现代控制系统第十二版课后习题5章答案

第5章反馈控制系统的性能

基础练习题

E5.1图5.18所示为计算机磁盘驱动器的电机驱动定位控制系统，它必须能够降低干扰信号

或参数变化对磁头位置的影响，能够减小磁头定位的稳态误差。

(a)如果要求定位稳态误差为零，系统应是几型系统(即包含几个纯积分环节)？

(b)如果输入为斜坡信号，并要求系统的稳态跟踪误差为零，系统又应是几型系统？

【解析】对于零稳态误差，当输入是阶跃信号时我们需要一个积分即类型1系统。对于斜坡

信号，％=0系统应为类型2系统。

E5.2发动机、车体和轮胎都能够影响赛车的加速能力和运行速度。赛车速度控制系统模型如

图E5.2所示。当速度指令为阶跃信号时，试求

(a)车速的稳态误差。

(b)车速的超调量P.Q。

图E5.2赛车速度控制系统

【解析】(a)闭环传递函数为

7⑺/⑸.G(s).24024。

2

I，R(s)1+G(s)(5+4)(54-6)+240s+2^a)ns+^

AA240A

稳态误差为纥,其中R(s)=一，K,=liijjG(s)=元二10,因此《二I。

1"■pS11

(b)闭环系统是具有自然频率的二阶系统例=历，阻尼比为。=-7=y=().31,

2V264

因此，车速的超调量为POMIOOH/QUBG%。

E5.3为了与航空业竞争，铁路公司一直在发展新的旅客营运系统，法国的TGV和日本的新

干线系统是其中的两个典型代表，它们的时速都达到了160mpho磁悬浮列车Transrapid是

另外一种新型旅客营运系统，如图E5.3(a)所示。

Transrapid采用了与普通列车完全不同的磁悬浮技术和电磁推进技术，在正常运行时，它不

与轨道直接接触。在轮轨式系统中，列车车厢的底部是常见的轮式底盘,而在磁悬浮系统中，

车厢底部却包裹着轨道，因此轨道中的磁铁能对电磁"包铁"产生吸引力，使车厢最底层的

电磁"包铁”向上靠近轨道，从而能使列车以约1cm的间隙悬浮在轨道上方。

(a)利用表5.6,确定;曾益K的值，使系统称为ITAE指标意义下的最优系统。

(b)利用图5.8,确定系统对阶跃输入/(S)的超调量P.O.。

丫⑸

气隙的宽度

小)二G(S)K

【解析】闭环系统的传递函数为

/(s)1+G(s)s(s+14)+K$2+14S+K

利用表56最佳系数为/+1.4助产+助)我们有/+14s+K,因此，由等式系数可得

例=10,K=o：=100。阻尼比为，=：=0.7。

2①“

利用图5.8可得超调量P.O.工5%0

E5.4某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=G,(s)G(s)=

(a)确定系统的闭环传递函数T(s)=y(s)/R(s)。

(b)当输入为阶跃信号r(1)=A,/>0时，计算系统的时间响应)4)。

(c)利用图5.13(a),确定阶跃响应的超调量。

(d)利用终值定理，确定)«)的稳态值。

G(s)2(s+8)

【解析】(a)闭环系统的传递函数为7(s)=

1+G(s)§2+6s+16

(b)将y(s)部分分式展开为y(s)=/2(S+8)4=S+4、

-(『+6S+16)S(SS-+6S+\6J

拉普拉斯逆变换得)«)=A[1-1.071飞仙(历+1.21)]

(c)由闭环传递函数可计算得[=0.75,3.=4。因此，—=^=2.67,其中4=8。

G03

从图5.13可得超调量为P.O.=4%。

(d)这是类型1系统，稳态误差为零，当,-8时A。

E5.5考虑图E5.5所示的反馈控制系统，选择K的值，使得系统在阶跃信号激励下，ITAE性

能准则达到最小。

受控对象

控制器

R(5)丫⑸

图E5.5具有比例控制器G,.（S）=K的反馈控制系统

【解析】闭环传递函数为黑=齐餐，由表5.6可得最佳系数为-+L®s+a'

