高中数学等差数列教案新人教B版必修课件

2.2.1等差数列

整体设计

教学分析

本节课将探究一类特殊的数列——等差数列.本节课支配2课时，第

1课时是在生活中详细例子的根底上引出等差数列的概念，接着用不完全

归纳法归纳出等差数列的通项公式，最终依据这个公式去进展有关计

算.第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步娴熟驾驭等差数

列的通项公式和其推导的公式，并能通过通项公式及图象相识等差数列的

性质.让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使

学生学会用图象及通项公式的关系解决某些问题.在学法上，引导学生去

联想、探究，同时激励学生大胆质疑，学会探究.在问题探究过程中，先

从视察入手，发觉问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方

法进展摸索，提出猜测，最终采纳证明方法（或举反例）来检验所提出的猜

测.其中例1是稳固定义，例2到例5是等差数列通项公式的敏捷运用.

在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的主动性，尽

可能让学生经验学问的形成和开展过程，激发他们的学习爱好，发挥他们

的主观能动性和其在教学过程中的主体地位.使学生相识到生活离不开数

学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学

问题，使数学生活化，生活数学化.

数列在整个中学数学内容中处于一个学问集合点的地位，很多学问都

及数列有着亲密联络，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等学问

在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列及函数

的极限等内容作了铺垫.教材实行将代数、几何打通的混编体系的主要目

的是强化数学学问的内在联络，而数列正是在将各学问沟通方面发挥了重

要作用.因此本节内容是培育学生视察问题、启发学生思索问题的好素材.

三维目的

1.通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数

列模型，让学生相识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型.同

时经验由发觉几个详细数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程.

2.探究并驾驭等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳

或迭加或迭代的方式探究等差数列的通项公式.通过及一次函数的图象类

比，探究等差数列的通项公式的图象特征及一次函数之间的联络.

3.通过对等差数列的探讨，使学生明确等差数列及一般数列的内在

联络，浸透特殊及一般的辩证唯物主义观点，加强理论联络实际，激发学

生的学习爱好.

重点难点

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项和性质,

会用公式解决一些简洁的问题.

教学难点：概括通项公式推导过程中表达的数学思想方法，以和从函

数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题.

课时支配

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.（干脆导入）老师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以和

通项公式，可有意识地在黑板上（或课件中）出示几个数列，如：数列

1,2,3,…,数列0,0,0,…,数列0,2,4,6,…等，然后干脆引导学生阅

读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课.

思路2.（类比导入）老师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念和

通项公式，使学生明了我们如今要探讨的就是一列数.由此我们联想：在

初中我们学习了实数，探讨了它的一些运算及性质，则我们能不能也像探

讨实数一样，来探讨它的项及项之间的关系、运算和性质呢？由此导入新

课.

推动新课

新知探究

提出问题

1回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法？

2阅读教科书本节内容中的①②③3个背景实例，熟识生活中常

见现象，写出由3个实例所得到的数列.

3视察数列①②③，它们有什么共同特点？

4依据数列①②③的特征，每人能再举出2个及其特征一样的数

列吗？

5什么是等差数列？怎样理解等差数列？其中的关键字词是什

么？

6数列①②③存在通项公式吗？假如存在，分别是什么?

7等差数列的通项公式是什么？怎样推导？

活动：老师引导学生回忆上节课所学的数列和其简洁表示法一列表

法、通项公式、递推公式、图象法，这些方法从不同角度反映了数列的特

点.然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这3个模型的数

列：

①22,22.5,23,23.5,24,24.5,…；

②2,9,16,23,30;

③89,83,77,71,65,59,53,47.

这是由日常生活中常常遇到的实际问题中得到的数列.视察这3个数

列发觉，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数.当然这里我们

是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习便

利，这个依次不能颠倒.

至此学生会相识到，具备这个特征的数列模型在生活中有很多，如上

节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97,…，某体育场一角的看台的

座位排列：第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23,…，等等.

以上这些数列的共同特征是：从第2项起，每一项及它前面一项的差

等于同一个常数（即等差）.这就是我们这节课要探讨的主要内容.老师先

让学生试着用自己的语言描绘其特征，然后给出等差数列的定义.

