2024-2025学年新教材高中数学 第六章 计数原理 6.3.1 二项式定理（教师用书）教学设计 新人教A版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理6.3.1二项式定理（教师用书）教学设计新人教A版选择性必修第三册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理6.3.1二项式定理（教师用书）教学设计新人教A版选择性必修第三册教学内容分析嘿，亲爱的同学们，今天我们要一起探索数学的奇妙世界，走进新教材高中数学第六章的“计数原理”这一节。我们今天要重点学习的是6.3.1节——二项式定理。这个定理啊，可是数学中一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决很多看似复杂的问题。我们来看看，这一节的内容和课本上其他章节的知识有什么联系呢？比如说，我们在学习排列组合的时候，就已经接触到了一些计数的方法，而二项式定理正是这些方法的进一步发展。所以，今天我们要在已有的知识基础上，进一步拓展我们的数学视野。让我们一起期待这个精彩的数学之旅吧！🎉📚核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过学习二项式定理，学生能够理解和运用数学符号表达数量关系，提高解决实际问题的能力。同时，鼓励学生通过探究和合作学习，发展数学思维和创新能力，为后续数学学习打下坚实的基础。教学难点与重点1.教学重点，

①理解二项式定理的概念，包括其符号表达和公式结构。

②掌握二项式定理的应用，能够灵活运用定理进行简单的计算和推导。

③能够识别和构建适合使用二项式定理解决的实际问题。

2.教学难点，

①深入理解二项式系数的递推关系和组合数的应用。

②在复杂问题中准确识别和分解，以应用二项式定理。

③将二项式定理与学生的已有知识体系相融合，形成连贯的数学认知结构。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新教材高中数学选择性必修第三册，特别是第六章“计数原理”中的6.3.1节“二项式定理”。

2.辅助材料：准备与二项式定理相关的教学视频，以及展示二项式系数和组合数关系的图表和图片，以帮助学生直观理解。

3.教室布置：设置小组讨论区，便于学生进行合作学习和交流；在黑板或白板上预留足够空间用于板书和展示计算过程。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：同学们，你们有没有想过，在数学的世界里，如何快速计算出一些复杂的问题呢？今天我们就来学习一个强大的工具——二项式定理，它可以帮助我们轻松解决这类问题。

-回顾旧知：在之前的学习中，我们接触过排列组合，知道C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。今天我们要进一步探索，如何用组合数来帮助我们计算更复杂的问题。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：首先，我会详细讲解二项式定理的定义、公式以及它的推导过程。我会用简洁明了的语言，结合具体的例子，让学生们逐步理解这个定理的核心内容。

-举例说明：通过几个简单的例子，比如计算(2x+3)^n的展开式，让学生看到二项式定理的实际应用。

-互动探究：我会提出一些问题，让学生们分组讨论，尝试自己推导出二项式定理的公式。在这个过程中，我会鼓励学生们提出不同的观点和想法，共同解决问题。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：接下来，我会给学生一些练习题，让他们独立完成。这些题目包括计算二项式展开式、应用二项式定理解决实际问题等。

-教师指导：在学生练习的过程中，我会巡视教室，观察他们的解题过程，及时给予个别学生指导和帮助。对于一些有难度的题目，我会邀请学生上台展示他们的解题思路，然后进行集体讨论和总结。

4.拓展延伸（约10分钟）

-我会提出一些更具挑战性的问题，让学生们思考如何将二项式定理应用到更广泛的领域，比如概率论、统计学等。

-鼓励学生进行课外探究，寻找二项式定理在现实生活中的应用实例，下节课分享给大家。

5.总结与反思（约5分钟）

-总结：我会让学生回顾本节课所学内容，强调二项式定理的重要性，并鼓励他们在日常生活中尝试运用这个工具。

-反思：我会引导学生思考自己在学习过程中的收获和不足，鼓励他们提出改进意见，为下一节课做好准备。

在整个教学过程中，我会注重学生的参与度和互动性，通过多种教学方法和手段，确保每位学生都能理解和掌握二项式定理。同时，我也会关注学生的学习进度，及时调整教学策略，确保教学效果。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《数学归纳法与二项式定理的关系》：这篇文章探讨了数学归纳法在证明二项式定理中的应用，帮助学生深入理解二项式定理的证明过程。

-《二项式定理在概率论中的应用》：通过阅读这篇文章，学生可以了解二项式定理在概率论中的重要性，以及如何运用它来解决概率问题。

-《组合数学中的二项式系数》：这篇文章详细介绍了二项式系数的性质，包括递推关系、对称性等，有助于学生更全面地掌握二项式系数的相关知识。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己推导二项式定理的公式，并尝试用不同的方法证明这个定理。

-通过互联网资源或图书馆，寻找二项式定理在实际生活中的应用案例，如工程、物理、经济学等领域。

-设计一些实际问题，运用二项式定理进行解决，比如计算多项式展开式、解决组合计数问题等。

-参与数学竞赛或社团活动，与其他同学交流二项式定理的学习心得和拓展应用。

-结合数学史，了解二项式定理的发展历程，以及它在数学发展中的地位和作用。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略，同时也为学生提供了反馈，帮助他们巩固所学知识。以下是我对课堂评价的具体实施计划：

