高中数学：第 5章 三角函数（单元测试）

第5章三角函数（单元测试）

选择题（共8小题）

1.已知点尸（tana,cosa）在第三象限，则角a的终边在第几象限（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】由题意，推导出（tan。确定a的象限，然后取得结果.

cosCI<0

【解答】解：丁尸（tana,cosa）在第三象限,

.卜ana<0

（cosCL<0

由tanaVO,得a在第二、四象限，

由cosaVO,得a在第二、三象限

・・・a在第二象限.

故选：B.

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题.

2.函数y=2sinH&xER的最小正周期为（）

6

JT71

A.12B.6C.—D._

126

【分析】由题意利用函数尸Asin（3x+（p）的周期为史，得出结论.

3

【解答】解：函数y=2sin'，xCR的最小正周期为等=12,

62L

6

故选：A.

【点评】本题主要考查函数y=Asin（3尤+隼）的周期性，利用了函数尸Asin（3x+cp）的周期为等，属

于基础题.

3.下列函数中，既是奇函数又在区间（-1,1）上是增函数的是（）

A.y——B.y—tawcC.y--sinrD.y—cosx

X

【分析】根据奇函数的定义可得〉=12展是奇函数，又丁=122在（-三，2L）为增函数可得在（-1,1）

22

内也为增函数.

【解答】解：对于A,y=工是奇函数，但在（-1,1）不是增函数，故A错误;

对于B,因为/（-无）=tan（-x）=-tanx--f（x）,

所以y=/（x）=tanx是（-1,1）上的奇函数，

=在（-1,1）上是递增函数，故8正确；

对于C,y=-situ是奇函数，但在（-1,1）上不是增函数，故C错误;

对于。，y=cosx是偶函数，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题.

4.《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一

个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？"（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为

45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）

A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米

【分析】根据扇形的面积公式计算即可.

【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为

S=1/r=」X45x21=270（平方米）.

222

故选：B.

【点评】本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题.

5.已知cosa上痣■，sin（a-P）=-HL,a,pe（0,-2_L）,则cos0的值（）

5102

A.叵B.瓜心C.叵D,1

2422

【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及余弦函数的两角差公式，即可求解.

【解答】解：pe（0,2L）,-BF（上0)，

22

・••a-B€(3，°>

cos(a-B)=Vl-sin2(CL-p)1-(

cosP=cos[a-(a-P)]=cosa・cos(a-0)+sina*sin(a-p)

故选：A.

【点评】本题考查了三角函数的同角公式，以及余弦函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基

础题.

6.己知函数/(x)=sin(2x-A)(xGR)下列结论错误的是()

A.函数/(x)的最小正周期为TT

B.函数/(x)是偶函数

C.函数/(x)的图象关于直线对称

D.函数/(x)在区间［0,专］上是增函数

【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性，判断各个选项是

否正确，从而得出结论.

【解答】解：函数/(x)=sin(2x-5)=-cos2x,故它的最小正周期为m故A满足条件；

显然，它是偶函数，故2正确；

当尤=匹时，求得函数值y=O,不是最值，故/(x)的图象不关于直线尤=匹对称，故C错误；

44

在区间［0,上，/(x)=-cos2x是增函数，故。正确，

故选：C.

【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题.

7.函数＞=2叭也2了的图象可能是()

A.B.

【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果.

【解答】解：根据函数的解析式y=2%in2x,得到：函数的图象为奇函数,

故排除A和2.

当尤=三时，函数的值也为0,

2

故排除C.

故选：D.

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用.

8.函数/（%）=Asin（3X+CP）（A>0,00>0,I0|<三）的部分图象如图所示，若

且/（XI）=f（X2）（X1#X2）,则/（X1+X2）=（）

1D.乌

2

【分析】由图象可得A=l,由周期公式可得3=2,代入点（工,0）可得（P值，进而可得/（x）=sin（2x+2L）,

33

再由题意可得X1+X2=1L,代入计算可得.

6

【解答】解：由图象可得4=1,"=工一（工），解得3=2,

2336，

（无）=sin（2x+<p）,

代入点（三，0）可得sin（22L+（p）=0

33

:•上兀-+（p=内i,q）=^rr-左CZ

33

又i（pi〈_ZL,.*.（p=—,

23

.*./（x）=sin（2x+----）,

3

Asin（2X2L+2L）=1,即图中点的坐标为（工，1）,

12312

又X],x2,且/'（XI）=/（X2）（XI力X2）,

尤1+X2=X2=£_,

126

（xi+x2）=sin（2X__+_ZL）=」!_,

632

故选：D.

