高中数学竞赛题：函数迭代含详解

高中数学竞赛专题训练：函数迭代

一、单选题

%

1.设工&)=7叶对任意自然数〃，定义力+G)=力(力⑴).则九93(刈的解析式为()

1993%xx1993%

A，Vl+x271993+x2CJ1+1993尤②J1+19933

2.函数是定义在R上的奇函数，且"2)=0,对任意xeR,都有

/(%+4)=/()+〃2)成立.则/(1998)=.()

A.3996B.1998C.1997D.0

3.已知函数了(x)在(0,+co)上有定义且为增函数,并满足了(力/V(x)+A=1.则/(I)=()

X

1+6I-下

A.1B.0C.2D.2

1IY

4.已知—，记＜(x)=〃x)，%(司=/(力⑺)化=1,2,…)，则源(x)=()

I-X

1+XX—11

A.——B.------C.%D.——

1-xx+1X

5.已知对每一对实数X、＞,函数/满足/(x)+/(y)=〃x+y)-芍一1.若/(1)=1,

则满足/(〃)=〃(〃€2)的个数是().

A.1个B.2个C.3个D.无数多个

6.函数/'(%)是定义在R上的奇函数，且对任意xeR都有

/(x+10)=/(x)+/(-x).若"5)=0,则“2005)的值为().

A.2000B.2005C.2008D.0

7.设函数“X)的定义域是3+8)

对于下列四个命题：

⑴若“X)为奇函数，则/(/(尤))也为奇函数；

(2)若/(X)为周期函数，则/(/(司)也为周期函数；

(3)若/(x)为单调递减函数，则/(/(尤))为单调递增函数；

(4)若方程〃〃对)=x有实根，则方程/(x)=x也有实根，

其中，正确的命题共有个()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

8.设工(无)=—，对"22,定义力(尤)=工(九(尤)).若力“x)=一，则力009a)=

9.设〃x)=e2=l,g(x)=/〃(Hl).则不等式/'(g(尤))-g(/(x)),,l的解集为.

10.已知/(x)=|l-2x|,xe[0,l],那么方程/U(7(x)))=；x的解的个数是

fx-3,x>1000;

11.已知函数〃x)满足〃X)=]/6X+5)),X<1。。。则"84)=-----------

12.设函数/'(%)定义在R上，对任意xeR,〃x+1006)=；+J〃x)一尸⑺,且

4-1OO5)=、.则/(2013)=.

n-14,n>2000,

13.设定义在整数集上的函数九满足〃n)=j/[〃“+]叫"”(MX)则“1989)=

14.设函数了⑺定义在正整数集上，对于任一正整数“，有/'(7•⑺)=4〃+3,且对任

意非负整数3有则“2303)=.

15.设f(x)为定义在整数集上的函数，满足条件

(1)/(1)=1,/(2)=0;

(2)对任意的x、y均有"x+y)=/(x)/(l_y)+/(l—x)/(y)则“2015)=..

三、解答题

16.已知二次函数〃同=加+法+c(aw0).若方程""=%无实根，求证：方程

M〃x))=x也无实根.

17.已知〃x)是定义在实数集R上的函数，"0)=2,对任意xeR,有

/(5+2力=〃-5-4”，⑪(3x-2)=〃5-6”②求〃2012)的值.

18.对任意正整数加，力，定义函数/(眼〃)满足如下三个条件：

□/(1,1)=1；□f(m+1,n)=f(jn,n)+2(m+n).

0f(m,n+1)=f(m,ri)+2(jn+n-1).

(1)求/(3,D和/(1,3)的值；(2)求/(加汨)的解析式.

试卷第2页，共2页

参考答案:

1.c

【详解】自时，小卜一.

假设T时’

贝!J〃=左+1时，

x

力(X)_71+fcc2X

fk+1(x)-

7I+A2W

X

所以fl993(X)=布肃.故答案为c

2.D

【详解】令x=—2,则有/(2)=/(-2)+〃4),即/(2)+〃2)=/(4).

二〃4)=2〃2)=0n/(x+4)=/(x),即/(x)是以4为周期的函数.

.-./(1998)=〃499义4+2)=/⑵=0.

3.D

【详解】设/(1)=。，x=l.由已知函数等式得/。)/(/(1)+1)=1,

o/?(cz+l)=l,y(a+1)=—.

设x=a+l,W+++j-^=l,

aa+lj[aa+1)八，

由了(元)是增函数，则有工+――=1,解得°=上好.

C^LI12

当/(i)=k^时，<K«=/(i)</(fl+i)=1<i

矛盾，所以/(1)=上手.选D.

4.B

【详解】＜("=*，&(尤)=善=一54(苫)=称=*，力(同=罟=苫

据此，力“+l(x)=产，篇+2(龙)=一2，必+3(X)=U，力"(*)=X

1—XXX+1

因2007为4n+3型，故选B.

答案第1页，共7页

5.B

【详解】令y=l得/(x)+/(l)=〃x+l)-x-l,BP/(x+l)=/(x)+x+2.

令x=0得/⑴="0)+2.由/(1)=1知〃0)=-1.

当说时时，的一/仅一3+〃0)=€优+1)+〃。)=^^^一1.

k=lk=l2

同理，〃甸」(一；+3)_].所以，〃切=丑?)_1,nEZ.

令/(〃)=〃，解得〃=-2或"=1.

6.D

【详解】由题意得/'((5-x)+10)=〃5-x)+/(x),

所以，/(x+10)=f(15-^)=-/(x-15)

从而，/(x)T(x—25)=/(x-5。)

故/(元)是以50为周期的周期函数.

因止匕，/(2005)=/(50x40+5)=/(5)=0.

7.C

【详解】若/⑺)为奇函数，则f(〃T))=/(-〃x))=-f(〃x)).

