高中数学讲义微专题31 解三角形的要素

微专题31解三角形中的要素

一、基础知识：

1、正弦定理：-^―==2R,其中尺为AABC外接圆的半径

sinAsinBsinC

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具

备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行

例如：(1)sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C<=>a2+b2-ab=c2

(2)ZJCOSC+ccosB=a=4>sinBcosC+sinCeosB=sinA(恒等式)

、besinBsinC

(z3)—=----------

asin-A

2、余弦定理：t/2=Z?2+c2—2Z?ccosA

1t/、4b1+c~-a2

变式：⑴cosA=---------------

2bc

①此公式通过边的大小(角两边与对边)可以判断出A是钝角还是锐角

当尸+，>42时，cosA>0,即A为锐角;

当〃+,2=/(勾股定理)时，cosA-0,即4为直角；

当加+。2<。2时,cosA<0,即A为钝角

②观察到分式为齐二次分式，所以已知。，dc的值或者a:Z?:c均可求出cosA

(2)«2=+c)2-2bc(1+cosA)此公式在已知b+c和be时不需要计算出优c的值，进

行整体代入即可

3、三角形面积公式：

(1)S=-a-h(。为三角形的底，//为对应的高)

2

(2)S=—absmC=—bcsmA=—acsmB

222

(3)S=^a+b+c)-r(厂为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径)

(4)海伦公式：S=Jp(p_a)(p_.)(p_c),p=g(a+b+c)

(5)向量方法：s=|^(|a|.|s|j2-(a.&)2(其中z了为边。力所构成的向量，方向任意)

证明：S=-absmC^S2=-a2b2sin2C=-a2b2(1-cos2C)

244v7

z.S=-d(ab)，-(abcosCp,而卜•=abcosC

坐标表示：a=[xvyi),b^x2,y2),则S=；上为—/R

4、三角形内角和4+3+。=万(两角可表示另一角)。

sin(A+5)=sin(^—C)=sinC

cos(A+B)=cos(»一C)=一cosC

5、确定三角形要素的条件：

(1)唯一确定的三角形：

①已知三边(SSS)：可利用余弦定理求出剩余的三个角

②已知两边及夹角(SAS)：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理(或正弦定理)求

出剩余两角

③两角及一边(AAS或ASA)：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条

边

(2)不唯一确定的三角形

①已知三个角(AAA)：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦

定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：a:b:c=sinA:sinB:sinC

②已知两边及一边的对角(SSA)：比如已知a,反A,所确定的三角形有可能唯一，也有可能

是两个。其原因在于当使用正弦定理求8时，一心=—也=>sin5=9吧4,而

sinAsinBa

时，一个sinB可能对应两个角(1个锐角，1个钝角)，所以三角形可

能不唯一。(判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1)

6、解三角形的常用方法：

(1)直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解

(2)间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求

解

7、三角形的中线定理与角平分线定理

(1)三角形中线定理：如图，设AO为AABC的一条中线，

A

贝ijAB2+AC2=2(AD-+BD~)(知三求一)

证明：在△ABD中//\

AB~=AD1+BD--2AD-BDcosADB①//\

BtC

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosADC②

♦.£)为8C中点:.BD=CD

•「ZADB+ZADC—7icosADB=—cosADC

/.①+②可得：

AB-+AC2=2(AD2+BDr)

(2)角平分线定理：如图，设40为中NB4C的

4R

角平分线，则丝BD

ACCD

证明：过。作DE〃AC交AB于E

BDBE

ZEDA=ZDAC

DC~AE

•.•AD为N3AC的角平分线

:.ZEAD=ZDAC:.ZEDA=ZEAD

.•.△E4D为等腰三角形:.EA=ED

BD

--=—而由ABED〜ABAC可得：—=—

"~DC~AEEDEDAC

ABBD

ACCD

二、典型例题:

例1：(1)AABC的内角A,5c所对的边分别为a,b,c,若c=0,b=J83=60。，则

C=____

(2))N43。的内角45。所对的边分别为4,仇0,若。=、5为=几,。=30。，则6=

hp「sin/?

