高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (一)(含解析)

第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题(1)

1.如图所示，在直角梯形ABZJC中，AB//CD,AB>CD,S是直角

梯形A8OC所在平面外一点，画出平画S3。和平面SAC的交线并

写出过程.

2.如图所示，D,E分别是AABC的边AC,BC上的点，平面a经过。，E两点.

(1)求作直线AB与平面a的交点P;

(2)求证：D,E,尸三点共线.

3.如图，在四棱锥P—ABCC中，PD,底面ABC。，底面48C。为正方形，PD=DC,E,F分别

是A8,尸8的中点.

p

A

(1)求证：EFA.CD；

(2)在平面尸4。内求一点G,使GF，平面PCB,并证明你的结论.

4.如图，在三棱锥A-BCD中，G,H分别为△力BC与△ACC的重心,E,尸分别为BC,CZ)的中

点.求证：EH,FG,GH三线共面.

5.如图所示，在四边形A8C。中，已知AB〃CD,直线AB,BC,

AD,0c分别与平面a相交于点E,G,H,F.求证：E,F,G,

〃四点共线.

6.如图，在四面体ABCO中作截面PQR,若P。与CB的延长线交于点A1,RQ与OB的延长线交

于点N,RP与。C的延长线交于点K.

(1)求证：直线MNu平面「QR；

(2)求证：点K在直线MV上.

7.已知三个不重合的平面a,p,y,三条不同的直线a,h,c,若aC0=c,£ny=a,yna=b,

且a和人不平行.求证：a,b,c三条直线必过同一点.

8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，△ABP是等边三角形且边长是4,DA=DP.

(1)证明：AP1BD-.

(2)若D4=4,BD=2V6,求三棱锥D-BPC的体积.

9.如图，四棱锥S-4BCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的或倍，点P为侧棱SQ

上的点.

(1)求证：ACLSD；

(2)若SDJL平面PAC,求平面SBC与平面PAC所成二面角的余弦值.

10.已知正方体ABCO-&BiGZ)i，E,F分别为AC和4D上的点，且EF1AC,EFLA^D.

⑴求证:EF//BD1；

(2)求证：BE,CiF,£M三条直线交于一点.

11.已知aua,bua,adb=A,Pe.b,PQ〃a.求证：PQca.

12.已知三个平面a,/?,y,如果a〃S，yna=a,yn/?=b,且直线cu/?.

(1)判断c与a的位置关系，并说明理由；

(2)判断。与人的位置关系，并说明理由.

13.如图，已知正方体A8C0-418165，证明：直线与直线&C是异

面直线.

14.如图，画出过三点A,B,C的截面与多面体在各个面上的交线围成的平面图形，其中42与所

在面的边不平行，要求保留作图痕迹.

15.如图，在长方体4BCC-48传1。1中，44i=2,AB=BC=1,E为BB1的中点，尸为4cl的中

点.

⑴求证：EF〃平面A2CZ)；

(2)求点E到平面4B1G的距离.

16.已知四棱柱ABC。—AiBiGDi的侧面都是矩形，底面四边形A8CD是菱形，且4B=BC=2痘,

乙48c=120°,若1ADr,求人〃的长.

17.如图，在直三棱柱ABC-A1&C1中，AC=BC=四，乙4cB=

90。.44]=2,。为A8的中点.求证：AC1FQ.

18.正方体4BCD如图所示.

(1)若E,尸分别为A4i，CG的中点，画出过点Di，E,尸的截面;

(2)若M,N,尸分别为BB],BiQ上的点(均不与名重合)，求证：△MNP是锐角三角形.

19.如图，已知四面体ABCO的所有棱长都是2,点E是AD的中点.

(I)求证：AD1BC；

(11)求丽・不的值.

20.如图，已知AABC在平面a外，它的三边所在的直线分别交平面a于

点尸，Q,R,求证：P,Q,R三点共线.

QPR

a

【答案与解析】

1.答案：解：很明显，点S是平面S3。和平面SAC的一个公共点,

即点S在交线上，由于力B>CD,

则分别延长AC和BD交于点、E,如图所示：

EGAC,ACu平面SAC,E€平面SAC.

同理，可证Ee平面S3D

.•.点E在平面S3。和平面S4C的交线上，

连接SE,直线SE是平面SB。和平面SAC的交线.