我们有/+4s+K,因此由等式系数得4=2.86,K=o：=8.16。

4

阻尼比为^=—=0.7o由图5.8可得超调量为P.O.工5%o

E5.6考虑图E5.6所示的柩图模型。

（a）计算系统对斜坡输入的稳态误差。

（b）选择增益K的合适取值，使系统阶跃响应的超调量为零，同时使响应速度尽可能地

块。绘制系统在S平面上的零-极点分布图，讨论复极点的主导性，并由此估计系统

的超调量。

图E5.6具有位置和速度反馈的框图模型

【解析】（a）闭环传递函数为T（s）=黑=——

7

'R（s）1+G"（s）/+]00K+100

H（s）=l+Ks,G（.v）=IOO/.r.

稳态误差为

riooi

%=!则R（s）"（s）]=阴$[—（$）]+理1-]+向；+对7

§2I）

I（）（）K

（b）由闭环传递函数7（s）可知@,=10,^=——^5Ko

Pde-ZofoMap

由于主导极点为5=-2±2.45/,阻尼比为G=0.63。超调量为

P.Q=100。』/八2=7.69%。

阶跃响应如图所示，实际超调量为8%o

E5.9某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=G(s)G(s)7/1\试求

e^S+yj2Kj

(a)系统单位阶跃响应的超调量和调节时间(按2%准则)o

(b)当调节时间小于1s时，确定增益K的取值范围。

【解析】(a)闭环传递函数为T(s)=1+提S+K，阻尼比为，=0/2,自然频率为

8〃二瓜。因此，超调星为八0.二1006-,叱=4.3%,q-0.707。

4

调节时间为］=---=

(b)当K>32时调节时间小于1s。

E5.io二阶系统的闭环传递函数为r(s)=y(s)//?(s),系统阶跃响应的设计指标要求为：

(1)超调量P.O.V5%。

(2)调节时间4<4$(按2%准则)。

(3)峰值时间9

试确定乙的极点配置范围，以便获得预期的响应特性。

疗

【解析】二阶系统的闭环传递函数为7(S)=2."——7,由于超调量P.O.《5%,则

5-+2^5+69；

。之0.69,由于调节时间7；<4s,则七§>1。由于峰值时间丁〃〈卜，则4/1一一>乃。

T(s)的极点配置范围如下所示：

desired

region

E5.ll考虑图E5.ll所示的单位负反馈系统，其受控对象G(S)为

6

G(5)=—~、(，坐------试求系统阶跃响应和斜坡响应的稳态误差。

&s)----*

图E5.ll单位负反馈系统

【解析】系统为类型1,误差常数为=8,K「=1.0,因此，阶跃输入的稳态误差为0；

斜坡输入的稳态误差为1.04,其中人为斜坡输入的幅度。

E5.12在大型博览会和狂欢节上，Ferris转轮是大家熟悉的娱乐节目。这种转轮的发明人是

GerogeFerris,他于1859年出生在伊利诺斯州的盖尔斯堡，后来搬到内华达州。Fenis先生

于1881年毕业于伦斯勒理工学院。到1891年，他在钢铁和桥梁建筑等方面已积累了相当

丰富的经验，由此构思建造了著名的Ferris转轮，并于1893年在芝加哥哥伦比亚博览会上

首次公开展出。为了不使游客受到惊吓，Ferris转轮的速度稳态误差必须控制在预期速度的

5%以内。速度控制系统如图E5.12所示。

(a)试选择增益K的合适取值，以满足系统稳态运行时的速度要求。

(b)利用(a)中确定的增益K,计算由于单位阶跃干扰信号4($)=1/5导致的响应误

差e(/),并绘制误差曲线，确定速度的变化是否超过了5机为便于计算，令R(s)=0,

并请留意E(s)=R(s)-T(s)］。

干扰信号

Rs)

Rs)r(5)

