高中数学常见的公式定理

高中数学常用公式

一.代数

1.集合，函数

A口B,BA-B

AC\B=[x\xeA,且无£研

AU5={RXEA或无£现

Av-[x\xeU,且xeA}

card(A\JB)=card{A}+card(B)-card(AC\B)

m__

an=Via^-(a>0,m,neN,且〃〉1)

m

n11

am[a>0,m,nGN,且〃〉1)

an

/呜N=N,log0N=l°g〃N

log〃a

log“(MN)=log“M+log“N

log“log.M-logflN

n

log。M=nlogaM(neR)

fM

基本型：a=b/(x)=logflb(a>0,awl,Z?>0)

b

loga/(x)=bof(x)=a(a>0,awl)

同底型：af(x)=a8(x)f(x)=g(x)(a>0,awl)

logGf(x)=logflg(x)o/(x)=g(%)>0(a>0,aw1)

x

换元型：f(a)=0^f(\ogax)=0

2.数列

(1)等差数列

aa

n+i-n=d

an-ax+(n-l)d

a,A,/?成等差n2A=a+b

m+n=k+lnc1inlll+(1r1l-aK,+la,

o(%+6,)/1(...

Sn=------...-=nax+—n\n-l)d

(2)等比数列

n-l

%=〃闻

a,G,6成等比=G2=ab

m+n=k+lnciman-akat

a^-qn

-------^(#i)

S,,i-q

叫(q=1)

(3)求和公式

n

»=n{n+1)

k=\2

nn(n+1)(2〃+1)

k=\6

n2

次

k=l

3.不等式

a>b<a

a>b,b>c=a>c

a>b^>a+c>b+c

a+b>cna>c-b

a>b,c>d=a+c>b+d

a>b,c>Qac>be

a>b,c<0^ac<be

a>b>0,c>d>Q=>ac<bd

a>b>0=>dn>bn(nEZ,n>1)

a〉b〉0n\Ta>\lb(nGZ,n>1)

(a-Z?)2>0

a,bER=a?+/2lab

a,

2

a,b,cER+a3+Z?3+c3>3abc

+a+b-\-c3/~r~

a,b,ceR=>---------->7abe

3

\a\-\b\<\a±b\<\a\+\b\

4.复数

a+bi=c+dioa=c9b-d

\a+bi\=yla2+/72

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+0+d)i

(a+bi)—(c+di)=(a-c)+(Z?-d)i

(a+bi\c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i

a+biac+bdbe-ad.

-------=-----------1----------1

c+dic2+d2c2+b2

(a+好=an+Ci"7®)+…+C：(bi)"

a+bi=r(cos3+zsin0)

Mcos%+，sind)G(cos62+zsin%)

=q,q[cos0+%)+，sin(6i+%)]

[r(cos6+sin。)]"

“/八八、a(cos&+isin0.)

=r(cos〃6+ism〃夕)一；--------------(

弓(cos%+zsin^2)

=—[cos(%—2)+，sin(6]—02)1

丫2一一

2k兀+0..2k兀+0

①k-----------bisin----------

nn

左二0,1,,n—1

lZlZ21=*七|

4:

=N

Z2z

l2|

Iz"|=Iin

z

±zz

hl-|z2hki2|^lil+k(2

|z|2二|z|2=zz

Z1±Z2=Zi±z2

Z1，Z2~Z1,Z2

①

Z2

5.排列组合与二项式定理

A：=n(n—l)(n-2)-,*(n-m+1)

n\

A：

(n-m)!

A：〃(〃一1)…(〃—zn+1)

C：

mlml

n\

C：

m\(n—m)\

Mlc：+c;-1

C机_^jn—m

nrnrr

(〃+3"=C^a+C；晨%+-+Cna-b+-+C»〃

酊二C"一"

二.三角函数

1.同角关系

sm.2a+cos2a-\1

I+tan2a-sec2a

l+cot2a-esc2a

.1sina

smacsca=I,tana=------

COS6Z

icos。

cosasec。=1,cot。=------

sina

tanacota=1

2.诱导公式

sin(Z-360°+a)=sina

cos(Z•3600+a)=cosa

tan(^-360°+a)=tana

cos(-a)=cosa

sin(-a)=-sina

tan(-a)=-tana

sin(180°±cif)==psina

COS(180°±6Z)=-cosa

tan(180°±cif)=±tana

sin(360。-a)=-sina

COS(360°-6Z)=cosa

tan(3600-a)=-tana

sin(90°±dz)=cosa

COS(90O±6Z)=干sina

tan(90°±dz)==pcota

sin(270°±dZ)=-cosa

cos(270。土a)=±sina

tan(270°±dz)==pcota

3.和差公式

sin(cr±/?)=sinacos0±cosasinD

cos(tz±/?)=cosacos不sinasinB

,c、tana±tan£

tan(zcr±0)=--------------—

1+tan6Ztan0

4.倍角公式

sin2。=2sinacos。

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

八2tana

tan2a=------------

1-tana

5.半角公式

siny=±.

01-cos^sin。

tan—=----------=----------

2sin夕1+cos0

6.万能公式

Car2a

2tan—I-tan—

sina=-----c-o-s-a---=-----------

I1+tan2—a1+tan—

22

Ca

2tan—

tana-------------

,2a

1-tan2—

2

asina+bcosa=da2+b2sin(a+0)

7.正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：=―竺=」一

sinAsinBsinC

8.余弦定理：

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两

倍，即：

a2=b2+c2-2bccosA

b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-labcosC

三.向量运算

1.向量的加法

〃+0=0+a

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

2.向量减法

一(-a)=a

a+(一〃)—(一〃)+a=0

a—b=a+(—Z?)