1.课堂提问：

-在讲解新知时，我会通过提问来检验学生对二项式定理的理解程度。例如，我会问：“谁能告诉我二项式定理的公式是什么？”或者“你们知道二项式定理在数学中的应用有哪些吗？”

-对于学生的回答，我会给予及时的肯定或纠正，确保他们正确掌握概念。

2.观察学生参与度：

-在课堂活动中，我会观察学生的参与情况，包括他们是否积极参与讨论、是否能够独立完成练习等。

-通过观察，我可以发现哪些学生可能对某些概念理解不够，或者哪些学生需要更多的个别指导。

3.小组合作评价：

-在小组讨论环节，我会评价学生之间的合作效果。例如，我会观察他们是否能够有效沟通、是否能够共同解决问题。

-我会鼓励学生相互评价，让他们学会在团队中相互学习和成长。

4.实时测试：

-为了检验学生对二项式定理的理解和应用能力，我会进行一些实时测试，如快速问答、小测验等。

-这些测试不仅能够帮助我了解学生的学习进度，还能够让学生对自己的学习效果有一个直观的认识。

5.学生自我评价：

-我会引导学生进行自我评价，让他们反思自己在课堂上的表现，包括学习态度、参与度、问题解决能力等。

-通过自我评价，学生可以学会自我监控和自我调整，提高学习效率。

6.课堂反馈：

-在课堂结束时，我会提供一些反馈，让学生知道他们的表现如何，以及如何改进。

-我会鼓励学生提出问题或分享他们的学习心得，这样可以帮助我更好地了解他们的学习需求。

7.作业评价：

-对学生的作业进行认真批改和点评，我会关注以下几个方面：

-学生是否能够正确应用二项式定理解决实际问题。

-学生在解题过程中是否能够清晰地表达思路。

-学生是否能够独立思考，提出自己的观点。

-我会及时反馈学生的学习效果，对于做得好的地方给予表扬，对于需要改进的地方给予具体的建议。典型例题讲解1.例题：

计算并展开\((a+b)^5\)。

解答：

根据二项式定理，\((a+b)^5=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}a^{5-k}b^k\)。

将每个项代入二项式系数，得到：

\((a+b)^5=\binom{5}{0}a^5b^0+\binom{5}{1}a^4b^1+\binom{5}{2}a^3b^2+\binom{5}{3}a^2b^3+\binom{5}{4}a^1b^4+\binom{5}{5}a^0b^5\)。

计算每个组合数，得到：

\((a+b)^5=1\cdota^5+5\cdota^4b+10\cdota^3b^2+10\cdota^2b^3+5\cdotab^4+1\cdotb^5\)。

所以，\((a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\)。

2.例题：

展开\((x-2y)^4\)并化简。

解答：

使用二项式定理展开，得到：

\((x-2y)^4=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}x^{4-k}(-2y)^k\)。

计算每个项，得到：

\((x-2y)^4=x^4-8x^3y+24x^2y^2-32xy^3+16y^4\)。

3.例题：

计算并简化\(\binom{7}{3}-\binom{7}{2}\)。

解答：

使用组合数的性质，\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)，所以\(\binom{7}{3}=\binom{7}{4}\)。

计算每个组合数，得到：

\(\binom{7}{2}=21\)和\(\binom{7}{4}=35\)。

所以，\(\binom{7}{3}-\binom{7}{2}=35-21=14\)。

4.例题：

找出\((2x+y)^6\)展开式中\(x^5y\)的系数。

解答：

根据二项式定理，\(x^5y\)的系数来自于\(k=1\)的项，其中\(x\)的指数为5，\(y\)的指数为1。

计算组合数，得到：

\(\binom{6}{1}=6\)。

所以，\(x^5y\)的系数是6。

5.例题：

计算\((3x-4y)^7\)展开式中\(y^3\)的系数。

解答：

根据二项式定理，\(y^3\)的系数来自于\(k=4\)的项，其中\(y\)的指数为3。

计算组合数，得到：

\(\binom{7}{4}=35\)。

因为\(3x\)的系数为3，所以\(y^3\)的系数是\(3^3\cdot35=945\)。

所以，\(y^3\)的系数是945。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.创设情境，激发兴趣：在引入二项式定理时，我尝试通过实际生活中的问题来激发学生的兴趣，比如通过计算彩票中奖的概率，让学生看到数学在生活中的应用，这样既能吸引学生的注意力，又能让他们感受到数学的魅力。

2.多元化教学手段：我尝试运用多媒体教学资源，如动画、视频等，来帮助学生更直观地理解二项式定理的推导过程和展开式，这样的教学方式能够提高学生的学习兴趣，也更有助于他们记忆和理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异大：在教学过程中，我发现学生的数学基础参差不齐，有的学生对组合数的概念理解得很好，但有的学生却感到非常困难。这导致课堂上的互动和讨论效果不尽如人意。

2.课堂参与度不均衡：虽然我鼓励学生积极参与讨论，但实际效果并不理想。部分学生因为害羞或对数学不感兴趣，在课堂上不太愿意发言。

3.评价方式单一：我主要依靠课堂表现和作业来评价学生的学习情况，这样的评价方式可能无法全面反映学生的学习效果。

反思改进措施（三）改进措施

1.针对学生基础差异，我将采用分层教学的方法。对于基础较好的学生