预期转速实际转速

图E5.12Ferris转轮的速度控制系统

,.品/、R(s)(s+9)(s+2)(s+4)

解析(a跟踪误差为E(s)=「—=7—焉一多—J―右R(s)

'7l+G,G(s)(s+9)(s+2)(s+4)+K(s+6)

i72

H(s)=-时稳态跟踪误差为lirn5E(5)=正去°

要使％<0.05,则K>228。

(b)干扰的跟踪误差为

购=途/卜西诺森备西网)

误差曲线如下：

。01

2

。0

。03

d

p

n

s0^4

d

E

a

0

0S

^

。6

0

Q7

0.08

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

Time(secs)

E5.13重新考虑图E5,ll所示的单位负反馈系统，令其受控对象G（s）为

G（s）=一^——试确定系统对阶跃输入和斜坡输入的稳态误差。

'752+145+50

【解析】系统为0型系统，误差常数为K〃=o.4,4,=0。斜坡输入的稳态误差为8,阶

跃输入的稳态误差为4二—^―=0.71o

1+勺

E5.14考虑图E5.14所示的反馈系统。

（a）当K=0.4,Gp（s）=l时，试求系统单位阶跃响应的稳态误差。

（b）选择合适的G〃（s）,使系统单位阶跃响应的稳杰误差为零“

R(s)Y(s)

图E5.14反馈系统

【解析】（a）跟踪误差为£（S）=［1—T（S）［R（S）。R（s）=g时稳态误差为

6$,=吧$口-丁（5耶。）=理［1-7（$）］=1-7（。）

闭环传递函数为『（$）=而就热研，丁⑼为血

因此4,=1-7(0)=0.967。

(b)G，(s)=3(),则

%=li联[1-7(5)6,,($)]/?(5)=1-州丁($)5(5)=1-307(0)=0。

E5.15某闭环控制系统的闭环传递函数r(s)为42=r($)=------三2-------r试

分别使用以下两种方法，计算系统对单位阶跃输入R(s)=l/s的时间响应)4),并绘制响应

曲线，对计算结果进行比较。

(a)利用实际的传递函数T(s)。

(b)利用主导复极点近似方法。

【解析】y(f)的曲线如下：

利用主导极点近似闭环传递函数为Ta(5)=4]05+50

5()0

实际的传递函数为T(S)=---------------ro

'7(5+10)(52+105+50)

E5.16某二阶系统的闭环传递函数为4?=T(5)=<1°?其中,1<zv8。当z分

/?(5)(s+l)(s+8)

别取值2,4和6时，求T(S)的部分分式展开形式，并分别绘制系统的阶跃响应曲线]«)。

.呸“，+业”—.25

【解析】部分分式展开为y(/)=

7z56乙

2=2,4,6时)，(，)的曲线如下：

E5.17某闭环控制系统的闭环传递函数7(s)有1对共瓢的主导复极点。试根据下列各组设

计指标要求，在$左半平面上分别勾绘制主导复极点的配置区域。

(a)0.6=40.8,3“W10

(b)0.547Ko.707,0,210

(C)7N0.5,5W10

(d)<0.707,5<6^,r<10

(e)<>0.6,^„<6o

【解析】

(c)0.5<zand5Vwn<10

fo*potri

E5.18考虑图E5.18(a)所示的反馈系统，当K=1时，系统的单位阶跃响应曲线如图E5.17

(b)所示。试确定K的合适取值，使系统的稳态误差为零。

我⑸

【解析】输出为Y(s)=T(s)"(s)=KE(s),当K=1时稳态误差为@=0.2,

I+G(s)

则lim5y(s)=0.8。

sf0

由于希望@=0,则lim$y(s)=l,即0.8K=l,因此K=1.25。

E519某二阶系统的闭环传递函数为了⑸二曙二42七；二八3；75“7

(a)试根据传递函数估算系统单位阶跃响应R(s)=l/s的超调量P.O.、峰值时间)和调

节时间(7；按2%准则)。

(b)计算系统的单位阶跃响应，并以此对(a)的结果进行验证。

【解析】(a)特征方程为/=240$+0；=52+3.17$+7=0,可得?=疗=2.65,

3174

q==0.6°因此招调量和调节时间为P.O.=100e=9.53%，=——=25s.

