高中数学平面向量培优难点突破（共6个微专题）知识点+例题+练习

微专题1.等和线及应用

如图所示，由于AR3三点共线，故办=%•—+〃・加当且仅当2+〃=1.进一步，若

———m->Ti->—>—>

OQ-m•OA+nOB=(jn+n)(--------OAH----------OB)=(m+n)-OP=k•OP,

~m+nm+n

由于点尸在直线A5上的任意性可知，点。所动成的直线平行于直线A3,且直线。。上任意一

点都满足^^=左，故称直线CD为等和线.此时A0LB相似于AOCD,因此，我们就可以取特

\OP\

殊情形，即过三点OPQ的直线分别垂直于A3,C。时，计算匕

例1.(2017年3卷)在矩形A3CD中，AB=1,AD=2,点尸在以。为圆心且与相切的圆上,

若求4+〃的最大值.

IAp\

解析：如图，由等和线性质可知，4+〃=^^,显然，当5。的平行线/与圆在最上方相切时，彳+〃

\AE\

取最大，显然此时，直线3。的方程为％+2y—2=0,故可取|AE|为点A(0,0)到直线的距离

24

|AE|=7W.由于的平行线/与圆(x—2)2+(y—1)2=g相切，故可得/的方程为

x+2y-6=0,那么取|AP|为点A(0,0)到直线1的距离|AE|=^.这样就可得到

IAP|

(X+〃)max

\AE\

练习题

给定两个长度为3的平面向量函和砺，它们的夹角为120°,如图所示，点C在以。为圆

心的圆弧AB上运动，若反丽，其中羽yeH,则尤+y的最大值是

2x+y的最大值是.

【解析】(1)AB交C。于D,设e(0,+co),易证x+y=/

OC,工

,当。©_LAB时,/取最大值，?=2；

OMmax

(2)取OA中点E,贝。反=2x砺

OC交BE于F,设花=加而，me(0,"o),易证2x+y=f

f=空，当OCL3E时，/取最大值，姮.

OF3

微专题2.极化恒等式

->->TT->->->->TT

由于(。+沙)2++(a—b)2=/+〃—2a。两式相减可得:

4a-b=（«+b）2-（a-b）2

特别，在AA5C中，设】=寿工=/，点M为BC中点，再由三角形中线向量公式可

9o

—>ff4]—>匕

得：AB-AC=AM——BC.

4

例2.（2017年2卷）已知AMC是长为2的等边三角形，尸为平面ABC内一点，则

市.（而+定）的最小值是（）

_34

A.—2B.--C.---D.—1

23

—>—>—>

解析：设点M为BC中点,可得PB+PC=2PM,再设AM中点为N,这样用极化恒

等式可知：PAPM=2PN——AM,在等边三角形AA5C中，AM=△,故PAPM

2

—>—>—>23—>—>—>3

取最小值当且仅当PAPM=2PN-万取最小，即|PN|=0,iK（PAPM）min=--.

练习2.（2021成都三诊）已知等边AABC的三个顶点均在圆好+/=4上，点P（G,"），

则西・丽+西・定的最小值为（）

A.14B.10C.8D.2

例2半径为2的圆。上有三点A,B,C,满足34+通+/=6，点P是圆内一点，

则丽•所+而+定的取值范围是（）

A.[T14）B.（^4,14]c.[T,4）0（T,4]

【解析】由次+通+衣=d得荏+*=正

在平行四边形A3OC中，OB=OC,

故易知四边形A3OC是菱形，且5C=百

设四边形A3OC对角线的交点为E

—►►—»21*2—a

由极化恒等式得=——AO=PE-1

4

----*-----►------11--»2------»2

PBPC=PE——BC=PE-3

4

^^PAPO+PB+PC=2PE2-4

因为P是圆内一点，所以0［巨耳<3

所以一4W2而2—4<14，W^4-<PAPO+PB+PC<14>选A

练习1.（2016年陕西预赛）

设流5*是同一平面内的三个单位向量，且］，贝IJG-GAG-5）的最大值是（）

A.1+72B.l-s/2C.V2-1D.1

练习2.（2018浙江预赛）

设展|=10.若平面上点"满足，对于任意“火，有府一两之3,则西.而的最小值

为,此时而+丽=.

微专题3.矩形大法

本节主要讲述矩形的一个重要性质即：设点尸为矩形ABC。所在平面内任意一点，则

有+可用向量证，证明略.