3.实数与向量的积：以下公式；I、"为实数，。、匕为向量

|?kz|=14M

A(ua)=(2u)a

(2+u)a=Aa+ua

A(a+b)=Aa+Ab

线段的定比分点：设々产=率，《、P、舄的坐标分别为(%，%),(x,y),

(马，%)，则有：

x,+AX

X=-----9

1+2

、..X+仪

y-----------

1+2

向量的数量积及运算律

数量积(内积)：。力=|〃帆cos。

向量b在a方向的投影为例cos。

设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，。是a与e的夹角，贝U

(1)e-a=a-e=|^|cos0

(2)a_LZ?oa・Z?=0

(3)当a与b同向时,a-b=\a\[b\；

当a与b反向时,a-b=-同步|;

a-a—a2=|tz|2

\a\=•〃

(4)cosd=

同Ml

(5)\a-b\<|«||/?|

数量积运算律：(a,b,c为向量，4为实数)

a-b=b-a(交换律)

(九2)•b-4(a•b)=a•(2b)

(a+b)-c=a-c+b-c

四.解析几何

1.直线方程

y-%=左（元一%1）

y=kx+b

y一%二

丁2一元2一元1

ab

Ax+By+C=Q

2.两点距离、定比分点

\AB\=\XB-XA\

山舄I=J（》2-占）2+（y2f）2

x+

x=-}-----

1+2

、…%+为2

y--------

1+A

x,+x

x=-----9

2

2

3.两直线关系

7//7A]_G

I]〃/?<^>———w—

A252C2

或匕=&且4—82

人与，2重合=血=旦=6

&B2C2

或匕=&且々=》2

4与，2相交0ALW旦

12

A252

或女1W女2

I】J_4AA?+B]B?—0

或左比2-T

/1到6的角

k—k

tan-----(1+kkw0)

1Ili]2x2

到6的夹角

k?—k[

tan。(1+左/2W°)

1+左]左2

点到直线的距离

d：|Ax()+^()+C|

，_VA2+52

4.圆锥曲线

(1)圆

(x-tz)2+(y-Z?)2=R?

圆心为(a,人)，半径为R

(2)椭圆

22

-y+=1(Q〉/?〉0)

ab

焦点与(-c,0),F2(C,0)

(b2=a2-c2)

离心率e=£

a

2

准线方程入=土?

焦半径=〃+e%0,=a-exQ

(3)双曲线：

二一亡=1

/b2"

(4)抛物线

抛物线F=2px(p〉0)

焦点R(三，0)

准线方程x=-3

2

五.立体几何

1.空间两直线平行判定

(1)aIIb,bIIallc

alia

(3)auB>=>alib

a^\/3=b

aIIp

(4)/Pl6z=a>=>a//b

=b

2.空间两直线垂直判定

a-La

(1)卜=〃_Lb

bua

aIIb

(2)>=11b

IA.a

3.直线与平面平行

(1)判定

d

bua\=alla

aIlb

al10}

\=a110

〃uaj

(2)性质

aI/P

auab=>〃//》

a^\/3=b

4.直线与平面垂直

(1)判定

mua,nua,mC\n-B

>=>11.a

LLm,ll.n

a!lb

=>bVa

a±aJ

(2)性质

a.La

>=>〃///7

bLa

5.平面与平面平行

(1)判定

a,bu/3

<1>a/la.bIla>=a11。

aC\b=A

<2>=a〃0

ally

=>o///?

尸/“

(2)性质

a//j3

<1>y[\a-a>=aIlb

yP\0=b

〃u。na110

6.平面与平面垂直

(1)判定

〃u

<1>=>a邛

a.Lj3

<2>二面角的平面角0=90°

(2)性质

al/3,aV\/3=b

<1>>=>a^/3

aa,aA-b

A^a9Aea

<2>a，/3>=aua

aI/3

7.几何体的侧面积

S正棱柱侧=Ch

s正棱锥侧=]C"

S圆柱侧=2兀Rh

s圆锥侧=兀Ri

S球=4冰之

8.几何体的体积

腺梭料枉=Sh

V段捺锥锥=—3Sh

2

V国同柱料=7iRh

1

V圆锥=~^R9h

43

V球=3做3

六.概率与统计

1.概率性质

(1)Pi>0,i=1,2,........；

(2)Pi+p2+......=1

2.二次分布

Eq…=b(k；n,p)

3.期望

EJ=&Pi+x2p2+...+xnpn+........

E(aJ+b)=aEJ+b

若自〜B(n,p),则=

4.方差

=-四)2.P]+(%-&)2-P2+.....+(%-&)2-pn+-•••

5.正态分布

](X-M)2

y(X)=——e2b2,xG(-00,+oo)

J27rb

式中的实数小。(。>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差。

正态分布常记作N(”,(T2)

1工

标准正态分布，当(7=1,沅=0时，/(x)=—j=e2,%£(-00,+

J27r'

七.极限

任何一个常数数列的极限都是这个常数本身o

即lime=c(c是常数)

"foo

lim/(x)=〃olimf(x)=lim/(%)=a

x—>XQx—>XQxj

极限四则运算

如果lim/(%)=〃，limg(x)=b,那么

x—>x0x—>x0

\im[f(x)±g(x)]=a+b

lim[/(x)-g(x)]=a-b

「/(x)a..八、

lim------=—(Z?w0)

%.与g(x)b

如果lima”=a,-b,那么

n—>oon—>co

lim(a“+bn)=a+b

lim(a„-bn)=a-b

八foo

lim^=3(0w0