2例皿

(b)单位阶跃响应如下:

StepResponse

5”3nM

Peakampiftude:1.1

Ovenhoof刖:9.53

Attime(seel：1.47

p5

£n

ud

YJ

Time(sec)

E5.20考虑图E5.20所示的闭环系统，其中G,(s)G(s)=不出一，”($)二(

s"I"03s

(a)试求系统的闭环传递函数T(s)=y(s)/R(s)。

(b)当输入为单位斜坡信号，即R(s)=l//时，试求闭环系统的稳态误差。

(c)选择K“的合适取值，使系统单位阶跃响应R(s)=l/s的稳态误差为零。

图E5.20非单位闭环反馈系统(反馈回路增益为K0)

【解析】(a)闭环传递函数为r(s)=,+/s+K，阻尼比为。=弓，固有频率为

5=瓜。因此，超调量为P.0.=100"^7=4.3%,G=0.7()7。调节时间为

(b)当K>32时，调节时间小于Is.

一般习题

P5.1电视摄像中的一个重要问题是摄像机的移动会造成画面的跳跃或晃动。在运动的车辆

和飞机上进行拍摄时，就会出现这个问题。为了降低这种不利影响，人们发明了图P5.1(a)

所示的Dynalens系统。若摄像机拍摄时允许的最大扫描速度是25°/s、&=(=且

“可以忽略不计，

(a)试求系统的误差E(s)。

(b)试确定开环增益的合适取值，使系统的稳态误差为l°/5o

(c)若电机的时间常数为0.40s,试确定开环增益储的合适取值，使输出匕，的调

节时间不大于0.03s(按2%准则)。

%■

摄像

机

的输

入

角速

度

速度计

i2s1,1sec

【解析】⑶系统误差为E(s)=———R(s).其中R(s)=^^o故

j十八4八,"S

SQ+1

盛e(f)=l盘sE(s)=7T

25,

(b)若使系统的稳态误差「/see,则'“/sec,K(iKin>24o

1+

匕(s)一KMn

(c)闭环传递函数为7($)=

匕⑸Si+l+K,Kn

AKK（-（K，，3八T+K“K“）

阶跃响应（匕（Z）=A）为以:;:\~e%,所以1-e%>0.98,

1+K£”

\/

其中々=0.4。

，=0.03时（（,252。

P5.2要求设计一个闭环控制系统，使系统对阶跃输入的响应具有欠阻尼特性，且满足下面的

设计要求：超调量P.O.在10%到20%之间；调节时间小于0.6s,那么

（a）试确定系统主导极点的配置区域。

（b）如果希望系统的共辗复极点为主导极点，试确定第三个实极点々的最小值。

（c）如果希望系统是三阶单位负反馈系统,按2%准则的调节时间为0.6s,超调量为20机

试求系统的前向通路传递函数G（S）=X（5）/E（V）。

4o

【解析】（a）调节时间7；=—<0.6则四>6.67。P.0.<20%则q<0.45，即。<63。

眄

RQ>10%则G〉（）.6O即。>53°,COS6=G。极点的配置区域如下：

S=-6.671

（b）第三个根在左半平面上至少要远10倍，故同之10卜㈤=66.7。

（c）选择第三极点4二一66.7。当。=0.45,/?”=6.67时q=14.8。所以闭环传递函数

66.7(219.7)

为7(s)=,其中选择增益K=（66.7）（219.7）,阶跃输入的

(s+66.7)(/+i3.3s+219.7)

