江苏省南京市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.1 单调性教学设计 苏教版选修2-2

江苏省南京市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.1单调性教学设计苏教版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：江苏省南京市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.1单调性教学设计

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年3月15日星期三上午第二节课

4.教学时数：1课时

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同学们，大家好！今天我们要一起探索一个神奇的数学世界——导数及其应用。这节课，我们将聚焦于导数在研究函数中的作用，特别是函数的单调性。让我们一起走进这扇数学的大门，感受导数的魅力吧！🌟📚🧮核心素养目标1.培养学生运用数学语言描述和分析现实问题的能力，通过导数概念的学习，使学生能够理解函数单调性的数学意义。

2.提升学生的逻辑推理能力，通过探究导数与函数单调性之间的关系，引导学生进行严密的数学推理和论证。

3.增强学生的数学应用意识，使学生认识到导数在解决实际问题中的重要性，激发学生将数学知识应用于生活的兴趣。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生们已经学习了函数的基本概念，包括函数的定义、性质以及图像等。此外，他们应该对极限和连续性有一定的了解，这是学习导数的基础。在进入本节课之前，学生应该能够识别函数的增减性，并能够使用导数的基本概念来分析简单的函数行为。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高一的学生对数学的兴趣因人而异，但普遍对探索数学中的新概念和新方法保持好奇。他们的数学能力正处于发展阶段，能够通过直观和抽象的思考来理解数学概念。学习风格上，有的学生偏好通过实例和图形来理解，而有的学生则更倾向于逻辑推理和符号运算。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习导数及其应用时可能会遇到以下困难：一是理解导数的几何意义，即导数如何反映函数在某一点的瞬时变化率；二是掌握导数与函数单调性之间的关系，特别是如何通过导数的符号来判断函数的单调区间；三是将导数的概念应用于解决实际问题，这需要学生具备较强的数学建模能力。此外，学生可能对抽象的数学概念感到困惑，需要教师通过多种教学策略来帮助他们克服这些挑战。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《苏教版选修2-2》教材，特别是第一章中关于导数及其应用的相关内容。

2.辅助材料：准备与单调性相关的函数图像、导数符号变化图等图表，以及解释导数概念的动画视频。

3.教室布置：设置小组讨论区，让学生在小组内讨论和解决问题；准备白板或投影仪，以便展示图表和视频。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一幅描绘自然景观的图片，如山川、河流等，引导学生思考这些自然现象中是否存在变化。

2.提出问题：提问学生，如何描述这些景观随时间或空间的变化？引出函数和变化率的概念。

3.学生回答：让学生自由发言，总结出变化率的描述方法。

4.引入导数：介绍导数的概念，强调其作为变化率的一种表示方法。

二、讲授新课（20分钟）

1.导数的定义：讲解导数的定义，强调它是函数在某一点处的瞬时变化率。

2.单调性的概念：解释函数单调性的含义，区分单调递增和单调递减。

3.导数与单调性的关系：通过实例分析，展示如何利用导数判断函数的单调性。

4.导数的计算方法：讲解导数的计算方法，如导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等。

三、巩固练习（10分钟）

1.课堂练习：布置几道关于导数和单调性的练习题，让学生独立完成。

2.学生展示：请部分学生展示自己的解题过程，教师点评并总结。

3.小组讨论：将学生分成小组，讨论如何应用导数解决实际问题。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问学生：如何判断一个函数在某个区间内是单调递增还是单调递减？

2.学生回答：请学生回答问题，教师点评并总结。

3.拓展问题：提问学生：在现实生活中，如何应用导数解决实际问题？

五、师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：引导学生思考如何将导数应用于实际问题。

2.学生回答：请学生回答问题，教师点评并总结。

3.教师展示：展示一个实际问题的例子，让学生观察并分析。

六、创新教学（5分钟）

1.教师讲解：通过实例讲解导数在物理、工程、经济等领域的应用。

2.学生讨论：让学生分组讨论，总结导数在实际问题中的应用。

3.教师点评：教师点评学生的讨论结果，并总结导数的重要性。

七、课堂小结（5分钟）

1.教师总结：对本节课的主要内容进行总结，强调导数在研究函数中的作用。

2.学生提问：学生提问，教师解答。

3.布置作业：布置与本节课内容相关的作业，让学生巩固所学知识。

教学过程流程环节符合实际学情，紧扣实际教学过程中需要凸显的重难点，解决问题及核心素养能力的拓展要求，教学双边互动，用时共计45分钟。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.**概念理解与应用能力提升**：