思路：(1)由已知瓦瓦。求。可联想到使用正弦定理：----=-----nsinC=------

sinBsinCb

代入可解得：sinC=-o由c<b可得：C<B=60a,所以C=30°

2

答案：C=30°

hcAsin「

(2)由已知C,〃。求8可联想到使用正弦定理：----=-----^sinB=———

sin3sinCc

代入可解得：sinB=—,则3=60°或3=120°,由c<b可得：C<B,所以3=60°和

2

3=120°均满足条件

答案：3=60°或3=120°

小炼有话说：对比(1)(2)可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确

定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之

间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。

例2：在AABC中，BC=2,B=60。,若的面积等于二二，则AC边长为

2

思路：通过条件可想到利用面积S与BC,NB求出另一条边AB,再利用余弦定理求出AC即

可

“ABC2222

.-.AB=1

.-.AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=l+4-2-2-=3

2

:.AC=6

答案：A/3

例3：(2012课标全国)已知a,b,c分别为AABC三个内角A,5,C的对边，且有

acosC+百asinC-b-c=0

(1)求A

(2)若a=2,且△ABC的面积为6,求女。

(1)思路：从等式acosC+JWasinC-Z?-c=0入手，观察每一项关于。，"c齐次，考虑

利用正弦定理边化角：

acosC+y/3asinC-b-c=0nsinAcosC+A/3sinAsinC-sinB-sinC=0,所涉及式

子与AC关联较大，从而考虑换掉sin5=sin(A+C),展开化简后即可求出A

解:acosC+y/3asinC-b-c=Q

=>sinAcosC+V3sinAsinC-sinB-sinC=0

nsinAcosC+A/3sinAsinC-sin(A+C)-sinC=0

nsinAcosC+A/3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0

即6sinA-cosA=ln2sin(A-^)=lnsin|A-看£

62

.TC7C__.TC5»/A、

:.A——=—或A——=—(舍)

6666

'.A4——兀

3

(2)思路：由(1)可得A=工，再由a=2可想到利用面积与关于A的余弦

定理可列出8C的两个方程，解出dC即可

解：SARr=—bcsinA=yf3^>bc=4

a2=b2+c~—2bccosA^>4=b'+c2—be

b2+c~-be=4-〃+。2=8b=2

=>可解得<

be=4be=4c=2

小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否

具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角A,6c同时出现在方程中时，通常要

从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角

例4：如图，在AABC中，。是边AC上的点，且A3=AZ>,2A3=68£>,8C=28。，则

B

sinC的值为

思路：求sinC的值考虑把C放入到三角形中，可选的三角形有AABC/\

和ABDC,在ABDC中，已知条件有两边3£>,3。，但是缺少一个AD

角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在AABD中，三边比例已知，进而可

求出NBZM,再利用补角关系求出N3OC,从而ABDC中已知两边一角，可解出C

解：由2AB=例。可设应）=2左则A3=显

:.AD=®c,BC=4k

在AADB中，cosADB=AD+BD-AB=走

2ADBD2瓜-2k一石

.1.cosBDC=-cosADB=———■sinBDC=—

33

BDBC,「BD-sinBDC

在△BDC中，由正弦定理可得:----------=>smC=

sinCsinBDC-------------------BC~6

小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三■角形时

尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。

（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的左），

这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算

例5：已知AABC中，。，仇c分别是角A,5c所对边的边长，若AABC的面积为S,且

2s=（。+〃）2—。2,则tan。等于

?1

思路：由已知2s=(a+b)可联想到余弦定理关于cosC的内容，而S=5absinC,所

以可以得到一个关于sinC,cosC的式子，进而求出tanC

91

解：2s=(a+b)—c?02・]absinC=+/—/+

而/=〃2+/一2"cosC:.a2+b2-c2=2"cosC代入可得：

absinC=2ab+2aZ?cosC=>sinC=2+2cosC

,"4

sinC=—

sinC=2+2cosC5

22

sinC+cosC-\「3

cosC=——

4

tanC=—

3

_4

答案：tanC=——

3

例6：在AAfiC中，内角A,所对的边分别为a,反c，已知AAfiC的面积为3"亏

Z?-c=2,cosA=--,则。的值为

4

思路：已知cosA求。可以联想到余弦定理，但要解出仇。的值，所以寻找解出仇。的条件，

2

SABC=—besinA=3^15,而sinA=A/1—cosA=代入可得Z?c=24,再由Z?—c=2

2222

可得a=b+c-2Z?ccosA=(Z?-c)+2bc-2bccosA=64f所以a=8

答案：8

例7：设AABC的内角A,5c所对边的长分别为a,b,c,若6sinA—gacosB=0,且

〃=ac,则"£的值为（）

b

A.正B.72

C.2D.4

2

思路：由bsinA-百acosB=0可得：sinBsinA-y/3sinAcos5=0,从而tanB=J§\

兀

解得B——,从b—etc可联想到余弦定理：Z?2—/+，—2tzccosB—/+/—ac,所以

3

有a?+H一。)2=。，从而〃=。再由/=〃。可得〃二5=。，所以P+0的

b

值为2

答案：C

小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，Z?2=ac以及所求巴士也会让我们想到正弦定理。

但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定

选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中

含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。

例8：设的内角所对边的长分别为仇c,且。2二片+%人二―，则。=()