【点评】本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题.

多选题（共4小题）

(多选)9.下列选项中正确的是()

7

A.sin(a-3n)=sinaB.cos(a—JT)=-sin^

C.tan(-a-IT)=-tanaD.sin/冗一口)=cosQ

【分析】由题意利用诱导公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论.

【解答】解：Ysin(a-3n)=sin(a-n)=-sin(n-a)=-sina,故A不正确;

,cos(a兀)=cos(a兀)=-sina，故B正确；

tan(-a-n)=tan(-a)=-tana,故C正确；

,sin(微■兀-a)=sin*兀-a)=cosa，故°正确、

故选：BCD.

【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

（多选）10.下列各式的值计算正确的是（）

A.sin30°cosO°=0°

B.2兀2?兀1

n--sin-T-+cos-7-=-1

66

C.M（tan55°-tan25°）-tan55°-tan25°=1

D.Jl-cos60。=1

V22

【分析】利用特殊角的三角函数值即可判断A;利用诱导公式，二倍角公式利用判断&利用两角差的正切

公式即可判断C；利用半角公式即可判断D

【解答】解：因为sin30°cosO0=sin30°=1,所以A错误;

2

-sin2--+cos2-^—=cos2——-sin2—=cos—=A,所以B错误；

666632

因为tan30°=tan55。-tan250=近,所以«(tan55°-tan25°)=l+tan55°«tan25°，

l+tan55°tan2503

所以(tan55°-tan25°)-tan55°tan25°=1,所以C正确；

因为叵运田二=$m30。=1,所以。正确.

V22

故选：CD.

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，诱导公式，二倍角公式，两角差的正切公式，半角公式在

三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

(多选)11.已知函数/(尤)的定义域是[0,+8),若/(无)满足力'(X+1T)+f(X)=0,且当无e[0,TT]

时，f(x)=sinx,则()

A・得送

C./(x)有一单调增区间是(旦工，卫)

22

D.f(x)Wl

【分析】由函数的性质可得〃爸)—一‘八号)勺弓)，即可判断4B；由函数的

性质可得函数在(里匚卫)上的解析式即可判断C;由函数的性质可得当尤曰5，(n+1)川，”CN时,

22

f(x)=」-sin_x,即可判断£).

2n

【解答】解：由2f(x+n)+于(x)=0,可得/(x+ir)=--f(x),

(兀)

所以/(")=-f2-lsin2L=-X,故A错误；

22222

y(^2L)=------2=i_f(JL)=ASin2L=l,故3正确；

2242424

当尤e(3兀,2TT]时，f(无)=-f(X-兀)=-Asin(x-IT)=Asinr,

2222

当xe[2it,5兀)时，/(无)——f[X-兀)/(x-2TT)=Asin(尤-2TT)=Asinr,

22444

所以函数/(x)有一单调增区间是(号，号),故C正确；

当工€[0,n]时，f(x)=sinx,

当xe[Tt,2TT]时，f(无)=-f(>-"，’=-Asin(x-n)=Asinx,

222

当xe[2n,3TT]时，f(x)=-X_L^Z2L2_=_1/?(%-2it)=Asin(x-2n)=Asiiu',

当xe[wn,(w+1)n],weN时，f(x)=—^sinx,

2n

所以y(x)wi,故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了函数性质及三角函数的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题的关键,

属于中档题.

(多选)12.若函数/(%)=cos(3尤-<p)(3>o,|0|<A)的两相邻对称轴之间的距离为年，且

时，/(x)有最大值，则下列结论成立的是()

B.函数/(x)的一个单调递减区间为A]

C.函数/(无)的图象关于点(工，0)对称

3

D.函数/(x)的图象关于直线乂=上/对称

【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质，得出结论.

【解答】解：,・•函数/(x)=cos(a)x-(p)(3>0,|①|<三)的两相邻对称轴之间的距离为三=三,

T।232

/.0)=2,

•二X二一春时，f3有最大值，A2X(一』-)-(p=o,求得(p=__2L,

63

故函数/(x)=cos(2%+-^-).

故/(_2L)=cos-2L=o,故A正确；

122

在区间[-2L,2L]±,2X+2LG[-―,里L],函数/(x)没有单调性，故5错误;

4236

令％=三，求得/(%)=COS7T=-1,为最小值，故函数/G)的图象关于直线X=2L对称，故。错误；

33

令x=-22，求得/(x)=COS(-11)=-1,故函数/(X)的图象关于直线x=对称，故。正确,

33

故选：AD.