例3.(2021绵阳二诊)直角坐标系xoy中，|OP|=2后，点5c为圆V+/=吃上的

动点，且以为直径的圆过点P,则AOBC面积的最小值为

解析：如图，构造矩形3PCQ,则0产+002=052+0。2,即OQ2=I6,则。在以。

为圆心，半径为4的圆上.同时，由矩形对角线相等可得：BC=PQ,设PQ=2d,则PQ

的取值范围为[4—2"4+2行],故de[2—"2+后].由5C=PQ=2d,再根据垂径

定理可得

2

SAOAB=/(d)=~\BC\412一屋=dyJn-d,de[2-V2,2+V2],

最后，讨论函数/(d)的性质可知，(SA°AB)mm=2.

2222

练习4.已知圆C,:x+y=9,C2:x+y=4,定点P(1,O),动点A,B分别在圆C,,C2±

运动且满足ZAPB=90°,则线段AB的取值范围为.

[273-1,273+1]

微专题4.三角形四心

新教材惊现“四心”，距离它现身高考还有多久?

重要结论

1.重心：三角形三条中线的交点，重心为。=晶+而+女=6

证明：G是AA5C所在平面内一点，而+而+了=0o点G是△板'的重心.

证明：作图如右，图中GB+GC=GE

连结曲和幽则四=。，应、=宓今夕回为平行四边形n。是死的中点，"为初边上的

中线.

^GB+GC=GE^XGA+GB+GC=O,得就+法=0nGA=-GE=-2GD,故G是△回的

重心.（反之亦然（证略））

重心性质1.尸是△极?所在平面内任一点.G是△/回的重心oPG=^(PA+PB+PC).

---►--►---►---►---►---►---»---►---*--->---*---►---►---►

证明：PG=PA+AG=PB+BG=PC+CGn3PG=(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)

•.•6是4/a1的重心.\GA+GB+GC=O^AG+BG+CG=0,

BP3PG=PA+~PB+PC,由此可得记=g(9+而+正).(反之亦然(证略))

重心性质2.如图，已知点G是AABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于

___———一11

N两点，且=AN=yAC,则一+—=3.

xy

证明：点G是AABC的重心，知GA+G3+GC=0,

M-AG+（AB-AG）+（AC-AG）=O,有/=：（而+%）.又N,G三点共线（A

不在直线MN上），于是存在％〃，使得和=/1两+〃丽（且％+〃=1）,

有而=/lx通+〃＞蔗=^（荏+/），

彳+〃=1

得1，于是得一+—=3

Xx=/uy=—xy

2——>2——>2

2.外心：三角形三条中垂线的交点.外心O=OA=OB=OCoQA=OB=oc

=OA+OB-AB=\OB+OC-BC=\OC+OA-CA=0

外心性质：如图，。为AA5C的外心，证明：

->—>1—>->—>1->->->

1.AOAB=-\AB\23；AOAC=-\AC\2,同理可得B08C等.

22

2.AO-AF=-(\AB\2+\AC\1),同理可得BOB厂等.

4

ff]f—>ff

3.AOBC=-(\AC\2-|AB|2),同理可得5。AC等.

证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.

附：如图，直角三角形ABC中，ABAC=\AB\1.

3.内心.

三角形三条角平分线的交点.内心为0o\BC\-OA+\CA\-OB+\AB\OC

内心性质.。是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAc

+

一

OP=OA+A(一AC）,0,内）则P点的轨迹一定通过—3。的（）

IA

A.外心B.内心C.重心D.垂心

AB—►—►—»干

解：因为若r是向量A3的单位向量设A3与AC方向上的单位向量分别为G和%又

网

OP-~OA^AP,则原式可化为赤=”G+02),由菱形的基本性质知AP平分/BAC,

那么在AABC中，AP平分NBAC,则知选B.

—>—>—>—>—>—>

4.垂心：三角形三条高线的交点.垂心为0oOAOB=OBOC=OCOA

垂心性质.点H是△板所在平面内任一点，HAHB=HBHC=HCHA。点〃是△放

的垂心.由面•丽=瓦•玩o瓦•(阮一丽=0o砺•衣=00瓦，/，

同理玩'_L而，班_1前1.故〃是△胸的垂心.(反之亦然(证略))

二.典例分析

1.若。在△■所在的平面内，a,b,c是△板的三边，满足以下条件

a-OA+bOB+cOC=6,贝!J0是△胸的()

A.垂心B.重心C.内心D.外心

解析：-：OB=OA+AB,OC=OA+AC5.a-OA+bOB+c-OC^Q,

.'.(^a+b+cyOA+b-AB+c-AC=0,

(______、_____k.