等差数列的定义：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项及它前

一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差

数列的公差，公差通常用字母d表示.

老师引导学生理解这个定义：这里公差d肯定是由后项减前项所得,

若前项减后项则为一d,这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项

减前项而不说前项减后项的缘由.明显3个模型数列都是等差数列，公差

依次为0.5,7,-6.

老师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么？（学生在

学习中常常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深化

地理解和驾驭概念的重要条件，这是学好数学和其他学科的重要一环.因

此老师应当教会学生如何深化理解一个概念，以培育学生分析问题、相识

问题的实力）

这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心局

部.用递推公式可以这样描绘等差数列的定义：对于数列值㈡，若a。-a。

-1=d（d是及n无关的常数或字母）,n>2,n€N*,则此数列是等差数列.这

是证明一个数列是等差数列的常用方法.点拨学生留意这里的“n>2”，

若n包括1,则数列是从第1项向前减，明显无从减起.若n从3开场,

则会漏掉a?一a1的差，这也不符合定义，如数列1,3,4,5,6,明显不是等

差数列，因此要从意义上深入理解等差数列的定义.

老师进一步引导学生探究数列①②③的通项公式，学生依据已经学过

的数列通项公式的定义，视察每一数列的项及序号之间的关系会很快写

出：

①an=21.5+0.5n,②an=7n—5,（3）an=-6n+95.

以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所

求的结果方面都存在很多共性.老师点拨学生探求，对随意等差数列前，

依据等差数列的定义都有：

a2,a3,an,

a2—ai=d,

as—a2=d,

a4-a3=d,

所以a2=a1+d,

a3=a24-d=(a14-d)4-d=a1+2d,

a4=a3+d=(a1+2d)+d=ai+3d.

学生很简洁猜测出等差数列的通项公式an=ai+(n-l)d后,老师适

时点明：我们归纳出的公式只是一个猜测，严格的证明须要用到后面的其

他学问.

老师可就此进一步点拨学生：数学猜测在数学领域中是很重要的思索

方法，后面还要特地探究它.数学中有很多闻名的猜测，如哥德巴赫猜测

常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证明中国已处于世界领先地位.很

多闻名的数学结论都是从猜测开场的.但要留意，数学猜测仅是一种数学

想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用.这里我们归纳猜

测的等差数列的通项公式an=ai+(n—l)d是经过严格证明了的，只是如

今我们学问受限，无法证明，所以说我们先成认它.激励学生只要创新探

究，独立思索，也会有自己的新颖发觉.

老师依据教学实际状况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他

推导方法.例如：

方法一(叠加法)：={an}是等差数列，

,,an-an—1=d,

an-l—an-2=d,

an-2—an-3=d,

a2—aT=d.

两边分别相加得an—ai=(n—l)d,

所以an=a1+(n-l)d,

方法二(迭代法)：值/是等差数列，则有

an=an—1+d,

=an_2+d+d

=an_2+2d

=an-3+d+2d

=an_3+3d

=ai+(n—l)d.

所以an=a1+(n-l)d.

探讨结果：

⑴〜⑷略.

(5)假如一个数列从第2项起，每一项及它的前一项的差都等于同一个

常数，则这个数列就叫做等差数列.其中关键词为“从第2项起”、“等

于同一个常数”.

⑹三个数列都有通项公式，它们分别是：an=21.5+0.5n,an=7n

—5,an=—6n+95.

(7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式：an=ai+(n-l)d.

应用示例

例1(教材本节例2)

活动：本例的目的是让学生熟识公式，使学生从中体会公式及方程之

间的联络.教学时要使学生相识到等差数列的通项公式其实就是一个关于

an、ai、d、n(独立的量有3个)的方程，以便于学生能把方程思想和通项

公式相结合，解决等差数列问题.本例中的⑵是推断一个数是否是某等差

数列的项.这个问题可以看作⑴的逆问题.须要向学生说明的是，求出的

项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的

项.本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，老师只是对有困难的

学生赐予恰当点拨.