【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

13.已知函数f(x)=asin2x+&cos2x，若f(x)4|f(三)|对一切xeR恒成立，则实数。的值为

V6—.

【分析】由题意可得当x=F时，/(X)取得最值，故有Y1/+好=±J至3，由此求得。的值.

622

【解答】解：函数f(x)=asin2x+，^c0s2x,若f(x)<|f(?二)|对一切xeR恒成立，

6

则当X=2L时，/(X)取得最值，.•.❷+亚=±爪2+2,

622

则实数4=加，

故答案为：VG-

【点评】本题主要考查正弦函数的最值，属于中档题.

14.已知曲线丫=$111(a)x+2—)关于直线尤=1对称，则|3|的最小值为——3__.

6—3―

【分析】利用y=siiu的对称轴方程可得已知曲线的对称轴方程，利用整体代换思想可求出<0的关系式，进

而求出结果.

【解答】解：因为曲线〉=5皿((0X+2L)关于直线X=1对称，

6

所以3+兀,="+fcrr(kGZ),

62

所以3=2L+k兀(kez),

3

故答案为：2L.

3

【点评】本题考查了三角函数的对称性，考查数学运算与逻辑推理的核心素养，属于基础题.

15.若;+：an：=2020,则一^-+tan2Cl=2020.

1-tanO-cos2a

【分析】把_1_+tan2a化弦为切，展开二倍角正切，整理后结合已知得答案.

cos2a

【解答】解：•.•瞥吟=2020，

1-tanCL

・1-=sin%+cos2a.2tanJ

・'cos2a+t&n2a-.2.―2^~

ms乙cos0--sinna1-tana

=tan2a+1+2tana=(1+tana)「1+tana=2020

1-tan2a1-tan2a1-tan2al_tanCl

故答案为：2020.

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.

16.关于函数/（%）=cos（2x-+cos（2尤+2L）,有下列命题:

①y=/（无）的最大值为加；

②y=/（无）是以n为最小正周期的周期函数;

③y=f（无）在区间（工，型上）上单调递减；

2424

④将函数y=J5cos2x的图象向左平移个单位后，将与己知函数的图象重合.

24

其中正确命题的序号是①②③.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

【分析】利用两角和差的正余弦公式可把/（X）化为asin（2x*i^），进而利用正弦函数的性质即可判

断出答案.

【解答】解：函数/(x)=cos(2x-+cos(2x+^~)=-^-cos2x+y?sin2x+^^~cos2x—z-sin2x

obZZNN

(Vlt^cos2x+V672s,n2x)^^sin⑵莹)•

苧MX号sin2x-V2

...函数/（x）的最大值为近,因此①正确;

周期T=22L=兀，因此②正确；

2

当W（工，3_）时，（2X+^L）6（―.—因此y=/（x）在区间（生，型L）上单调递

xtk2424'3万二—22，2424

减，因此③正确；

将函数y=J5cos2x的图象向左平移■个单位后，得至Uy=6cos2（x奇）

=6cos（2x+^）=&sin=-V2sin（2x—#亚sin（2x+^j^>因此④不

正确.

综上可知：①②③.

故答案为①②③.

【点评】熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键.

四.解答题（共6小题）

tan（兀-a）cos（2兀-a）sin（-Q-+一0）

17.（1）化简：---------------------------------------±—；

cos（-a-兀）sin（-兀-a）

（2）已矢口sin（a+_ZL）求cos（5兀+a）的值.

356

【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解.

(2)由已知利用诱导公式化简即可求解.

tan(兀-a)CQS(2兀-a)sin(-a4^—)、门x

【解答】解：(1)2=(-tana)-a•(—osna)=

cos(-a-兀)sin(一兀-a)(-cosa)-sina

■1;

(2)*.*sin(a+-2L)=_L,

35

/.cos(1吗+01)=cos(-2L+_2L+a)=-sin(_ZL+a)=-A.

62335

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算

能力和转化思想，属于基础题.

18.已知cos(-ZL+x)=旦，求sinZx-乙sin*的值.

451-tanx

【分析】由已知可得cosx-sin%的值，平方可得sin^cosx的值，化简原式，整体代入化简可得.

【解答】解：cos(2-+%),亚(cosx-sinx)=3,

4525

cosx-sinx=±Jl-,平方可得1-2siiu:cos%=」亘，

525

.・.s•inxcosx=—7,

50

...sin2x-2sin2x=2sinx(cosx-sinx)=2sinxcosk二.