,/、G（s）/、T（s）

稳态误差为零。则7⑸=]+'；）,即G（s）=匚咕。

P5.3如图P5.3(a)所示，激光束可以用来对金属进行焊接、钻孔、蚀刻、切割、标记等操

作。激光束闭环控制系统如图P5.3(b)所示，若要求在工件上标记抛物线，即激光束的运

动轨迹为r«)=/cm,试选择增益K的合适取值，使系统的稳态误差为5mm。

【解析】输入=稳态误差为

要使％W0.5cm,则K22。

K

P5.4某单位负反馈系统的开环传递函数(见图E5.ll)为L(S)=G,(S)G(S)=7—大对

s+2

系统阶跃响应的设计指标要求为：峰值时间q二l1s,超调量PQ.二5机

(a)判断系统能否同时满足这两个指标的设计要求。

(b)如果不能同时满足上述要求.按相同的比例放宽设计要求后,试折中选择增益K的

取值，使系统能够同时满足设计指标要求。

【解析】闭环传递函数为——.因此

(a)7(s)=[G[9\=,f=,可；7

''1+G(s)s-+2s+KS~+2G&S+怒

①〃=,G=1/例=\/y/Ko超调量为5弱即G=1/五，①“=叵。

峰值时间为9=力=3.15,然而期望的峰值时间为[=Lis,所以不能同时满足这两个

指标的设计要求。

(b)令9=1.必，P.O.=0.05A,其中△为待确定的松弛系数。由于K=叱，胭；=1故

G=表。因此尸.0.="%/加了=。-"/囚

/=1.1A°

根据前面两个方程可得P.O.=0.05A=e-,JA，求解△得/(△)=In△+In(0.05)+1.1A=0。

/(△)与△的曲线如下:

可以得到△=2.07时/(A)=0,因此P.Q=0.05A=10%,7；,=1.1A=2.3seco

因此如果将其放宽约2倍即A=2.07时可满足设计要求。

P5.5太空望远镜将被发生到太空中去执行天文观测任务，它的定向控制系统的精度可以达

到0.01弧分，跟踪太阳的速度可以达到0.21弧分/秒。太空望远镜如图P5.5(a)所示，其

定向控制系统的框图如图P5.5(b)所示。令盯=is,r2=OS(近似值)。

(a)确定增益K="号的合适取值，使系统阶跃响应的超调量小于5眼并保持适当的

响应速度，

(b)确定系统阶跃响应和斜坡响应的稳态误差。

(c)当输入分别为阶跃信号和斜坡信号，确定K"?的取值，使系统称为ITAE指标意义

下的最优系统。

Rs)

输入!

(b)

图P5.5(a)太空望远镜(b)太空望远镜定向控制系统

【解析】(a)闭环传递函数为T(s)=1-v——1—o超调量小于5%即G20.69,故

+&K2s+&K?

选择G=0.69o

令2G?=K匹，*=则a=2(0.69)例；解得q=0.38。因此成=%(=1.9。

当%长221.9时,20.69。

(b)我们有一个2型系统，故阶跃和斜坡输入的稳态误差都为零。

(c)对于阶跃输入，最佳ITAE特征方程为s2+|.4qs+式=0；对于斜坡输入，最佳ITAE

特征方程为+3.29,s+=0。因此5勺=公=3.20，故”=3.2,&(=1().240

P5.6对机器人进行程序控制，可使工具或焊接头沿设想的路径运行。若工具的预期路径为图

75(s+l)

P5.6(a)所示的锯齿波，图P5.6(b)所示的闭环系统的受控对象为G(s)=

s(s+5)(s+25)

试计算系统的稳态误差。

0(5)>Y(s)

运动路径

图P5.6机器人路径控制

/X.75(s+l)]75

【解析】斜坡输入《，)=，故降=lim$G(s)=lims——\、=—=0.6,

'I)')sf。s(s+5)(s+25)125

\R\1

=□=—=1.670

K、0.6

P5.7如图P5.7(a)所示，1984年2月7日，宇航员BruceMcCandlessII利用手持的喷气

推进装置，完成了人类历史上的首次太空行走。宇航员机动控制系统的框图如图P5.7(b)