化简—.得be扁AB+A词C，设f所A同3师A又C同与AB同分AC别为血和正方

向上的单位向量，

r.AP平分Z&4C,又彩，而共线，故AO平分NBAC,同理可得30平分ZA3C,8平分

ZACB,故。是△侬?的内心.故选：C.

'福।及町且篇曲考，则加

2.在AABC中，向量丽与衣满足

为()

A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

解析：•；BC=0,.•.ZBAC的角平分线垂直于3C,根据等腰三角形三线合

一定理得到AABC为等腰三角形，又•.•篙•/=5，.•.ZABC=45。，贝曙至C为等腰

直角三角形，

故选：D.

3.已知。是AABC内部（不含边界）一点，若SAABD：SABCD：SAGW=5：4：3,AD=xAB+yAC,

贝”+y=（）

237

A.-B.—C.—D.1

3412

解析：如图，连接力。并延长交8c与点四

设点8到直线/〃的距离为dB,点C到直线2〃的距离为〃，因为5.皿：S.BCD:S：=5:4:3,

所以设义ABD=5k,S&BCD=4k,S△CAO=3k,

因为初与向量相共线，T§：AM=AAi5=AxAB+AyAC,BM=/ABC,.-,AM=AB+BM

^x=\—Ll

=通+〃既=〃衣-函=”〃须+〃福所以,,即

丸y二〃

1-A41.AMAD+DM_(AD+DM)x(dB+dc)

%+y=——+—=——•/t=---=--------—

A2A.ADADADx(dB+dc)

-AD+—ADde+5DM(d§+4)

xxx5k+3k+4k312”,、小

所以rx+y))故选：A

5k+3k2Zj

—ADxd，B+—AZ)xd.Q

、

AB

4.已知点P是AABC所在平面内的动点，且满足。尸=。4+2昌+厂mU>0),射线AP

27r

与边2C交于点。，若ZBAC=j-,|而|=1,贝!||前|的最小值为（)

A.MB.2C.2A/3D.473

ABAC

解析：同表示与荏共线的单位向量，困表示与正共线的单位向量，

所以点尸在4AC的平分线上，即为44C的角平分线，

万—B

在△钿£)中，ZBAD=-,|正|=1,利用正弦定理知：AD.712

3BDDri=------xsin—=一

sinB3sinB

同理，在30。中，

^3^/3yfi

CZ)=/^xsi/=，-，BC=BD+CZ)=，-+，-=何—1

sinC3sinCsinBsinC2(sinBsinC)

TTTT

其中2+。=工，分析可知当2=C=z时，2C取得最小值，即

3o

BC=—x2x^—=2^3

m,n2.71

一sin—

6

5.在AABC中，设正2_顺、2说.就，那么动点加的轨迹必通过AABC的

()

A.垂心B.内心C.外心D.重心

【答案】C

6.已知点O是锐角AABC的外心，AB=8,AC=12,A=。，若Id=x而+y〃,则6x+9y=

如图所示，过点。分别作AB,OEYAC,垂足分别为。，E；则。，E分别为A3,

AC的中点，/.AO-AB=|AB2=1X82=32,

AO-AC=-AC2=-X122=72；又4=工，AB-AC=8xl2xcos--48,

2233

"：AO=xAB+yAC,：.AOAB=xAB+yACAB，AOAC=xACAB+yAC

14

化为32=64x+48y①，72=48x+144y②，联立①②解得］=>=；

/.6x+9y=5.故选：B

7.尸为AABC所在平面内一点，AB+PB+PC^O,|PB|=|PC|=|AB|=2,则APBC的面积

等于()

A.343B.4乖＞C.后D.2g

解析：如图所示，以总,PC为相邻边作平行四边形PBFC,连接尸尸，交BC于点E,

则E为2C的中点，E也是尸尸的中点，

因为通+方+正=0,所以而+定=丽，

又因为方+定=2而，所以2而=丽，

因为丽=丽，所以而//而且冏=网，

又因为网=附=网=2,所以而上团，且阿卜g网=1,

所以忸q=2\BE\=2^|PB|2-|PE|2=2』，

所以△尸3c的面积s=5忸［归目=5x26x1=g.

