高中数学模块训练含解析67

模块素养评价

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.已知复数z满足zi=3+4i,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3+4i<3+4。、

【解析】选D.由zi=3+4i得z=---------------=4-3i,所以复数z在复平面内对应的点的坐

i-i2

标为（4,-3）,该点位于第四象限.

2.演绎推理“因为对数函数y=logax（a>0且aWl）是增函数，而函数y=log〃是对数函数，所

2

以y=lo0Lx是增函数”所得结论错误的原因是（）

2

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误

【解析】选A.对数函数y=logax（a>0且a/l）,当a>l时是增函数，当0<a<l时是减函数，故

大前提错误.

3.（1）己知p'+q3=2,求证p+qW2.用反证法证明时，可假设p+q22.

（2）已知a,bGR,|a|+|b|<l,求证方程x，ax+b=0的两根的绝对值都小于'1.用反证法证明时

可假设方程有一根Xi的绝对值大于或等于1,即假设|xJ21.

以下结论正确的是（）

A.（1）与（2）的假设都错误

B.（1）与⑵的假设都正确

C.（1）的假设正确；（2）的假设错误

D.（1）的假设错误；（2）的假设正确

【解析】选D.“W”的反面是，故⑴错误.“两根的绝对值都小于1”的反面是“至少

有一个根的绝对值大于或等于1”，故⑵正确.

4.已知复数z满足：（2+i）z=bi,其中i是虚数单位，则z的共轨复数为（）

1313

A.---iB.-+-i

5555

11

C.—iD.一+i

33

1-iC2^V13i13

【解析】选B.由(2+i)z=1T,得z=---=-----------=---i,所以Z二一十—i.

2+i-275555

【加练•固】

1+i~~

若复数Z=—,Z为Z的共轨复数，则(z)2017=()

1-1

A.iB.-iC.-22017iD.22017i

1+i(1+i，2

【解析】选B.由已知，z=——=----------=i,可得Z=-i,则⑵2017=[(-i)4]504-(-i)=-i.

1-i(l-i>(l+i>

5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额

A.25B.48C.63D.80

r

6.已知函数f(x)=x?+bx+c(b,ceR),F(x)二--,若己知的图像在x=0处的切线方程为

ex

y=-2x+c,则函数f(x)的最小值是()

A.2B.1C.0D.-1

【解析】选C.因为千'(X)=2x+b,所以F(x)二一——,F，(X)二一:—,又F(x)的图像在x=0

exex

17*(。)―—―2(b二r

处的切线方程为y=-2x+c,所以厂一得［7—二所以f(x)=(X+2)220,

(F=c,3=%

f(x)min=0.

7.要证：a2+b2-l-a2b2^0,只需证明()

A.2ab-l-a2b2^0

a2+&2

B.a92+b92-l------W0

2

以+匕)2

C.l-a2b2^0

2

D.(a2-l)(b2-l)20

【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(-a2+1)(b2-1)=-(a2-1)(b2-1)^0.

所以要证22+62-1-2262&0.只需证6-1)廿一1)20.

XV3

&若函数f(x)=K(a>。)在山+8)上的最大值为可,则,的值为()

卜丹B.8C.V3HD.V3-1

x2+a^2x22

【解析】选D.f'(X)=—;----5-二—;----7,

(xz+a>2(xz+a>2

当x>历时，*(x)<0,f(x)是减少的,

当-JE<x〈迎时，fz(x)>0,f(x)是增加的,

当x=G时，令f(x)=叵圾V^=-<1,不合题意.

2a32

所以f(X)max二千(1)二—二史,a=V3-1.

1+Q3

9.观察一列算式：11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,

则式子35是第()

A.22项B.23项C.24项D.25项

【解析】选C.两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，

和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35为和为8的第3项，所以为第24

项.

10.设函数f(x)=x"ax的导数为『(x)=2x+l,则数列(nWN*)的前n项和是(

nn+2n+1

A.----B.----D.——

n+1n+1九一1n

【解析】选A.因为f(x)=x^+ax的导数为f'(x)=2x+1,所以m=2,a=1,所以f(x)=x?+x,即

f(n)=n2+n=n(n+1)所以数列(n£N*)的前n项和为:

11111\/I1\fl1\1n

S-।।=(1一一)+(一一一)+•••+(——----)=1---------=------

n1X22X33X4n<n+l>--k2/\23/\nn+17n+1n+1

11.已知曲线3：y2=tx(y>0,t>0)在点2)处的切线与曲线Cz：y=e"：l也相切，则t的

值为()

g2Q

A.4e2B.4eC.——D.—

44

【解析】选A.由y=y/tXf得y‘二一工，则切线斜率为k,，所以切线方程为y-2="(

2y/tx44\t)

即y=-x+l.设切线与曲线y=e'^+l的切点为(xo,yo).y=ex+1+l,得y，=ex+1,贝|由。“。+1=一,

44

得切点坐标为(/几——L—F1\故切线方程又可表示为y—1=—(In—+1\即

k44744\47

tttttttt

y二一x—In-+一+1,所以由题思，得—In-+—+1=1,即In-=2,解得t=4e9.

44424424

12.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(eX-l)(x-l)k(k=L2),贝！|()

A.当k=l时,f(x)在x=l处取到极小值

B.当k=l时，f(x)在x=l处取到极大值

C.当k=2时，f(x)在x=l处取到极小值

D.当k=2时，f(x)在x=l处取到极大值

【解析】选C.当k=1时,f'(x)=ex•x-1,f'⑴手0.

所以x=1不是f(x)的极值点.