所示，其中手持式喷气推进控制器可以用增益&表示，宇航员及自身装备的整体转动惯量

为25kg-nro

(a)当输入为斜坡信号「(/)=/(单位为m)时，试确定增益小的合适取值，使系统的稳

态误差小于1cmo

(b)沿用(a)中确定的增益号，试确定的取值,使系统的超调量小干10机

(c)试用解析方法确定增益K、勺的合适取值，使系统阶跃响应的ISE指标最小。

航天员位置

(单位为m)

图P5.7控制系统的框图

【解析】(a)闭环传递函数为小)=/,八空；K：s+K得'斜坡输入的稳态误差为

e=limsE（s）=lim.vfl-7'（5））/C（.v）=-7⑴）］=lim—；­2K、--

由于期望％=0.01m,故E=0.01。

(b)对于超调量P.Q=10%,有G=0.6,2眄=。丝A,①：二哈。因此解得

匕a=36x10、

P5.8太阳能电池板产生的直流电，既可以直接用于驱动直流电机，也可以转换成交流电输入

电网使用。一天中，太阳的照射强度总是在不断地变化，但我们希望太阳能电池板能始终对

准太阳，以获得最大的可用输出功率。图P5.8所示的闭环控制系统能够实现这一功能，其

受控对象的传递函数为G(s)=*^其中，K=20。试求：

(a)闭环系统的时间常数。

(b)当存在单位阶跃干扰时，系统的调节时间(按2%准则)。

干扰信号

最大功率变化P($)

曲线的斜率输出功率

图P5.8太阳能板控制系统

【解析】⑶闭环传递函数为7(上需\+岛

,因此，闭环

系统的时间常数为，=1/40*ec。

⑹从刀⑸到尸⑸的峙递函数为罂=西瑞市=湍。

单位阶跃扰动的

响应为〃(/)=_3(1_6网’)。

〃(。=0.98/乙=-0.49.因此解得调节时间为7；=0.098sec。

P5.9图P5.9所示的地面天线能够接收和发送Telstar通信卫星的信号，它是目前最大的崎角

形天线。该微波天线长1"英尺，重达340吨，并且可以沿底座上的圆形轨道做全方位旋

转。而Telstar通信卫星的直径为34英寸，运行速度为16000千米/小时，运行高度为2500

英里。由于跟踪距离长达数千千米，微波波束将要承受高度衰减，因此天线的波束宽度不能

太宽，只有0.2,而天线的定向精度必须达到0.1二试确定居的取值范围，使天线能正常

跟踪卫星运动。

【解析】跟踪速度。=:=^^=1.78、10一3阳

期望的稳态误差4<—degree=0.1754xl(F2rad,因此%=」,

10K

i78x10-3

^=----7=1.02,假定系统为类型1系统。

0.1754x10

P5.10在电枢控制式直流电机的速度控制系统中，反馈信号为电机的反电动势电压。

(a)试绘制系统的框图模型[见式(2.69)]o

(b)当输入为阶跃指令(即调整电机转速)时，试求系统的稳态误差；假定

Rt=La=J=b=\,电机常数为Km=1和=】。

(c)试选择合适的反馈放大器增益，使系统阶跃响应的超调量不超过15%o

【解析】(a)框图模型如下：

,、)〜、

(b)闭环传递函数为7=a(s)K限G(」s)/\，其中Gs=/p/K'％广、因

穴⑸1+KKQ(s)((+Las)(Js+b)

此丁(S)二2J其中&=La=J=b=Ka=K,n=l。

S+ZS+1+A

稳态误差为

“则R(s)/s))=理-夫卜捻

(c)超调量为15%时9=0.5。由特征多项式有2Gq=2,colt=>JUK,解得4=2,

K=3。

P5.ll某单位反馈控制系统的前向通路传递函数为”=G(s)=4系统的输入是幅值为

川)