-学生能够准确理解导数的概念，认识到导数是描述函数在某一点处变化快慢的工具。

-学生能够运用导数的定义来计算函数在某一点的瞬时变化率。

-学生能够通过导数的符号判断函数的单调性，并能够识别函数的单调递增和单调递减区间。

2.**数学思维能力的增强**：

-学生在求解导数的过程中，逻辑推理和数学分析能力得到锻炼。

-学生通过分析导数的正负，学会了如何利用数学语言描述函数的变化趋势。

3.**实际问题解决能力的提高**：

-学生能够将导数应用于实际问题，如物理中的速度和加速度、经济学中的边际分析等。

-学生通过解决实际问题，加深了对导数概念的理解，并提高了解决实际问题的能力。

4.**数学建模能力的培养**：

-学生学会了如何将实际问题转化为数学模型，并使用导数来分析模型。

-学生通过建模，理解了数学与实际生活的紧密联系，增强了数学建模的意识和能力。

5.**自主学习与探究能力的发展**：

-学生在课堂上通过小组讨论和合作学习，培养了自主学习和探究问题的能力。

-学生在课后能够主动查阅资料，解决学习中遇到的问题，提高了自我学习的能力。

6.**情感态度与价值观的塑造**：

-学生在学习导数及其应用的过程中，体会到了数学的严谨性和逻辑性，培养了严谨求实的科学态度。

-学生认识到数学在各个领域的广泛应用，增强了学习数学的兴趣和自信心。

7.**批判性思维和创新能力的培养**：

-学生在分析导数与函数单调性关系时，学会了质疑和批判，不满足于表面现象，追求深层次的理解。

-学生在探索导数应用的过程中，尝试不同的解决方法，培养了创新思维。典型例题讲解1.例题一：

函数\(f(x)=x^3-3x\)在区间\([0,2]\)上的单调性。

解答：

首先求导数\(f'(x)\)：

\[f'(x)=3x^2-3\]

然后找出导数的零点：

\[3x^2-3=0\]

\[x^2=1\]

\[x=\pm1\]

由于\(x=-1\)不在区间\([0,2]\)内，我们只考虑\(x=1\)。

检查\(f'(x)\)在\(x=1\)左右两侧的符号：

当\(x<1\)，\(f'(x)=3(x-1)^2\geq0\)，函数在\(x=1\)左侧单调递增。

当\(x>1\)，\(f'(x)=3(x-1)^2\geq0\)，函数在\(x=1\)右侧单调递增。

因此，函数\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上单调递增。

2.例题二：

函数\(g(x)=e^x-x\)的单调区间。

解答：

求导数\(g'(x)\)：

\[g'(x)=e^x-1\]

找出导数的零点：

\[e^x-1=0\]

\[e^x=1\]

\[x=0\]

检查\(g'(x)\)在\(x=0\)左右两侧的符号：

当\(x<0\)，\(g'(x)=e^x-1<0\)，函数在\(x=0\)左侧单调递减。

当\(x>0\)，\(g'(x)=e^x-1>0\)，函数在\(x=0\)右侧单调递增。

因此，函数\(g(x)\)的单调递减区间为\((-\infty,0)\)，单调递增区间为\((0,+\infty)\)。

3.例题三：

函数\(h(x)=\sqrt{x}-x^2\)的最大值。

解答：

求导数\(h'(x)\)：

\[h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-2x\]

找出导数的零点：

\[\frac{1}{2\sqrt{x}}-2x=0\]

\[\frac{1}{2\sqrt{x}}=2x\]

\[\sqrt{x}=\frac{1}{4}\]

\[x=\frac{1}{16}\]

检查\(h'(x)\)在\(x=\frac{1}{16}\)左右两侧的符号：

当\(x<\frac{1}{16}\)，\(h'(x)>0\)，函数在\(x=\frac{1}{16}\)左侧单调递增。

当\(x>\frac{1}{16}\)，\(h'(x)<0\)，函数在\(x=\frac{1}{16}\)右侧单调递减。

因此，函数\(h(x)\)在\(x=\frac{1}{16}\)处取得最大值。

4.例题四：

函数\(k(x)=\ln(x)-x\)的最小值。

解答：

求导数\(k'(x)\)：

\[k'(x)=\frac{1}{x}-1\]

找出导数的零点：

\[\frac{1}{x}-1=0\]

\[\frac{1}{x}=1\]

\[x=1\]

检查\(k'(x)\)在\(x=1\)左右两侧的符号：

当\(x<1\)，\(k'(x)>0\)，函数在\(x=1\)左侧单调递增。

当\(x>1\)，\(k'(x)<0\)，函数在\(x=1\)右侧单调递减。

因此，函数\(k(x)\)在\(x=1\)处取得最小值。

5.例题五：

函数\(m(x)=x^3-6x^2+9x\)的拐点。

解答：

求导数\(m'(x)\)：

\[m'(x)=3x^2-12x+9\]

求二阶导数\(m''(x)\)：

\[m''(x)=6x-12\]

找出二阶导数的零点：

\[6x-12=0\]

\[x=2\]

检查\(m''(x)\)在\(x=2\)左右两侧的符号：

当\(x<2\)，\(m''(x)<0\)，函数在\(x=2\)左侧凹。

当\(x>2\)，\(m''(x)>0\)，函数在\(x=2\)右侧凸。

因此，函数\(m(x)\)在\(x=2\)处有拐点。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，对于导数的概念和单调性的理解比较到位。大部分学生能够通过实例来分析函数的单调性，并能够运用导数的基本法则进行计算。在课堂练习环节，学生的表现普遍良好，能够独立完成练习题，并且能够正确解释自己的解题思路。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们能够积极参与，各抒己见。小组内部分工明确，有的学生负责记录，有的学生负责分析，有的学生负责总结。通过小组合作，学生们不仅加深了对导数概念的理解，还学会了如何与他人合作，共同解决问题。在成果展示环节，各小组能够清晰、有条理地陈述自己的观点，其他学生也能够提出建设性的意见和建议。

3.随堂测试：

随堂测试包括了判断题、选择题和简答题，旨在考察学生对导数概念、单调性以及导数计算方法的理解。测试结果显示，大部分学生能够正确判断函数的单调性，对于导数的计算也能够熟练运用。但在简答题部分，部分学生对于如何将导数应用于解决实际问题的描述不够清晰，需要进一步指导。

4.学生自评与互评：

学生通过自评和互评，认识到自己在学习过程中的优点和不足。在自评中，学生能够