解析：本题考查了点，线，面之间的关系，考查了面面交线的画法，是一道基础题.

先根据题意画出图象，说明时可根据点E在平面S3。上和平面SAC上，从而得出SE是交线.

2.答案：.解：(1)延长AB交平面a于点P,如图

所示.

(2)证明：平面力BCC平面a=DE,PG

AB,ABu平面ABC,P6平面ABC,

又Pea,P在平面a与平面ABC的

交线上，即PeDE,二。，E,P三点

共线.

解析：本题考查平面的基本性质，属于基础题.

(1)延长A8交平面a于点P,即得结果；

(2)只要证明点尸在平面A8C与平面a的交线上即可.

3.答案：(1)证明：以D4,DC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图,

则。(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),F(a,p0),P(0,0,a),尸舞()，

■-'EF=DC=(0,a,0).

•••EF-DC=(-p0,^)-(0,a,0)=0,EF1DC.

(2)解：Ge平面PAD,设G(x,O,z),

•••FG=(%-^,-pz-^).

由(1)知丽=(a,0,0),CP=(0,-a,a).

由题意，要使GF1平面尸CB,

只需FG-CB—(x—p—|,z—,(a,0,0)=a(x—^)=0,

FG-CP=(x-|)•(0,-a,a)=y+a(z-^)=0,

二x=/,z=0.

.••点G的坐标为60,0),即点G为A。的中点.

解析：本题考查了空间中直线与直线的位置关系、利用空间向量判定线面的垂直、平行关系的相关

知识，试题难度一般

4.答案：证明：连接AE,AF.

由三棱锥的性质，知A,E,F三点不共线，

则4,E,尸确定一个平面a.

所以4€平面a,Ee平面a,F€平面a,4Eu平面a,AFu平面a.

根据三角形重心的性质，知GW4E,HEAF,

所以G6平面a,H6平面a,

所以EHu平面a,FGu平面a,GHu平面a,

所以EH,FG,GH三线共面.

解析：本题考查平面的基本性质及应用，属于中档题.

4,E,尸确定一个平面a,根据三角形重心的性质G64E,H&AF,进而可得E〃，FG,G”三线共

面.

5.答案：证明：因为

所以A8,CD可确定一个平面/?.

又ABna=E,ABu0,

所以E6a,Ee0,

即E为平面a与£的一个公共点.

同理可证尸，G,"均为平面a与3的公共点.

若两个平面有公共点，则它们有且只有一条通过该公共点的公共直线,

所以E,F,G,”四点共线.

解析：本题考查平面的基本性质及应用，属于基础题.

求证出E,F,G,，均为平面a与0的公共点，进而可得结果.

6.答案：证明：(1)PQu平面PQR,直线尸Q,

M€平面PQR.

■■■RQu平面PQR,N6直线RQ,

•••NC平面PQR.

.••直线MNu平面PQR.

(2)•••M€直线CB,CBu平面BCD,

•­•M€平面BCD.

由⑴,知Me平面尸。平

•••M在平面PQR与平面BCD的交线上，

同理可知N,K也在平面PQR与平面BCQ的交线上，

M,N,K三点共线，

二点K在直线上.

解析：本题考查平面的基本性质以及应用，属于中档题.

(1)由Me平面PQR,Ne平面PQR,可得直线MNu平面PQR.

(2)易得M6平面BCD,而Me平面产。凡所以M在平面PQR与平面BCD的交线上，同理可得可知

N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上，即可得到答案.

7.答案：证明：,,,any=b,?ny=a,；.auy,buy.

又直线。和直线方不平行,

:.a,b必相交.

设anb=P,如图，则Pea,Peb.

•:au0,bua,.,.PG/?,P6a.

又aCB=c,；.Pec,即直线c经过点P.

•••a,b,c三条直线必过同一点.

解析：本题考查平面的基本性质及应用.

由题意画出图形，先证明a、匕相交，设anb=P,再证明Pec即可证得结论.