4的阶跃信号，系统在〃时刻的初始状态是丁代))=。，其中)4)为系统的输出。性能指

标定义为/=,"(，)加

(a)试证明，/=(A-Q)7(2K)。

(b)试选择增益K的合适取值，使性能指标/最小，并分析该增益值是否符合实际。

(c)选择符合实际的增益值，并计算此时系统的性能指标。

【解析】(a)闭环传递函数为7(5)=需=3兄，由初始条件，微分方程为

/⑺+Ky(Z)=KR)。拉普拉斯变换可得sy(s)-y(fo)+Ky(s)=K一,其中

\^/

y"o)=Q。拉普拉斯逆变换Z/{y(s)}可得y(/)=A(l-e-K')+Q«F'

跟踪误差为e(，)=A—)«)="K'(A—Q)。因此，性能指标为

/=J：(A-Q)/a=(A-研看卜却

(b)当K=8时，性能指标最小。

(c)将K设置为允许的最大值，使得过程不会饱和。例如，如果K=50,则/二(：；),。

P5.12随着火车的不断提速，在中心城市之间旅行M,乘坐火车和飞机所花费时间将相差无

几，因此将有更多的人选择乘坐火车旅行。日本国立铁路公司在东京和大阪之间的Tokaid。

线上，开行了名为“子弹快车”的城际列车，运行320英里只需3小时10分钟，平均时速

达到了101英里/小时(mph)o如果采用新的轨道运输系统，如磁悬浮列车系统等，火车速

度还会增加。为了保持火车运行的预期速度，需要设计车速控制系统，以使火车车速对斜坡

输入的稳态误差为零。用三阶模型足以描述整个系统，试确定系统的闭环传递函数7(5),

使其成为ITAE指标意义下的最优闭环系统；当5=1()时，估计系统阶跃响应的调节时间(按

2%准则)和超调量。

【解析】斜坡输入的最佳皿传递函数为《)二岳祥马

斜坡输入的稳态误差为％=0。当q=10时，阶跃输入的响应如图所示。超调量为

P.O.=39%,调节时间为7；=0.72s.

P5.13常常希望利用低阶模型来近似四阶系统。若某四阶系统的传递函数为

/+7/+24$+24_S、7S2+24S+24

G〃($)=试验证，若采用5.8节

/+10$3+35/+50$+24(s+1)(s+2)(s+3)(.v+4)

的方法来取二阶近似模型，且不事先指定二阶模型G/s）的零点和极点，则二阶近似系统

0.731(5+3.428)

的传递函数G/s）应为Gjs）=0.29175+1

0.399./+1.375s+1(s+1.043)($+2.4)

【解析】实际系统和近似系统的阶跃响应如图所示，可以看出，几乎相同。

P5.14继续考察习题P5.13给出的四阶系统。若将二阶近似系统5（S）的极点指定为-1和

-2,且近似系统G/s)还存在一个未定零点，试验证，二阶近似系统的传递函数应该为

G0.9865+2_0.986(5+2.028)

，㈤-7+35+2-(s+l)(s+2)

【解析"(s)=2(；?在消除相同因素后可得妙?女丁：言+2：

7

'(s+l)(s+2)L(s)(5+3)(5+4)2(C15+1)

2

因此例($)=/+7/+245+24,A(.y)=2[crf+(7C,+1)5+(12C,+7)5+12]o

根据5.10节概述的程序，可得M°(0)=24,M1(0)=24,M2(O)=14,M3(0)=6,

0123

A(0)=24,A(0)=(12^4-7)2,A(0)=2(2-(7c1+1)),A(0)=12c,o

对于q=l：M2=240,4=4。44c；+25],由4=%解得9=0493,故

2(0.493s+1)0.986s+20.986(s+2.028)

⑸一(771)(7+2)=r+35+2-(s+l)(s+2)°

P5.15考虑某单位反馈控制系统，其开环传递函数为

L(s)=G(s)G(s)=——~试确定增益K的取值，使得系统单位阶跃响应的

I'…'(s+4乂$2+S+10)

超调量最小。

【解析】闭环传递函数为7(§)=•——、/、~~-——

'7(5+4)(52+5+10)+/C(5+l)

