个解为，且，则，即，即，则，所以.19.对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.【答案】（1）不是，是；（2）充分不必要条件，证明见解析；（3）是，不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用恒等式判断，取计算，结合定义判断.（2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得.（3）取计算，结合定义判断；利用反证法推理导出矛盾判断.【小问1详解】函数，对一切实数不成立，所以函数不是“2阶零和函数”；取，，，所以是“2阶零和函数”.【小问2详解】“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件.证明如下：若为2阶零和函数，则存在常数，使得，，即，因此，即函数为周期函数；反之函数为周期函数，如，对，，为周期函数，对任意正常数，，因此函数不是2阶零和函数，所以“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件.【小问3详解】函数是“3阶零和函数”，取，，，所以函数是“3阶零和函数”；函数不是“3