点评：在数列中，要让学生明确解方程的思路.

变式训练

(1)1。。是不是等差数列2,9,16,…的项，假如是，是第几项？假

如不是，请说明理由；

1

(2)-20是不是等差数列0,一38，一7,…的项，假如是，是第几项？

假如不是，请说明理由.

解：(1)由题意，知a】=2,d=9—2=7.因此通项公式为an=2+(n

-l)x7=7n-5.

令7n—5=10。，解得n=15,所以10。是这个数列的第15项.

17

(2)由题意可知a】=0,d=-3­,因此此数列的通项公式为an=-jn

7

+2-

774777

令-5n+万=-20,解得11=斤.因为■"限+]=-20没有正整数解,

所以一20不是这个数列的项.

1

例2一个等差数列首项为器，公差d>0,从第10项起每一项都比1

大，求公差d的范围.

活动：老师引导学生视察题意，思索条件“从第1。项起每一项都比

1大”的含义，应转化为什么数学条件？是否仅是a】o>l呢？d>0的条

件又说明什么？老师可让学生合作探究，放手让学生探讨，不要怕学生出

错.

解：设等差数列为值力，则有aiVazVa3V…vagVaioVaii

v…，

1vaioVanv…，

由题意，得，

a1V3,2V••,VHg<1,

1

+10-1d>l,

aio>125

即<

HQ411

<25+9-1d<l,

83

解得去v<

25,

点评：本例学生很简洁解得不完好，解完此题后让学生反思解题过

程.本题主要训练学生敏捷运用等差数列的通项公式以和对公差的深入理

解.

变式训练

111

在数列｛aj中,已知ai=l,--=—4--(n€N*),求as。.

an+ian3

111

解：已知条件可化为;---=-(n€N*),

an+ian3

111

由等差数列的定义，知K｝是首项为1=1,公差为d=£的等差数列,

anai3

1152

=1+(50-l)X-=—

a5033

3

•-50=豆.

例3已知数列｛aj的通项公式an=pn+q,其中p、q是常数，则这

个数列是否肯定是等差数列？若是，首项及公差分别是什么？

活动：要断定值二是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，依据

an-an_1(n>1)是不是一个及n无关的常数.

这事实上给出了推断一个数列是否是等差数列的一个方法：假如一个

数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，则这个数列必定是等差数

列.因此把等差数列通项公式及一次函数联络了起来.本例设置的“旁

注”，目的是为了提醒等差数列通项公式的构造特征：对于通项公式形如

an=pn+q的数列，肯定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的

公差，首项是p+q.因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从

多个角度去对待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的

性质.在教学时老师要依据学生解答的状况，点明这点.

解：当n>2时，〔取数列值0｝中的随意相邻两项a.i及an(n>2)]

an-an_i=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p为常

数,

所以｛aj是等差数列，首项a1=p+q,公差为p.

点评：(1)若P=o,则｛an｝是公差为。的等差数列，即为常数列q,q,

q,….

(2)若PRO,则a。是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点

(n,an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p,直线

在y轴上的截距为q.

(3)数列｛aj为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数),

称其为第3通项公式.

变式训练

已知数列的通项公式an=6n—1.问这个数列是等差数列吗？若是

等差数列，其首项及公差分别是多少？

解：./an+i-an=[6(n+1)-l]-(6n-1)=6(常数)，

.•.值。｝是等差数列，其首项为a1=6X1-1=5,公差为6.

点评：该训练题的目的是进一步熟识例3的内容.须要向学生强调，

若用an-an_=d,则必需强调n>2这一前提条件，若用an+1-an=d,

则可不对n进展限制.

知能训练

1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项；

(2)—4。1是不是等差数列-5,-9,-13,…的项？假如是，是第

几项？

2.求等差数列3,7,11,…的第4项及第1。项.

答案：

1.解：（1）由21=8,€1=5—8=—3,11=2。，得220=8+（20—1）＞＜（一

3)=-49.

(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为

an=-5—4(n—1)=—4n—1.