作为增益K的函数的超调量如图所示。可以看出，随着增益的增加，超调量减小，最小值约

为85玳增益越大，超调量越小。当增益Ka250时，超调量达到最小值。

P5.16将低输出阻抗的磁放大器与低通滤波器及前置放大器串联，所构成的反馈放大器如图

P5.16所示，其中前置放大器具有较高的输入阻抗，增益为L其作用是对输入的信号进行

累加。试选择电容C的合适取值，使传递函数匕(s)/匕(s)的阻尼系数为1/也o若磁放大

也=________12______=，其中苏=11L=7+1

以⑸(s+l)S+1)+102("rV22叫

JII]»+I

「2—20丁+1=0解得汇=19.95或0.05。

对于汇=19.95=50。解得C=0.399尸;对于汇=0.05=50。解得。=11演,

P5.17心脏电子起搏器可以用于调节患者的心率。图P5.17提供了一种电子起搏器系统的闭

环设计方案，它包括起搏器和心率测量仪。其中，心脏和起搏器的传递函数为

C(5)=4V^1)

(a)试确定K的取值范围，使系统对单位阶跃干扰的调节时间不超过1s,且当心率的预

期输入为阶跃信号时，系统的超调量不超过10%o

(b)当增益K的标称值K=10时，试求系统对K的灵敏度。

(c)当s=0时，在(b)的基础上，计算系统对K的灵敏度的值。

(d)当预期的标准心率为60次/分时，计算系统对K的灵敏度的幅值。

Td(s)

预期心率——实际心率

图P5.17心脏起搏器系统

\2K

【解析】(a)闭环传递函数为T(s)=ho,要使超调量P.O<10%则

R(s)/+12s+l2K

G>0.59。根据特征方程可得=12K,=6。通过2(0.59)J12^=12解得K=8.6。

故，区间0<K<8.6中的任何值都是有效的。调节时间为(=4/Gq=4/6s满足要求。注

意，(不是K的函数0

(b)灵敏度为鼠(s)=2,"：：?其中K=10。

')1+G(s)?+125+120

(c)s=0时灵敏度为S；；(0)=0。

(d)在这种情况下，s=J2乃」=/2不，故灵敏度为博(，2刈=噂甯=0.77。

P5.18考虑例5.9所示的三阶系统，试用一阶模型来近似三阶系统，而且要求该一阶模型没

有零点，只有1个极点。

【解析】选择〃s)=—则”?=3，罕+?因此M(s)=6as+6,

as+\s+6s~+lls+6

2

M°(O)=6,"⑼=6a,M(0)=0O

32

A(5)=5+6?4-115+6,A°(O)=6,"(0)=11,A(0)=12O

2

所以，计算％和Af2=36«,A2=490

1AQC7

令股2=4。，即36a2=49,解得a=1.167。因此L(s)=---------=——一

1•1675+1s+0.857

P5.19考虑某单位负反馈闭环控制系统，其开环传递函数为

Z(S)=G,(S)G(S)=3(『+"⑵

(a)试求系统的闭环传递函数7(5)o

(b)求取7(s)的二阶近似系统。

(c)绘制原系统T(s)和二阶近似系统的单位阶跃响应曲线，并加以比较。

Q

【解析】(a)闭环传递函数为7(s)=§3+6/+12，+8°

(b)二阶近似系统为L(s)=J--t其中4和4使用DorfBishop中第5.10节的

d2s+4s+1

方法确定。对于〃(，)=84d+845+8，A(5)=?+652+125+8,可以确定

M2=-1284+64〃：，/%=64片，A2=48,A4=18O

令”2=4，%=△「求解得&=1.35,d2=().53o因此，二阶近似系统为

L(s)=----;-------o

'7().53?+1.355+1

(c)原系统7($)和二阶近似系统的单位阶跃响应曲线如下：

Time(sec)

P5.20考虑图P5.20所示的反馈系统，

(a)确定系统对单位阶跃输入的稳态误差E(s)=H(s)-Y(s)，其中K和3为可变参

数。

(b)选择3的取值，使系统的稳态误差为零.

K

R(s)>y(s)

(s+5)(s+lD

图P5.20带有前置增益&的反馈系统

(s+5)