思路：由/次的结构可以联想到余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,可以此为突破

口，即方之一人。=尸+o2—2bccosA,代入解得：c=(6―1)人，进而求出a=，—1b,

得到比例代入余弦定理可计算出C

22

解：由廿二片+A可得:a-b-be,

a2=b2+c2-2Z?ccosA

:.b2—bc—b2+c2-2bccosA

c2=(V3-1)&C:.C=(6—1)人代入到"=4+60

可得：Cl限-1)方

a:b:c=]:1：A/3-1

+11

er+b2-c2~(^~)_41

V3-1

6

4

例9：已知AABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角

的余弦值是()

思路：不妨考虑avbvc,将•三个边设为a=x—Lb=x,c=x+1,则C=2A,想到正弦定

csinCsin

理一=-----=-------=2cosA,再将cosA利用余弦定理用边表示，列方程解出x,从而求

asinAsinA

出cosA

解：设〃<bvc,贝！Ja=x-l,b=x,c=x+l

csinCsin2A八，

・.・C=2A—=------=---------=2cosA

asinAsinA

cb1+C1-a1b2+c--a2

­=2--------代入〃=%-1,5=羽。=%+1可得：

a2bcbe

%2+（%+l）2_"_]）2

x+1

，解得：x=5

x-1X（X+1）

..ci—4,b—5,c=6

.•.cosA=-23

2bc4

答案：A

小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦

的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联

系。如果采用余弦二倍角公式，则有cosC=2cos2A-1,即便使用余弦定理也会导致方程次

数过高，不利于求解。

例10：在AABC中，。为边5c上一点，1CD,ZADB=120°,AD=2,若AADC的

面积为3—百，则NB4C=

思路：要求出NBAC,可在AABC中求解，通过观察条件

ZADB=120°(ZADC=120°),AZ)=2,=3-73,可

从AADC可解，解出A£),AC,进而求出5£>,再在

中解出AB,从而AABC三边齐备，利用余弦定理可求出

ABAC

解：—AD-DC-sinADC=3-43

2（3-⑹

DC==2（V3-1）

2sin—

3

:.BD=-DC=j3-l

2

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosADC=22+[2（73-1）J-2-2-2（73-l）cosy

=6（4-2@

.-.AC=76.（73-1）

同理AB2=AD2+DB2-2AD-DB-cosADB

-22+(V3-1)2-2-2-(V3-1)COS^=6

AB=4^

AB-+AC2-BC26+6(V3-l)-13(g-1)]

1

cosBAC=------------------=------——「'以二~~；~—

2ABAC2.A/6.V6(A/3-1)2

:.ZBAC=60°

答案：NR4C=60°

小炼有话说：(1)本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件

观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素

(2)本题还可以利用辅助线简化运算，作A"，5c于进而利用在HfAADM中

NADC=60°,AD=2得AM=6,,DM=1,再用工=3—G解出CD=2(百—1)

进而BD=6-l,则在上

BM=BD+DM=®CM=CD-DM=2也-3

所以ZBAM=45°,tan2WAC=-2-73可得：

AM

ZMAC=15°,所以NR4C=60°

三、近年好题精选

7T

1、设AABC的内角A,5c所对边的长分别为a,"C,且。=1,3=4,5.筋0=2,贝！jsinA=

()

72B屈V821

A.D.——

105010

2、设AABC的内角A,3,C所对边的长分别为。，"c,且人=3,c=l,A=25,则。的值为

()

A.A/2B.2&C.#>D.2A/3

3、在AABC中，。为边上一点，DC=2BD,AD=6,NADC=45。，若AC=,

则()

