2023九年级数学下册 第二章 二次函数4 二次函数的应用第2课时 利用二次函数解决利润问题教学设计 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决利润问题教学设计（新版）北师大版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路同学们，今天咱们这节课要来聊聊二次函数在实际生活中的应用，特别是利润问题。这节课，咱们将结合课本内容，通过几个生动的例子，让大家感受到数学的魅力。我会用生动形象的语言，把复杂的问题简单化，让大家在轻松愉快的氛围中掌握知识。让我们一起开启这场数学之旅吧！😄🌟核心素养目标1.培养数学建模能力，学会将实际问题转化为二次函数模型。

2.提升逻辑推理能力，通过二次函数解析式分析利润变化的规律。

3.增强数据分析能力，学会从数据中提取信息，运用数学知识解决实际问题。

4.强化应用意识，认识到数学在生活中的广泛应用，激发学习数学的兴趣。重点难点及解决办法重点：

1.利润问题的建模：如何将实际问题中的价格、成本和销售量等量转化为二次函数的形式。

2.二次函数解析式的应用：如何利用二次函数的顶点坐标和对称轴来分析利润的最大值。

难点：

1.复杂利润问题的解析：对于涉及多个变量和条件的利润问题，学生可能难以找到合适的函数模型。

2.利润最大值的确定：学生可能对如何判断二次函数的开口方向以及如何找到最大值点感到困惑。

解决办法：

1.通过实例分析，引导学生逐步建立利润问题的二次函数模型，强化建模意识。

2.结合图形和解析式，帮助学生理解二次函数的性质，特别是顶点坐标和对称轴对利润最大值的影响。

3.设计分层练习，从简单到复杂，逐步提升学生解决复杂利润问题的能力。

4.利用小组讨论和合作学习，鼓励学生交流思路，共同突破难点。教学方法与手段1.讲授法：通过生动的语言和实例，讲解二次函数在利润问题中的应用，帮助学生理解概念。

2.讨论法：组织学生分组讨论，分析具体案例，培养合作学习和解决问题的能力。

3.实验法：利用模拟软件，让学生亲自操作，体验二次函数模型在利润最大化中的应用，提高实践操作能力。

教学手段

1.多媒体展示：利用PPT展示二次函数图像和解析式，直观展示函数性质。

2.互动软件：使用教学软件进行动态演示，让学生通过拖动参数观察函数变化，加深理解。

3.课堂练习：通过在线平台布置练习题，即时反馈学生掌握情况，提高学习效率。教学过程设计一、导入新课（5分钟）

目标：引起学生对二次函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们有没有遇到过需要找最大值或最小值的问题？比如，如何让利润最大化？”

展示一些生活中的例子，如滑梯的高度设计、抛物线运动等，让学生初步感受二次函数的魅力或特点。

简短介绍二次函数的基本概念和重要性，比如它在物理学、经济学中的应用，为接下来的学习打下基础。

二、二次函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解二次函数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解二次函数的定义，包括其一般形式\(y=ax^2+bx+c\)的含义。

详细介绍二次函数的组成部分：系数\(a\)、\(b\)、\(c\)对函数图像的影响，使用图表或示意图帮助学生理解。

三、二次函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解二次函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的二次函数案例进行分析，如利润最大化问题、抛物线运动问题等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解二次函数的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用二次函数解决实际问题。

四、学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与二次函数相关的主题进行深入讨论，如“如何设计一个最佳利润方案”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

五、课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对二次函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

六、课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调二次函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括二次函数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调二次函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用二次函数。

布置课后作业：让学生尝试用二次函数解决一个生活中的实际问题，如“如何设计一个最优化的运动路径”。教学资源拓展1.拓展资源：

-二次函数的图像与性质：提供一些二次函数图像的详细分析，包括顶点坐标、对称轴、开口方向等，帮助学生更深入地理解二次函数的基本特性。

-利润问题的多样化实例：收集不同行业、不同场景下的利润问题，如房地产销售、电商促销、制造业成本控制等，让学生看到二次函数在实际生活中的广泛应用。

-二次函数在经济决策中的应用：介绍二次函数在经济模型中的应用，如生产规划、库存管理、定价策略等，增强学生对数学在经济领域价值的认识。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《数学建模与经济学》等书籍，可以为学生提供更深入的数学建模方法和经济学应用案例。