8.答案：证明：（1）取AP的中点M,连接DM,BM,，七------------------

DA=DP,BA=BP,：.PA1DM,PA1BM,/\'、、、、/J

又DMnBM=M,P4_L平面。MB,J、\:三小

又BDu平面DMB,PA1BD；

解：（2）•••ABC。是平行四边形，:•SADBC=SAABD，P

%-BPC=Vp-DBC=^P-ABD=%-4PB，

由小。48和4PAD是边长为4的等边三角形，得BM=DM=V16-4=2痘,

又BD=4,DM2+BM2=DB2,得DM1BM,

由（1）知，P力，平面8OM,DMLPA,

而PAOBM=M,1­•DM1,平面PAB,

则UD-APB=另x4PBxDM=-x-x4x2>/3x2>/3=8.

解析：（1）取AP的中点M,连接。M,BM,可得PAJ.DM,PA1BM,由直线与平面垂直的判定得

到24，平面DMB,从而可得P41BD；

（2）由题意可得SAQBC=SAAB。，则/1-8PC=Vp-DBC~Vp-ABD~^D-APB,证明_L平面PAB,则二

棱锥。一BPC的体积可求.

本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法,

是中档题.

9.答案：⑴连接交AC与点0,由已知可知4sAe是等边三角形，。为AC的中点，;S。1AC,

由ABCD为正方形得AC1BD,

AC1平面SBD,

AC1SD;

(2)AC1BD,由(1)知S。1平面ABCD,

以。为坐标原点，话，死，赤所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

设底面边长为1，则高S0=在，

2

于是8除0,,0)，C(0，¥，0)，S(0,0,孚)，BC==(0,-y,y).

易知，旃=(净,0净是平面PAC的一个法向量，

设平面SBC的一个法向量九=(%,y,z),

则］联史=°,即「二二°。，

令z=l,则y=B,x=遮，BPn=(V3,V3,1),

设平面SBC与平面PAC所成二面角的平面角为8,

则8$。=嚅=手，

mi|DS|7

所以，平面SBC与平面PAC所成二面角的余弦值为名.

7

解析：本题主要考查了线面垂直的性质，以及二面角的度量，考查空间想象能力、运算求解能力、

推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题.

(1)连8D,设AC交8。于。，则S0JL4C,在正方形A8CD中，AC1BD,根据线面垂直的判定定

理可知AC_L平面SBD,SDu平面SBD,根据线面垂直的性质可知4c1SD.

(T)AC1BD,由(1)知S。_L平面ABC。，设底面边长为1,以。为坐标原点，而，元,正所在直线分

别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，易知，加=(苧,0,斗)是平面PAC的一个法向量，设

平面SBC的一个法向量n=(x,y,z),利用cos9=嚅解答即可.

10.答案：证明:⑴连结和B1C,

在正方体力BC。一481。1。1中,

AxD//BrC-：EFLAXD,

■■EF1B]C,

又•••EFLAC,ACClBiC=C,

■■■EF_L平面4/C,

又在正方体4BCC-4/165中，

BiC'LBCi,BCinDiG=Ci，

B]B_L平面BQD1，又BD1u平面

•••BrC1BDr,

同理可证，BrA1BDr,Bi4nBic=

•••BDi，平面ZBiC,

故EF“BD[.

(2)显然，EF小于HD1(或者和BE不平行),

由(l)EF〃BDi知，直线QF和BE必相交，

不妨设BEflDiF=G,

则Ge平面44山山，GC平面ABC。，

又•平面n平面4BC0=AD,

•••G&AD,故BE、£)/、D4三条直线交于一点.

解析：本题主要考查了线面垂直的判定定理，三线交于一点，属于基础题.

⑴先证明EF1平面4BiC,BD］，平面,故EF"BD心

(2)显然，EF小于85(或者。J和8E不平行)，

由(l)EF〃B£)i知，直线。/和8E必相交，

证明平面44/1。n平面4BCD=AD,

故G€40,故BE、DiF、D4三条直线交于一点.

11.答案：证明：•••PQHa,

•••PQ与a确定一个平面夕，

•••直线au£,点P60,

P&b,bua,PEa,

aca,

所以直线a与点P都是a与/?的公共点，

•••a与口重合，

・••PQua.

解析：本题考查平面的基本性质.

住IPQ//a得PQ与a确定一个平面0,然后证明a与0重合即可求解.