1-tanx|_sinx25

cosx

【点评】本题考查三角函数求值，涉及两角和与差的三角函数公式，属基本知识的考查.

19.设函数f(x)=cos+sin2x-

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

(2)若o<a<令-<B<兀，£弓-一=1>f(旦/-)=0，求cosa的值.

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数/(x)的单调递

减区间.

(2)利用同角三角函数的基本关系，求得sin0和cos(a+p)的值，再利用两角差的余弦公式求得cosa=

cos［(a+p)-0］的值.

2=：cos2xcos-

【解答】解：(1)f(x)=cos(2x-^-)4-sinx-^-sin2xsin^+-

^-5-sin2x.

2

当^^-+2k兀42x《£~+2k兀，即［一^~+卜兀，f-+k兀］,蛇Z时，sin2x递增，f(x)递减.

所以，函数/(x)的单调递减区间为［―+卜兀，千+k兀］(k€z)・

)=Pf(a)=0'^cosP=~~v_,sin(a+8)二零'

⑵由

Noo

•・•()<aB<加则a+Pe(£'，'sinP=V1-cos2P=-

cos(a+§)=-^l-sin2(Q+p)==一零.

o

逅.(-返)^V6.V3272

故cosa=cos[(a+p)-p]=cos(a+0)cos0+sin(a+0)sin0=-=

33333

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式

的应用，属于基础题.

“二斤l蛤c,\4COS4X-2COS2X-1

20.已知函数f(x)=---------------------------------

sin+x)sin(r~^~~x)

(i)求f(制L)的值；

(II)当x€［0,T­)时，求g(x)(x)+sin2x的最大值和最小值•

【分析】(1)利用二倍角的三角函数公式和诱导公式，对/(无)的分子分母进行化简整理，约分可得/(x)

=2cos2x,由此即可算出f(二||L)的值;

(2)由(1)的结论，得g(x)=cos2x+sin2x=\历sin(2乂正?>再根据x的取值范围，结合正弦函数

的图象与性质，即可得到g(x)的最大值为加,最小值为L

2+

【解答】解：(I)VCOS2X=1+COS2X,COS2X=1COS4X一x)=cos(----+x)

2244

(l+cos2x)2-2COS2X-1COS22X

・/兀\•/兀、/TT、.7T、

sin(-^-+x)sinsincos

22

2COS2X2COS2X「o八、

------------------=-------------=2cos2x-(4分)

.’兀、cos2x

sin{.-^-+2xJ

11H

因此,)=2cos(」？(6分)

'1266

(II)'：f(x)=2cos2羽

,,g(x)=cos2x+sin2x=V2sin(2x-“)…(8分)

•.x€[0,子)，可得2x46吁，等)…(10分)

・••当X=^-时，g(X)=V2,当X=0时.gmin(X)=1

2IR3X

即g(x)(x)+sin2x的最大值为近，最小值为1・…(12分)

【点评】本题给出三角函数表达式，要求我们将其化简成最简形式并求函数g(x)的最大、最小值.着重

考查了三角函数的诱导公式、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题.

21.已知函数/(x)=Asin(3x+(p)(A>0,a)>0,|(p|<-ZL)在一个周期内的图象如图所示.

2

(1)求函数的解析式.

(2)求函数的单调递增区间.

【分析】(1)由函数/(x)的图象求得A、T和3、隼的值，即可写出函数的解析式;

(2)由三角函数的图象与性质，即可求/(x)的单调递增区间；

(3)根据三角函数的图象与性质，求出xHO,三］时/(x)的取值范围即可.

2

【解答】解：(1)由函数/(无)=Asin(3x+(p)的图象知，

a(限瑞)

所以=解得3=2；

3

由函数图象过点(且L,o),

12

得2sin（?I_+（p）=0,

6

则5兀-+（P=E,蛇z,

6

因为⑷1<三，所以（p=?L

26

所以函数的解析式为了(x)=2sin(2x+—)；

6

(2)由函数/(x)的解析式，令-_ZL+2hrW2x+」Lw£_+2ht,依Z；

262

解得-工+EW尤kez；

36

所以/(无)的单调递增区间为[-工+如，2L+ku],比z；

36

(3)当xRO,工]时，2xe[O,u],

2

贝！J(2x+—)e[—,Z-L],

666

所以sin(2x+H-)e[-A,1],

62

则/(x)=2sin(2X+2L)的取值范围是[-1,2].

6

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

22.若/(x)=sin(23X-JL)的图象关于直