故选：c.

8.已知AABC外接圆圆心为。，G为AABC所在平面内一点，且且+而+言="若

AB+AC=贝！JsinZBOG=()

A.yB.-C.—D.

2448

解析：取BC的中点O,连接相，由/+而+江=0,知G为AABC的重心，则G在/。

上，所以而=］(通+记=1赤，［fQAO=1(A5+AC)=-AD,

所以A,G,O,。四点共线，所以AB=AC,即AD_LBC,

不妨令45=5,贝|AO=3O=4,0£>=l.

所以sinZBOG=sinNBOD=—=—.

BO4

9.设〃是AABC的垂心，且3丽+4而+5阮=6,贝！Jcos/ABC=.

解析：H是AABC的垂心=S&BHC:S&CHA:=tanA:tanB:tanC

tanA.7IA+tanB.TIB+tanC.HC=6

tanAtanBtanCc—,,_「1

由题设得----=----=-----=2.再由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，得2=，

345。5

tanB=4下.故cos/ABC='°，.故答案为：《I叵

52121

【点睛】

本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题.

10.已知点。为三角形ABC所在平面内的一点，且满足|函H砺H祝1=1，

304+405+50^=0，贝!I丽./=—•

解析：；M=|砺卜W|=l,3Q4+4OB+5OC=0,：.3OA+4OB=-5OC,

两边同时平方可得，9+16+2404-05=25,：.OAOB=0,

•；OC=-^OA-^OB,贝!J福林=（说_网.回一两）=（加一网［砺

=--OBOA--OB2+-O^+-OBOA=0--+-+0=~,故答案为*.

55555555

微专题5.奔驰定理

奔驰定理：点。是AABC所在平面上不与A,B,C重合的一点，若

xOA+yOB+zOC-6,xyz丰0,

则S&OBC,0A+S^OAB-OC+SAOAC-OB=0,即SAOBC-^AOAB-^OAC—x'.yz.反之亦然

2.三角形四心的向量表达

如图2,。为AA5C内一点，设。，瓦c分别表示8C,C4,A5的边长，则

(1)。为AABC的重心004+08+00=0；

—>—>—>—>

(2)。为AABC的外心osin2404+sin2303+sin2coe=0；

(3)。为AABC的内心oa44+力力+c-5c=6；

—>—>—>—>

(4)0为AA5C的垂心tanA-OA+tanBOB+tanC-OC=0.

这样，我们就以奔驰定理为基本依次推出了三角形四心的向量形式，下来，我们将重

点介绍四心向量形式的应用.

联赛中的应用

--1--1--

例1.已知点P在AABC内，且满足AP=—AB+—AC,设△尸3C、△PC4、△上43的

34

面积依次为邑、S3,则S/：S2：S3=.

例3.解析：因为/=g通+；*=：(而一而)+：(定一所)，

所以5而+4而+3定=0,所以S]:S?与3=5:4:3.

V_|_7V

例2.设o为三角形ABC内一点，且满足关系式:

^AABC

解析：将0X+20S+3氏=3通+2沅+CA化为3OA+GS+2阮=0，

（OA+OB）+2（OA+OC）=0.

设M、N分别是AB、AC的中点，贝！1而l=—20N.

设△ABC的面积为S,由几何关系知S“B"=1S，SAAOH=h,SAAOC=^S,

25o

grp.^AAOB+2S—OC+35A11

所以--------c---------C-O-A_Z•

微专题6.向量式隐圆

例1.（2018年浙江高考）已知£、石、"是平面向量，工是单位向量.若非零向量£与2的

夹角为三，向量石满足于一4济5+3=0,则|。-石|的最小值是（）

A.73-1B.73+1C.2D.2-石

解析：设a=(九,y),e=(l,O),B=(m,72),

22

则由|a|-|e|cos-1^,x=--^x+yy=±6x,

由—43B+3=0得+储一4m+3=0,_2/+rr=1,

因此，卜一0的最小值为圆心（2,0）到直线y=±^x的距离半=百减去半径1，为

省-1.选A.

—>—>—>—>—>—>JJ-->

例2.已知向量a/满足|a1=2,且少与b—a的夹角为巴，贝！J|）|的最大值为.

6

解析：如图，16kl=|11=2,OB=b,则/=7依题可知：ZABO=~,故三角

6

形。45均在圆上，|力|的最大值即为该圆的直径，由正弦定理可知：=2=4

I"Imax