A.2+y/3B.4C.2+^[5D.3+y/5

sin24

4、（2015,北京）在△ABC中，〃=4/=5,c=6,则------=

sinC

5、（2015,广东）设AABC的内角A&C的对边分别为a,0,c，若口=6点115=工,。=工，

26

贝!!）=_______

6、（2015,福建）若锐角AABC的面积为10G，且AB=5,AC=8,则等于

答案：7

7、（2015,天津）在AABC中，内角A&C的对边分别为a,A,c,已知“15。的面积为3,

b-c=2,cosA=,则〃的值为

4

8、（2014,天津）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为，已知b—c=L。，

4

2sinB=3sinC,贝（IcosA的值为

---►---►7T

9、（2014,山东）在AABC中，已知A3-AC=tanA,当人=—时，AABC的面积为

6

10、（2014,辽宁）在AABC中，内角A&C的对边分别为a,b,c，且”>c,已知

-.—.1

BA-BC=2,cosB=—,b=3,求：

3

（1）a,c的值

（2）cos（5—C）的值

11、（2015,陕西）设AABC的内角ABC的对边分别为a,A,c,向量云=[,、&）与

n=（cosA,sinB）平行

（1）求A

（2）若。=币,b=2,求AABC的面积

12、（2015,新课标ID在AABC中，。是8C上的点，AD平分NA4C,血的面积是

△AZX7面积的2倍

(2)若AD=1,DC=J,求3£),AC的长

2

13、(2015,安徽)在AABC中，A=物,A3=6,AC=3拒，点。在5c边上，AD=BD,

4

求AD的长A

14、(2015,江苏)在AABC中，已知AB=2,AC=3,A=^

(1)求BC的长D

(2)求sin2c的值

习题答案：

1、答案：A

A

解析：SARC=—acsinB-2^c=4/2

.・22=片+。2—2〃CCOSJB代入可得：/=1+32—214正史=25

2

.',b—5

ab..a.v2

/.------=-------nsmA=—•sm8=—

sinAsinBb10

2、答案：D

解析：-：A=2BsinA-sin2B=2sinBcosB

^+C1~b2

/.a=2Z?cosBcosB=--------------

lac

a1+C1-b24+1—9

a=2b-=>a=6・

lacla

:.a2=3（a2-8）:修=24=

3、答案：C

解析：设3£>=x,则CD=2x,由余弦定理可得:

\ABf=\ADf+\BDf-2\AD\-\BD\COS1350

|AC|2=|A£>|2+|C£>|2-2|AD|-|CD|cos45°,代入可得:

\ABf=2+x2+2x

-,-\AC\=42\AB\

|AC「=2+4/-4x

2++2x

解得:x-2+A/5

22+4X2-4X

4、答案：1

sin2Ac-sinAb1+c2-a1a.25+36-164,

解析:-------=2cosA-------=2--------------------=2--------------------=1

sinCsinC2bcc2566

5、答案：1

Ijrrr27rab

解析：由sinB=—及C=—可得：B=—，从而A=——,由正弦定理可得：——

2663sinAsin3

解得b=l

6、答案：7

解析：由SABc=^AB-ACsinA,可得：sinA=—,即4=工，再由余弦定理可计算

△/1ZJV223

BC=7AC2+AB2-2AB-ACcosA=7

7、答案：8

解析：cosA=--nsinA=A/1-COS2A=由5

44

/.S：c-；bcsinA=3A/15nbe=24

/.由余弦定理可得：a?=〃+/_2/?ccosA-{b-c)2+2/?c(l-cosA)=64

.,.a=8

8、答案：---

4

解析：由2sinB=3sinC可得26=3c代入到b—c=」a即可得到a:b:c=4:3:2,不妨

4

942+4左2—1642

设a=4k,b=3k,c=2k,则cosA=t---------—

2bc-2-3k-2k~4

9、答案：工

6

___1___«.qinA

解析：AB-AC=tanA=>Z?ccosA=------

cosA

,sinAsin2A

二.be二——S^ABC=gbesinA=g

cosAcos2A26

10、解析：由A4・BC=2可得：accosB=2

ac-6

由余弦定理可得：b1=(〃+c)2-2。。(1+以%3)即9=(。+0)2-16=>〃+C=5

ac-6「

a=3

:.<ac-5解得：<

”2

a>c

1/---------25/2

(2)由cos3二—可得：sinB=vl-cos2B=-----

33

,一jbc.〃esmB4v2

由正弦TE理可知：----=-----=>smC=--------=------