由题意知，本题是要答复是否存在正整数n,使得一401=-4n—l

成立.解这个关于n的方程，得n=100,即一401是这个数列的第100

项.

2.解：依据题意可知a】=3,d=7-3=4.

二•该数列的通项公式为an=3+(n-1)X4,

BPan=4n—l(n>1,n€N*).

a4=4X4—1=15,aio=4X10—1=39.

课堂小结

1.先由学生自己总结回忆这节课都学习了哪些学问？要留意的是什

么？都用到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？

2.老师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义和

通项公式，等差数列的根本性质是“等差”.这是我们探讨有关等差数列

的主要动身点，是推断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的

一种根本方法，要留意这里的“等差”是对随意相邻两项来说的.

作业

习题2—2A组1、2.

设计感想

本教案设计突出了重点概念的教学，突出了等差数列的定义和对通项

公式的相识及应用.等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性也是本

质属性的精确反映和高度概括，精确地把握定义是正确相识等差数列，解

决相关问题的前提条件.通项公式是项及项数的函数关系，是探讨一个数

列的重要工具.因为等差数列的通项公式的构造及一次函数的解析式亲密

相关，因此通过函数图象探讨数列性质成为可能.

本教案设计突出了教法学法及新课程理念的接轨，引导综合运用视

察、归纳、猜测、证明等方法探讨数学，这是一种特别重要的学习方法；

在问题探究求解中，常常是先从视察入手，发觉问题的特点，形成解决问

题的初步思路，然后用归纳方法进展摸索，提出猜测，最终采纳证明方法

（或举反例）来检验所提出的猜测.

本教案设计突出了发散思维的训练.通过一题多解，多题一解的训练,

比拟优劣，换个角度视察问题，这是数学发散思维的根本素养.只有在学

习过程中有意识地将学问迁移、组合、交融，激发新颖心，体验多样性，

学懂学透，融会贯穿，创新思维才能及日俱增.

（设计者：周长峰）

第2课时

导入新课

思路L（复习导入）上一节课我们探讨了数列中的一个重要概念——等

差数列的定义，让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子.接着

老师引导学生探究自己所举等差数列例子中项及项之间有什么新的发

觉？比方，在同一个等差数列中，及某一项“间隔”相等的两项的和会

是什么呢？由此绽开新课.

思路2.（干脆导入）老师先引导学生回忆上一节所学的内容：等差数列

的定义以和等差数列的通项，之后干脆提出等差中项的概念让学生探究，

由此而绽开新课.

推动新课

新知探究

提出问题

错误！

活动：借助课件，老师引导学生先回忆等差数列的定义，一般地，假

如一个数列从第2项起，每一项及它前一项的差等于同一个常数，即an

—an_】=d(n>2,n€N*),这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等

差数列的公差(通常用字母"d”表示).

再一起回忆通项公式，等差数列值力有两种通项公式：an=am+(n-

m)d或an=pn+q(p、q是常数).

由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的方法：①d

…,a-a

=a-a,1；(2)d=—;(3)d=­n~—m

nnn—in—m

对于通项公式的探究，我们用归纳、猜测得出了通项公式，后又用叠

加法和迭代法推导了通项公式.

老师指导学生阅读课本等差中项的概念，引导学生探究：假如我们在

数a及数b中间插入一个数A,使三个数a,A,b成等差数列，则数A

应满意什么样的条件呢？

a+b

由定义可得A—a=b—A,即人=1厂

a+b

反之，若人=丁，则A—a=b—A,

a+b

由此可以得A=f—a,A,b成等差数列.

由此我们得出等差中项的概念：假如三个数X,A,y组成等差数列，

x+y

则A叫做x和y的等差中项.假如A是x和y的等差中项，贝ijA=f-.

依据我们前面的探究不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每

一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项及后一项的等差中项.

如数列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3及7的等差中项，也是1和9

的等差中项.

9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.

等差中项和其应用问题的解法关键在于抓住a,A,b成等差数列2A

=a+b,以促成将等差数列转化为目的量间的等量关系或干脆由a,A,b

间的关系证得a,A,b成等差数列.

