2025届湖南省长沙市岳麓区长沙麓山外国语实验中学高三一模数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届湖南省长沙市岳麓区长沙麓山外国语实验中学高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z=1+i，则A．12 B．1 C．2 2．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（

）A．43π B．22π C．3．要得到余弦曲线y=cosx，只需将正弦曲线yA．π2个单位 B．π3个单位 C．π4个单位 4．如图，在ΔOAB中，P为线段AB上的一点，A．x=23C．x=145．现用甲、乙、丙、丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：mm）服从正态分布Nμ,2.25，且PA．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.36．已知圆C:(x−1)2+y2=A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．已知f（.x）为定义在R上的奇函数。当x>0时，f(x)=−x2+6x−A．[-1，0）∪（0，1] B．（-1，1）C．（-4，0）∪（0，4） D．（-1，0）∪（0，1）8．已知数列an满足a1=23,aA．20162017 B．20172018 C．40344035二、多选题9．已知函数f(x)=2asinωxcosωx−A．ωB．若x0=C．若fx0D．若g(x)=10．圆M：x2+y2+2xA．点P的轨迹方程为x−y−3=C．PM的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则11．已知抛物线W:y2=2px与圆M:(x−6)2+A．p=4B．圆M与抛物线W的准线相切C．在抛物线W上存在关于直线ABD．线段AB的垂直平分线与抛物线W交于C,三、填空题12．在△ABC中，∠A为钝角，∠B=20∘，作AD⊥BC交B13．已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x∈0,+∞时，f14．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有．①A与C互斥；②PBC=16；③A与D四、解答题15．已知函数fx(1)当a=1时，求(2)若fx≤x2在16．在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b(1)若B=π4，C=π(2)若点D是BC边上一点，且CD=2，BD17．已知等比数列an的前n项和为Sn，且2n(1)求a的值及数列an(2)若bn=−an+118．如图1，山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图，将直角梯形ABEF沿底边AB翻折，得到图2所示的几何体.已知AB(1)证明：AE//(2)若平面BDE⊥平面A19．我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.(1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；(2)经统计年龄在50,答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025届湖南省长沙市岳麓区长沙麓山外国语实验中学高三一模数学试题》参考答案题号12345678910答案BCADCBDCBCDABD题号11答案BD1．B【分析】根据给定条件，先利用共轭复数及复数除法运算，再求出复数的模.【详解】复数z=1+i，则所以|z故选：B2．C【分析】由勾股定理求出圆锥母线长，进而由侧面积公式进行求解.【详解】设圆锥的母线长为l，其中底面半径为r=由勾股定理得：l=故侧面积为πr故选：C3．A【分析】由题得y=【详解】由于y=所以要得到余弦曲线y=cosx，只需将正弦曲线y故选：A4．D【分析】根据BP=3【详解】由已知BP=3所以OP又OP所以x=故选D.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.5．C【分析】利用3σ【详解】解：依题意，μ=32+所以μ−3σ所以打印出来的零件内径尺寸应满足25.5≤结合选项可知，不需要调试的为丙，故选：C．6．B【分析】由圆心到直线的距离d≤【详解】圆C:(x−1当圆心到直线的距离d=k−3k即k−3k所以“k>33”是“直线l故选：B.7．D【分析】方程f(x)−m【详解】作出分段函数f(方程f(x)−m当m∈(−1，1)所以m的取值范围是：m∈故选：D8．C【分析】取倒数后可得1an+1−【详解】根据题意，有1an+进而an于是Sn=1故选：C9．BCD【分析】化简函数，由最小正周期求得参数ω，再结合选项一一判断即可．【详解】因为f(x)其中cosφ=aa2+1，sin因为对任意的x∈R，f(x)若x0=−π6所以cosφ=a因为fx0是f(x)的最小值，所以f因为当x∈x0−3因为f(x)在x0−当x∈x0−π因为f(x)在x0−所以x0−3故选：BCD10．ABD【分析】由题意可知2ax+【详解】圆M：x2+y∵圆M关于直线2a∴直线2ax+∴−2a∴点P的轨迹方程为x−由kMQ=2+1−PM的最小值即为M−1,2到直线x由于PA=PM2−AM2故选：ABD11．BD【分析】选项B分别过A,B,【详解】分别过A,B由于直线AB过焦点FMM故以AB由于以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，有6∴p∵AB过焦点F(2,0)，∴假设抛物线上存在两点T，T′关于直线A且y设直线TT′的方程是：代入y2=8所以yTxT所以TT′的中点为N(m+∴−因为y2+8y+∴C不正确．对于D，直线CD的方程为：y代入y2=由韦达定理得，xC|M|M故D正确．故选：BD.12．4【分析】根据余弦定义知BD=1cos20∘,【详解】由题意BD=1由余弦定理可得：AC2=15+=16+tan220故答案为：413．−【分析】根据当x∈−∞,0【详解】函数fx是定义在−当x∈0,则当x∈−∞,0故fx故答案为：−x14．①③【分析】由互斥事件的定义可判断①；分别列举事件C和事件D的样本点，可求得PC，PD，易知PA【详解】因为A与C不可能同时发生，所以A与C互斥，故①正确；C包含：2,6，3,5，4,4，5,3，6,2，共5个基本事件，D包含：1,故PA=16，PB则PAPBPB故答案为：①③15．(1)在−∞,0上单调递减，在0,+(2)a【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分x=0和x>0两种情况分析求解，当x>0时，不等式变形为a≥exx−【详解】（1）当a=1时，f当x<0时f′x<所以fx在−∞,所以当x=0时函数fx（2）因为fx≤x所以ex−x当x>0时a≥令gx=由（1）知x>0时fx当0<x<1时g′所以gx在0,1所以当x=1时，gx综上可知，实数a的取值范围是a≥【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．16．(1)6(2)1【分析】（1）由B=π4，C=π6，可得（2）设AD=x【详解】（1）因为B=π4所以sinA=sin由正弦定理asinA=所以a+（2）设AD=x，在三角形AAB2=即12+x①×2＋②得，6+因为b2+2c2即AD17．(1)a(2)T【分析】（1）由已知条件分别求出等比数列an的前3项，由此能求出a的值及数列a（2）根据（1）可得bn，由此利用错位相减法能求出数列bn的前【详解】（1）∵2n+1当n=1时，2当n≥2时，∵an是等比数列，∴a1=1,则∴数列an的通项公式为an（2）由（1）得bn则Tn=12Tn=①-②得−Tn===1+4∴Tn18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据相似可得线线平行，即可由线面平行的判定求证，（2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，即可由线面垂直的判定，进而可得线线垂直.【详解】（1）连接AC与BD相交于O,连接由于AB=2所以OC又EN=2AE⊄平面BND,ON⊂平面

（2）过C作CM⊥BD交BD于M，由于平面BDE⊥平面所以CM⊥平面BED，BE⊂平面又四边形ABEFAB,CM是平面ABAD⊂平面AB

19．(1)44.5(2)2【分析】（1）求出指数，再根据百分位数的求法即可；（2）利用组合公式结合古典概型即可得到答案.【详解】（1）由条件得，指数i=则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大