当k=2时，f'(x)=(x-1)(xe*+e'-2)

显然f'(1)=0,且x在1的左边附近f'(x)<0,

x在1的右边附近f'(x)>0,所以f(x)在x=1处取到极小值.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)

13.已知函数f(%)的导函数为/(%),且函数f(%)=x，ax夕(1)的图像在点(L/(1))

处的切线斜率为-2,则@=.

【解析】由f(%)=x，ax•产(1),得(%)=2x+af/(1),

所以f'(l)=2+af/(1),依题意，得-2=2-2a,所以a=2.

答案：2

14.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-l在(-8,+8)上是单调函数，则实数a的取值范围是.

【解析】依题意可知函数f(x)在(-8,+8)上是单调减函数，所以f'(x)=-3x2+2ax-1W0在

(-8,+8)上恒成立，则A=4a2T2W0,解得

答案：V3]

15.观察下列算式，猜测由下列算式提供的一般法则，用适当的数学式子表示它.

1二1

3+5=8

7+9+11=27

13+15+17+19=64

21+23+25+27+29=125

则这个式子为.

【解析】观察由前5个等式归纳得到第n个等式的右边是r?,左边都是正奇数的和，设第n

__

个等式的左边的首项为an,则a?-二2,a3-a2=4,a4as=6,as~a4-8,•,,,anan-i=2n-2,由累加

-2-2-

法,anai-nn,an-nn+1,贝|第n个等式为(n?—n+1)+(r|2-n+3)+••,+(n2+n-l)=nl

答案:(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n_1)=n3

111

16.用数学归纳法证明某命题时，若命题的左边是1+-+-+…+—(nEN+),则当n=k+1时，

232九'十,

左边应是n二k时的左边加上________________________.

111

【解析】用数学归纳法证明某命题时，若命题的左边是1+-+―।■…+—(几£N+),先假设n二k

232nv十/

11111

时，命题的左边是千(k)=1+—1+…十4(keN+),则当n=k+1时，左边应是1+—+—+…

232k'+,23

11111

+—+-------+------------=f(k)+--------F-------------.

2k2k+l2<k+l>2k+l2</c+l>

11

答案：-----+-------

2k+l2</c+l>

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

一，15-5i

17.(10分)己知复数zi=2-3i,Z2-----.

(2+P2

_Z]

求：(1)zi+Zo.(2)zi,z2.(3)一.

Z2

15-5i15-5i5<3-4。5-15i

[解析1z=-------=--------=---------------------=--------=1-3i.

2<2+U23+4l<3+4。<3-4。5

(1)zi+Z2=(2-3i)+(1+3i)=3.

(2)z,•z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i.

Zi2-3i<2-3i><l+3i>2+9+3i113

(3)-=---=---------------------=----------=—+—i

z2l-3i<l+3i>101010

1

18.（12分）已知在正数数列区｝中，前n项和为Sn,且2s国+一,用数学归纳法证明:

an

a„=VnJn-l.

1=VT_Vo=i,结论成立.

【证明】（1）当n=1时ai=Si二一+

2

⑵假设当n二k时，结论成立，即

1

Sk二一瓜"k"l+

2

1_

则当n—k+1时，ak+1=Sk+i~Sk二一1+Vk,a£+1+2V^ak+T=0,

2

因为ak+i>0,所以ak+i二VkTl-Vk,所以当n=k+1时，结论也成立,

由（1）（2）知，对于一切正整数n,结论都成立.

19.（12分）如图，直线尸kx分抛物线y=x-X?与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的

值.

【解析】抛物线y=x-x?与x轴两交点的横坐标为Xi=0,x2=1,所以，抛物线与x轴所围图形的

1111

面积(x-x2)dx=二---二一

0236

2

V=X->°

又〈

由此可得抛物线y=x-x?与y=kx两交点的横坐标x3=0,x4=1-k,

y=kx>

所以（x-x2-kx）dx=（子X2一宁）I1。-k在1城

111也

又S二一，所以（1-k）二一，所以k=1------

622

【误区警示】本题容易忽视计算直线与抛物线的交点坐标，导致无法利用定积分计算面积,

另外，开方计算也容易出现化简方面的错误.

20.(12分)已知a>5,求证：Va+5-Va+3<Va+2-Va.

【彳正明】要证Va+5-"a+3<Va+2-«,

只需证Va+5+V^<Va+3+"a+2,

只需证(7a+5+F)2<(Va+3+Va+2)2,

只需证2a+5+2Va2+5a<2a+5+2Va2+5a+6,

只需证Va?+5a〈"a2+5a+6,

只需证a2+5a<a2+5a+6,只需证0<6.

因为o<6恒成立，所以Va+5-«a+3cJa+2-\反成立.

21.(12分)已知函数f(x)=e*-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切

线斜率为-1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值.

(2)证明:当x>0时，x2<ex.

【解析】⑴由千(x)=e'-ax,得千'(x)=ex-a.

因为千'(0)=1-a=-1,所以a=2.所以f(x)=ex-2x,千'(x)=ex-2.

令f'(x)=0,得x=ln2.

当x<ln2时，f'(x)<0,f(x)是减少的;

当x>ln2时，*(x)>0,f(x)是增加的,

所以当x=ln2时，f(x)取得极小值，

极小值为千(In2)=2-21n2=2-In4,f(x)无极大值.

⑵令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.

由⑴，得g，(x)=f(x)^f(ln2)=2-In4>0,

所以g(x)在R上是增加的.

因为g(0)=1>0,

所以当x>0,g(x)>g(0)>0,即x'e；

1

22.(12分)已知函数f(x)=lnx+-(x-l)2.

2

⑴判断f(x)的零点个数.

(2)若函数8&)=@*-@,当x>l时，g(x)的图像总在f(x)的图像的下方，求a的取值