依据等差中项的概念我们来探究这样一个问题：如上面的数列

1,3,5,7,9,11,13,…中，我们知道2a5=a3+a7=ai+ag=a2+a8,则你

能发觉什么规律呢？再验证一,卜，结果有a2+Sio=3.3+&9=a4+a8=a5

+a7=2a6.由此我们猜测这个规律可推广到一般，即在等差数列值/中，若

m、n、p、q6N*且m+n=p+q,则am+an=ap+aq,这个猜测及上节

的等差数列的通项公式的猜测方法是一样的，是我们归纳出来的，没有严

格证明，不能说它就肯定是正确的.让学生进一步探究怎样证明它的正确

性呢？只要运用通项公式加以转化即可.设首项为aI，则am+an=ai4-(m

—l)d++(n—l)d=2&i+(m+n—2)d,

ap+aq=ai+(p—l)d+ai+(q—l)d=2ai+(p+q—2)d.

因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an

=ap+aq.

由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列值小的各项中，及

首末两项等间隔的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，

若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.同样地，

我们还有：若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.

我们自然会想到由am+an=ap+aq能不能推出m+n=p+q呢？举

个反例，这里举个常数列就可以说明结论不成立.

这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要

不充分条件.由此我们还进一步推出an+i-an=d=an+2-an+1,即2an

+1=an+an+2,这也是证明等差数列的常用方法.

同时我们通过这个探究过程明白：若要说明一个猜测正确，必需经过

严格的证明，若要说明一个猜测不正确，仅举一个反例即可.

探讨结果：⑴⑵略.

(3)假如三个数x,A,y成等差数列，则A叫做x和y的等差中项，

(4)得到两个重要结论：①在数列｛a#中，若2an+】=an+an+2(n€N*),

则值二是等差数列.

②在等差数列中，若m+n=p+q(m、n、p、qWN*),则am+an=

ap+a.q.

应用示例

例1在等差数列｛aj中，若ai+a6=9,a4=7,求a?,a9.

活动：本例是一道根本量运算题，运用方程思想可由已知条件求出a1,

d,进而求出通项公式a.则a?,ag不难求出.应要求学生驾驭这种解题

方法，理解数列及方程的关系.

ai+a1+5d=9,ai=-8,

解：由已知，得解得

a1+3d=7,d=5.

二.通项公式为an=a1+(n—l)d=-8+5(n—l)=5n—13.

.".a3=2,ag—32.

点评：本例解法是数列问题的根本运算，应要求学生娴熟驾驭，当然

对学有余力的同学来说，老师可引导探究一些其他解法，如ai+a6=a4+

a3=9.

.*.a3=9—a4=9-7=2.

由此可得d=a4—a3=7—2=5.

*-a.93.4+5d=32.

点评：这种解法奇妙，技巧性大，需对等差数列的定义和重要结论有

深入的理解.

变式训练

已知数列值4对随意的p,qWN满意ap+q=ap+aq,且a2=-6,

则aI。等于()

A.-165B.-33C.-30

D.-21

答案：C

,1

-

解析：依题意知，^2=3-1+ai=2ai,a.!=~a.2=3,an+i=an4-ai

乙

=an-3,

可知数列值4是等差数列，a10=ai+9d=-3-9x3=-30.

例2(教材本节例5)

活动：本例是等差数列通项公式的敏捷运用.正如边注所说，相当于

已知直线过点(1,17),斜率为-0.6,求直线在x轴下方的点的横坐标的取

值范围.可放手让学生完本钱例.

变式训练

等差数列值力的公差dvO,且a?.a4=12,a2+a4=8,则数列｛a4

的通项公式是…()

A.an=2n—2(n6N*)B.an=2n+4(n€N*)

C.an=-2n+12(n6N*)D.an=-2n+10(nCN*)

答案：D

32，8-4=12

a，26a[==8,

解析：由题意知｛a2+a4=8<

a=2d=­2,

、dvO4

所以由an=ai+(n-l)d,得an=8+(n-1)(—2)=-2n+10.