12.答案：解：(l)c与a的位置关系是：c〃a,

因为。〃3,所以a与6没有公共点，又cu0,所以。与a没有公共点，

所以c〃a;

(2)a与b的位置关系是a//b,

因为。〃0,所以a与/?没有公共点，又yna=a,丫C0=b,所以aua,bu/?,且a,buy,a,

人没有公共点，

因为a,b都在平面y内，

所以a//b.

解析：本题主要考查了空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，线面平行的判定，面面平行的

性质，考查空间想象能力.

(1)由已知得C与a没有公共点，从而得c〃a；

(2)由己知得a,buy,a,b没有公共点，从而得a〃b.

13.答案：证明：假设直线BC］与直线41c不是异面直线，

则直线BQ与直线41c共面，设直线BG与直线4C所在的平面为a

C、G、&6a,

«B、C、G三点确定的平面为平面BCG，即平面BCCiBi，

二平面BCG以为a,.,.416平面BCGBi，

这与事实相矛盾，故假设不成立,

•••直线BQ与直线4c是异面直线.

解析：本题考查异面直线的证明.

假设直线BG与直线41c不是异面直线，推导出46平面BCGBi，这与事实相矛盾，从而直线BQ与

直线是异面直线.

14.答案：解：(1)延长54,交尸E的延长线于点£＞；

(2)连接DC,交EQ于点G,延长。C,交尸H的延长线于点M；

(3)连接交HP于点N；

(4)连接CMGA.则五边形AGCNB即为所求.

解析：本题考查立体几何的作图能力，找线线的交点是关键，是基础题.

线的交点就是线所在面的交点，所以找到线线的交点，连起来即为面面的交线.

15.答案：解：(1)证明：如图，连4C、8。相交于点0,连。尺

VFO//BBX,2F0=BB],：.FO//BE,FO=BE.

二四边形BEFO为平行四边形，可得E/7/0B.

vOBu平面ABCD,EF平面ABCD,EF〃平面ABCD.

(2)由题知，BiGJ■平面4BB1%,Be是点G到平面的距离.

又AB】u平面4BB遇[,BQ1ABr.

设点E到平面ABiG的距离为h,

则％1-4B1E=^E-ABiCi，[S团4EB1xB[C]=[S0481clX/l,-X-X1X1X1=^X-XV5X1X/l,

解得/I=

解析：本题考查线面平行的判定，考查利用等体积法求点到面的距离，考查空间中直线和直线，直

线和平面的位置关系，三棱锥的体积公式，属于中档题.

(1)连AC、BO相交于点0,连OF,由题可知FO//BE,FO=BE,即四边形BEPO为平行四边形,

可得E/7/0B.结合OBu平面ABCD,EFC平面ABCD,即可得证EF〃平面ABCD.

(2)由题知BiGJL平面ABB14,即&G是点a到平面的距离.根据u平面可得

BQ1A%利用等体积法%「WE=由即可求出点E到平面4&G的距离.

16.答案：解:

如图，连接AC.

由题意得，在四棱柱ABCD-Ai/CiDi中，AXDJ/BC,=BC=273,

•••四边形为BCD1是平行四边形，[A\B"CD[,

・•.N4D1C为和4%所成的角.

•••异面直线和A%所成的角为90。，

•••4ADiC=90°.

•••在四棱柱48。。-418也1。1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，

•••△力CD1是等腰直角三角形，・•.AD1=当AC.

•••底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2百，乙ABC=120°,AC=2y/3Xsin60°x2=6,

ADy=^-AC=3企，

AAr=J（4/51）2—（41。1）2=y/6-

解析：本题主要考查空间中直线的长度的求解，异面直线，属于中档题.

连接CD1，AC,由题意得，四边形48CD1是平行四边形，则4B〃CD1，乙4D】C为和ZD1所成的

角.结合题意，知41DiC=90。，求出AC的长，进而可得AD】的长，即可求出的长.

17.答案：证明：eg1平面ABC,ACu平面ABC,乙4cB=90。，

•••CCj1AC,AC1BC,又BCCCg=C,

•••AC1平面BCG，BC】u平面BCCi，•••ACJ_

解析：略

18.答案：解：（1）连结。把、BE、BF、D/,

则平面DiEBF是过劣、E、尸的截面，如下图：

A

证明：（U）设MB]=a,NB[=b,PBX=c,

则MN?=a2+b2,Np2=b2+c2,MP2=c2+a2,