故/(〃x))也为奇函数.因此，命题⑴正确.

若“X)为周期函数，设T为“X)的一个周期，则/(/(x+T))=/(/(尤)).

故/(7(村)也为周期函数，因止匕，命题(2)正确.

若f(x)为单调递减函数，则对任何x<y,由：

故/(/(x))为单调递增函数，因此，命题(3)正确.

但命题(4)不正确例如，取：

国=2,xw0或1；国+4,xw0或1；

/(x)=<l,x=0;则〃"％))=<0,x=0;

0,x=1.1,x=1.

答案第2页，共7页

故方程/■(〃尤))=”有0、1两个实根，但XWO或1时，/(x)=k|+2>x,

而/(O)=1,”1)=0，知方程/(x)=x没有实根.

【详解】因为力。3=/(芝£j=x,所以，心⑺"⑺.

而2009=30x66+29,于是,f(%)=f(%)=.

2009292-x

故答案为1产-Lv

2-x

9.(-U]

【详解】注意到

/(g(x))-g(/(x))=2尤.

故7(g(尤))-g(/(x))=f.

又定义域为(-1,—),从而，不等式的解集为

10.8

1-2x,xG0,—

2

【详解】•・•〃力=|1一2尤|=:［二

2x-l,xe—,1

1_2_

即/(X)有关于X的两个一次表达式.

同理,f(/(")有关于f(x)的两个一次表达式,而每个f(尤)有关于X的两个表达式，以所

/(/■(X))有关于X的四个一次表达式.

同理,/(/(/(尤)))有关于X的八个不同的一次表达式，因此，所求方程解的个数是8.

11.997

【详解】记泮(x)J/(：/(x))),则

/(84)=/(/(89))=...=/(184)(999)

=/(185)(1004)=严(1001)=/(183)(998)

答案第3页，共7页

=/(184)(1003)=严(1000)=/㈣(997)

=/(183)(1002)=卡)(999)=/(侬)(1004)

=/(182)(1001)=/网”8)=/(182)(1003)

=/(181)(1000)=---=/(1000)=997.

因此，/(84)=997.

12.，+3

24

【详解】由题意知

〃1)=：+/(-1。。5)-/(-1。。5)=1+争

“1007)=；+〃⑴-产⑴=；，

/(2013)=/(1007+1006)=1+^Z=l+^.

13./(1989)=1990

【详解】

7(1989)=/[/(2008)]=/(1994)=/[/(2013)]=/(1999)=/[/(2018)]=/(2004)=1990

14.4607

【详解】注意至112303=3+4x3+42*3+43*3+4"><23.

而〃4"+3)=/(/(/(叫)=4/(“)+3,贝l]〃2303)=3+4f(3+4x3+42x3+43x23)=...

=3+4x3+42x3+43x3+44/(23)=3+4x3+42x3+43x3+4,(24+1)=2303+4,(24+1-23)=4607

15.±1

【详解】在条件⑵中令x=o,则/(y)=/(o)/(i-y)+/(i)/(y),

由/(i)=i,知〃。)/。—y)=o.

在上式中令y=o,则〃o)〃i)=on/(o)=o.

在条件⑵分别令x=l,-l,2得+=—y)+〃o)/(y)=/(1-y),

/(yT)=/(-i)/(i—y)+〃2)/(y)=/(T"i-y)=/(-i)/(y+i)，

答案第4页，共7页

〃y+2)=/⑵/(I-y)+/(-l)/(y)=/(-l)/(y),

由/(yT)=/(T)/(y+i)

/(y)=/(-i)/(y+2)=>f(y)=/2(-i)f(y)n"-1)=±L

若y(-l)=l,则f(y+2)=/(y),

Lx为奇数

由条件(1)知〃x)=

O,X为偶数

经检验,f满足条件故7(2015)=1.

'0,x为偶数

若〃T)=T,则“y+2)=-/(y)/(尤)=<1，X=l(g/4),

-1,尤三-l(〃zo"4)

经检验,f满足条件故7(2015)=-1.

综上J(2015)=±l.

16.见解析

【详解】将函数式/3=依2+法+4叱0)代入方程/(力=%，移项后，得

加+(b-l)x+c=0(。/0).

已知这个方程无实根，所以它的判别式为负，即△j=(6-l)2-4ac<0.

进而，由/(〃x))=a(〃x))2+妙(x)+c,将〃x)的表达式代入方程/(〃%))=%,得

a(^ax2+bx+c^2+b(^ax2+bx+c^+c=x(ow0).

变形，得a[(*+6x+c)+依2+6[(尔+bx+c)-x]+6x+c-x=o,

提公因式，得[加+{b—\)x+cj{ax1+fcr+c+x)+6+l]=。，

即[/(x)—尤][。。彳，+a(Z?+l)尤+(ac+6+l)]=0.

由条件知方程/("-X=。无实根，

所以，上面这个四次方程//+4。+1卜+(℃+6+1)=0与有相同的实根.

所得辅助二次方程的判别式是

答案第5页，共7页

A2=〃伍+-4a2(QC+b+1)=/[仅+1)2一4。-4〃c_4]

=〃2[伍_1)2-4〃C_4]=4(A]_4)<〃2(-4)<0,

所以，这个辅助二次方程无实根，进而推出原四次方程/(/(x))=x无实根.

17.2

1[

[详解]在式□中取了=；k;(yeR),得/(2+y)=〃l_2y).

17

在式口中取x=<y+§(yeR),得/•(y)=/(l-2y),

于是,/(2+y)=/(y),即/(x)是一个周期为2的函数,

故“2012)="2x1006+0)="0)=2.

18.(1)/(3,1)=11,/(1,3)=7(2)/(m,n)=m?++ri?-m-3n+1

【分