例3已知a、b、c成等差数列，则a2(b+c),b2(c+a),c?(a+b)是

否成等差数列？

活动：老师引导学生思索a、b、c成等差数列可转化为什么形式的等

式？本题的关键是考察在a+c=2b的条件下，是否有以下结果：a2(b+

c)+c2(a+b)=2b2(a+c).老师可让学生自己探究完成，必要时赐予恰当

的点拨.

解：・•・a、b、c成等差数列，

.\a+c=2b.

又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c4-a)

=a2b+a2c4-ac24-be2—2b2c—2ab2

=(a2b—2ab2)+(bc2—2b2c)+(a2c+ac2)

=ab(a-2b)+bc(c-2b)+ac(a4-c)

=­abc—abc4-2abc

=0,

a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).

/.a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.

点评：假如a、b、c成等差数列，常转化为a+c=2b的形式，反之,

假如求证a、b、c成等差数列，常改证a+c=2b.有时还需运用一些等价

变形技巧，才能获得胜利.

例4在一1及7之间顺次插入三个数a、b、c,使这五个数成等差数

列，求此数列.

活动：老师引导学生从不同角度加以考虑：一是利用等差数列的定义

及通项；一是利用等差中项加以处理.让学生自己去探究，老师一般不要

赐予提示，对个别探究有困难的学生可适时地给以点拨、提示.

解：(方法一)设这些数组成的等差数列为值力，由已知，a1=-l,a5

=7,

/.7=-l+(5-l)d,即d=2.

.•.所求的数列为一1,1,3,5,7.

（方法二）•••一1,a,b,c,7成等差数列，

二.b是一1,7的等差中项，a是一1,b的等差中项，c是b,7的等差

-1+7-1+bb+7

中项，即b=-=3,a=-=1,c=-~-=5.

乙//

二•所求数列为一1,1,3,5,7.

点评：通过此题可以看出，应多角度思索，多角度视察，正像前面所

提出的那样，尽量换个角度看问题，以开阔视野，培育自己求异发散的思

维实力.

变式训练

1

数列｛a#中，a3=2,a7=l,且数列｛1工彳｝是等差数列，则a”等

an+1

于（）

212

A.--B-C-D.5

答案：B

111

解析：设bn=1，则b3=H，b=-,

I-I-ON7

11

因为｛羡■是等差数列，可求得公差d=x，

211

所以bii=b7+（ll-7）d=a，即aii=7--l=j

例5某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初

的4千米（不含4千米）计费1。元.假如某人乘坐该市的出租车前往14km

处的目的地，且一路畅通，等候时间为0,须要支付多少元的车费?

活动：老师引导学生从实际问题中建立数学模型.在这里也就是建立

等差数列的数学模型.引导学生找出首项和公差，利用等差数列通项公式

的学问解决实际问题.

解：依据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1

km,乘客须要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列｛aj来计算

车费.

令ai=11.2表示4km处的车费，公差d=1.2,贝U,当出租车行至

14km处时，n=ll,此时须要支付车费a11=11.2+（ll-l）X1.2=

232元）.

答：须要支付车费23.2元.

点评：本例中令a1=11.2,这点要引起学生留意，这样一来，前往

14km处的目的地就相当于n=11,这点极简洁弄错.

知能训练

1.已知等差数列值/中，ai+a3+a5+a7=4/i」22+24+26等于（）

A.3B.4C.5D.6

2.在等差数列值心中，已知ax=2,a2+a3=13,则a4+as+ae等

于（）

A.40B.42C.43D.45

答案：

1.解析：由ai+a3+as+a7=4,知4a4=4,即a4=l.

a2+a4+a6=3a4=3.

答案：A

2.解析：a?+a3=13,

」.2ai+3d=13.

*/a1=2,/.d=3.

而a4+a5+a6=3a5=3(a!+4d)=42.

答案:B

课堂小结

1.先由学生自己总结回忆这节课都学习了哪些学问？要留意的是什

么？都用到了哪些数学思想方法？你是如何通过旧学问来获得新学问

的？你在这节课里最大的收获是什么？

2.老师进一步画龙点睛，本节课我们在上节课的根底上又推出了两

个很重要的结论，一个是等差数列的证明方法，一个是等差数列的性质，

要留意这些重要结论的敏捷运用.