-观看教学视频：推荐一些关于二次函数应用的在线教学视频，帮助学生从不同角度理解二次函数的运用。

-实践项目：鼓励学生参与学校或社区组织的数学建模竞赛，将所学知识应用于解决实际问题。

-制作二次函数模型：学生可以尝试制作二次函数的物理模型，如抛物线滑梯，通过实际操作加深对二次函数图像的理解。

-数据分析：指导学生收集实际数据，如市场销售数据、成本数据等，尝试使用二次函数进行拟合和分析，提高数据分析能力。

-专题研究：选择一个特定的利润问题进行深入研究，如某商品在不同价格下的销售利润，通过计算和比较，得出最优定价策略。

-互动讨论：在班级或在线论坛上组织讨论，分享学生对于二次函数应用的个人见解和解决策略，促进知识的交流和拓展。典型例题讲解例题1：

某商品的成本为每件100元，售价为每件150元，为了促销，商家决定每件降价10元，假设销量不变，请写出利润y与降价次数x的函数关系式。

解答：

利润y=(售价-成本)×销量

=(150-100-10x)×销量

=(50-10x)×销量

由于销量不变，我们可以用销量来表示y，即销量=y/(50-10x)

所以，利润函数关系式为：

y=(50-10x)×(y/(50-10x))

=y

例题2：

一家工厂生产两种产品，第一种产品每件成本为80元，每件售价为120元；第二种产品每件成本为50元，每件售价为70元。工厂计划每月至少生产100件产品，为了实现利润最大化，请列出利润y与生产第一种产品x件、第二种产品y件的函数关系式。

解答：

利润y=(第一种产品利润)+(第二种产品利润)

=(售价-成本)×第一种产品数量+(售价-成本)×第二种产品数量

=(120-80)×x+(70-50)×y

=40x+20y

例题3：

某公司销售一种产品，成本为每件200元，售价为每件300元。为了促销，公司决定提供折扣，折扣为售价的10%。如果公司希望利润至少为10000元，请列出利润y与销售数量x的函数关系式。

解答：

利润y=(售价-成本)×销售数量

=(300×0.9-200)×x

=(270-200)×x

=70x

为了使利润至少为10000元，有：

70x≥10000

x≥10000/70

x≥142.857

由于x为销售数量，应为整数，所以x至少为143。

因此，利润函数关系式为：

y=70x

例题4：

一家电商网站推出限时促销活动，原价100元的商品，前100件打8折，超过100件的部分打9折。请列出利润y与销售数量x的函数关系式。

解答：

当销售数量x≤100时，利润y=(售价×折扣-成本)×x

=(100×0.8-100)×x

=(80-100)×x

=-20x

当销售数量x>100时，利润y=(前100件利润)+(超过100件利润)

=-20×100+(100×0.9-100)×(x-100)

=-2000+10x-900

=10x-2900

因此，利润函数关系式为：

y=-20x,当x≤100

y=10x-2900,当x>100

例题5：

某书店销售一本书，成本为每本20元，售价为每本30元。书店决定进行促销活动，前100本打8折，超过100本的部分打9折。请列出利润y与销售数量x的函数关系式。

解答：

当销售数量x≤100时，利润y=(售价×折扣-成本)×x

=(30×0.8-20)×x

=(24-20)×x

=4x

当销售数量x>100时，利润y=(前100本利润)+(超过100本利润)

=4×100+(30×0.9-20)×(x-100)

=400+7x-700

=7x-300

因此，利润函数关系式为：

y=4x,当x≤100

y=7x-300,当x>100教学评价1.课堂评价：

-提问：在课堂上，我将通过提问来检查学生对二次函数应用的理解程度。我会提出一些开放式问题，如“如何确定二次函数的最大值或最小值？”以及“二次函数在解决利润问题时有哪些优势？”等，以激发学生的思考。

-观察：通过观察学生的课堂参与度、小组讨论中的互动以及解决问题的能力，我可以评估学生对二次函数应用的实际掌握情况。

-测试：在课程结束后，我将设计一份小测验，包括选择题、填空题和简答题，以评估学生对二次函数概念和应用的掌握程度。

2.作业评价：

-批改：我将认真批改学生的作业，确保每个问题都被仔细检查。对于错误，我会给出详细的反馈，指出错误的原因，并提供正确的解答。

-点评：在作业批改过程中，我会对学生的努力和进步给予积极的评价，同时指出需要改进的地方。

-反馈：我会及时将作业反馈给学生，确保他们能够了解自己的学习情况，并根据反馈进行调整。

3.形成性评价：

-小组讨论：通过观察学生在小组讨论中的表现，我可以评估他们的合作能力和解决问题的能力。

-项目工作：如果学生参与了一些项目工作，如设计一个利润最大化的方案，我会评估他们的创意、执行力和最终成果。

4.总结性评价：

-期末考试：在学期末，我将通过期末考试来评估学生对二次函数应用知识的整体掌握情况。

-自我评价：鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的强项和需要改进的地方。

5.教学反思：

-定期反思：在课程结束后，我会进行教学反思，思考教学过程中的成功之处和需要改进的地方，以便在未来的教学中不断提升教学质量。板书设计①二次函数的应用——利润问题

-利润函数：y=(售价-成本)×