作业

课本习题2—2A组5、6、7.

设计感想

本教案是依据课程标准、学生的认知特点而设计的，设计的活动主要

都是学生自己完成的.特殊是上节课通项公式的归纳、猜测给学生留下了

很深的记忆；本节课只是接着对等差数列进展这方面的探究.

本教案除了支配教材上的两个例题外，还针对性地选择了既具有典型

性又具有启发性的几道例题和变式训练.为了学生的课外进一步探究，在

备课资料中摘选了局部备用例题和备用习题，目的是让学生对等差数列的

有关学问作进一步拓展探究，以开阔学生的视野.

本教案的设计意图还在于，加强数列及函数的联络.这不仅有利于学

问的融会贯穿，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列

的问题，而且反过来可使学生对函数的相识深化一步，让学生体会到数学

是好玩的，探究是愉悦的，归纳猜测是令人激昂的，借此激发学生的数学

学习爱好.

备课资料

一、备用例题

【例1】梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还

有1。级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.

解：设值㈡表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件,

可知a】=33,a12=110,n=12,所以&12=&1+(12-l)d,即得110

=33+lld,解之，得d=7.

因此22=33+7=40,23=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,

a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,an=103.

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是4。cm,47cm,54cm,

61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.

111b+cc+aa+b

【例2】已知丁1成等差数列，求证:『丁也成

等差数列.

111211

证明：因为二，二成等差数列，所以^=二十二，化简得2ac=b(a+

abcbac

c),所以有

b+ca+bbe+c2+a24-abba+c4-a24-c22ac+a2+c2

+===

acacacac

a+c2a+c2a+c

=---------=---------=2•-----.

acba+cb

2

b+cc+aa+b

因此——，一丁，——也成等差数列.

abc

【例3】设数列值4伯京都是等差数列，且a】=35,b1=75,a2+b2

=100,求数列献+bn｝的第37项的值.

分析：由数列｛an｝｛bn｝都是等差数列，可得｛an+bn｝是等差数列，故可

求出数列｛an+bd的公差和通项.

解：设数列｛aMU的公差分别为di,d2,则(an+i+bn+i)-(an+bj

=(an+i-an)+(bn+i-bn)=d1+d2为常数，所以可得｛a。+4｝是等差数

列.设其公差为d,则公差d=(a2+b2)-(ai+bj=1。。一(35+75)=-

10.因此a37+b37=110—10X(37-1)=-250.

所以数列｛an+bj的第37项的值为-250.

点评：若一个数列未告知我们是等差数列时，应先由定义法断定它是

等差数列后，方可运用通项公式an=ai+(n—l)d.但对客观试题则可以干

脆运用某些重要结论，干脆断定数列是否为等差数列.

二、备用习题

1.已知等差数列值/中，a7+a9=16,a4=l,则a］？的值是()

A.15B.30C.31D.64

2.在数列｛a在中3an+i=3an+2(n€N*),且22+24+27+29=20,

则210为()

A.5B.7C.8D.10

3.在等差数列｛a4中，a1+3a8+a15=120,则3ag—a1］的值为()

A.6B.12C.24D.48

1

4.已知方程(x2—2x+m)(x2—2x+n)=0的四个根组成一个首项为［

的等差数列，贝-等于()

313

A.1B-C-D-

4/o

5.在等差数列｛aj中，a5=3,a6=-2,贝！］a4+a5H------Fa10=

6.已知a、b、c成等差数列，且a、b、c三数之和为15,若a2,

b2+9,c2也成等差数列，求a、b、c.

111

7.设工不，―,F成等差数列，求证：a2,b2,c2也成等差数

a+ba+cb+c

列.

8.成等差数列的四个数之和为26,第二数及第三数之积为40,求

这四个数.

9.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电

商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单

价为76。元，以此类推，每多买一台则所买各台单价均削减2。元，但每

台最少不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购置

一批此类影碟机，问去哪一家商