高二数学人教A版2019选择性讲义第10讲期望方差的实际应用

第10讲期望方差的实际应用

【例I】最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为现对该产

品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次.记X为

试验结束时所进行的试验次数，X的数学期望为E(X).

(1)证明：E(x)<q；

(2)某公司意向投资该产品，若p=0.2,每次试验的成本为“(a>0)元，若试验成功则获利8a元，则该公司

应如何决策投资？请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)应该投资，理由见解析

【分析】(1)由题意,X=1,2,3,，…,8,P(X=&)=p(l-p产，&=1,2,,7,P(X=8)=(l-p)7,列出分布列,

列出E(X),乘公比错位相减法求和s=(l-p)°+2(l-p)i+3(l-p)2++7(l-p)6,分析可证明E(X)<［；

(2)由(1)可得E(X)<，=5,分析即得解

P

【详解】(D由题意,X=1,2,3,...,8

故P(X=k)=pQ-p)k-',k=\,2,,7,P(X=8)=(1—p)1

分布列如下：

X12345678

PPp(l-p)p(l-p)2p(l-p)4P(l-P/POP),(1-p),

所以X的数学期望E(X)=Ml-p)°+2p(l-p)1+3p(l-p)2++7p(y-p)6+8(1-p)i,

记S=(1—p)°+2(1-p)'+3(1-p)2++7(1-py,

(l-p)S=(l-p)'+2(l-p)2+3(l-p)3++7(1-p)7,

作差可得，pS=(1-p)°+(1-/?)'+(1-p)2++(1-/?)6-7(1-^)7=-~~———7(1-p)7，

则E(X)=pS+8(1-〃=1~(1-P)7+(1-p)7=D8<-；

PPP

(2)由(1)可知E(X)<，=5,则试验成本的期望小于5a元，

P

试验成功则获利8a元，且8a>5a,则该公司应该投资该产品

【例2】某市为筛查新冠病毒，需要检验核酸样本是否为阳性，现有且422)份核酸样本，可采用

以下两种检验方式：①逐份检验：对k份样本逐份检验，需要检验4次；②混合检验：将k份样本混合在一

起检验，若检验结果为阴性，则k份样本全为阴性，因而这A份样本只需检验1次；若检验结果为阳性，为

了确定其中的阳性样本，就需重新采集核酸样本后再对这左份新样本进行逐份检验，此时检验总次数为k+\

次.假设在接受检验的核酸样本中，每份样本的检验结果是相互独立的，且每份样本结果为阳性的概率是

p（0<p<1）.

（1）若对％份样本采用逐份检验的方式，求恰好经过4次检验就检验出2份阳性的概率（结果用p表示）；

（2）若上20,设采用逐份检验的方式所需的检验次数为X,采用混合检验的方式所需的检验次数为匕试比

较E（X）与EW）的大小.

【答案】（l）3p2（l-p）2；⑵答案见解析

【分析】（1）由独立事件的乘法公式即可求出恰好经过4次检验就检验出2份阳性的概率.

（2）由题意知,E（X）=20»的可能取值为1,21,求出每个变量对应的概率即可求出E（Y）,比较E（y）-E（x）

与0大小，即可求出答案.

（1）

记恰好经过4次检验就检验出2份阳性为事件A,

所以P（A）=CM1一P）2p=3/（1一p了.

（2）

由题意知，E（X）=20.

丫的可能取值为1,21,

所以P（y=1）=（1—严,「a=21）=1_（1一城，

所以凤丫）=（1一0产+21[1—（l-pfguZl-ZOd-p）20.

所以E（y）-E（X）=1-20（1_p）20,令以20（1-p严>0,

解得p>l-j

所以当p>l-信时，E（y）>£（x）；

当P=1一卷时，E（Y）=E（X）：

当o<”T4时，£（y）<£（x）.

【例3】2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的

亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：

方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得o分，累计所得分数记为丫；

方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得。分，三轮累计所得分数

记为X.

累计所得分数越多，所获得奖品越多.现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为

P(O<P<1),每次投篮互不影响.

(1)若p=；，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；

(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？

【答案】(l)g;(2)答案见解析.

【分析】(1)根据给定条件，将甲得3分的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式计

算即可.

(2)求出甲选方案一，方案二得分的期望，再比较大小作答.

(1)P=^甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球的事件和，

所以尸(X=3)=6J+2(Tj(T)=g，所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为?

(2)选方案一，则卜：8(9,p),选方案一得分的数学期望为EV=9p,选方案二，每一轮得分只有0和3,

能得3分的概率为pQ=2P'(I-p)+/=3/-2p3,进行三轮投篮,得3分的次数&为随机变量,则&B(3,p0),

=3%,进行二:轮总得分X=3九则选择方案二得分的期望为EX=3EJ=9p°=9(3p2-2p3),显然

EY-EX=9p-9(3p2-2p3)=9p(p-l)(2p-l),当p=g,£丫一。=0，两种方案期望相同，所以选方案

一，二都可以；当;<p<l,方案二期望大，所以甲应该选方案二；当0<p<g,£/>欧，

方案一期望大，所以甲应该选方案一.

【例4】某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级

进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班

级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题.已知甲班的5人中只有3人可以

正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为1,甲、乙两个班每个人对问题的回答都是

相互独立的.

（1）求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；

（2）设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的

知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.

【答案】（1）检107；（2）分布列见解析，9选择甲班代表学校参加比赛更好

【分析】（1）利用对立事件：甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，利用超几何分布和二

项分布运算求解；（2）利用超几何分布和二项分布求分别求期望和方差，分析理解判断.

（1）

设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A

由于甲班5人中有一3人可以正确回答这道题目，故从甲班中抽取的3人中至少有I人能正确回答这道题目

故事件无为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，具体情况为甲班1人回答正确，其他5

人回答错误或甲班2人回答正确，其他4人回答错误或甲、乙两班各1人回答正确，其他4人回答错误

、2

因为何等如萼如C©32Y18

xC^x—x

5)125

,18107

所以尸(A)=i-p(Z)=1----=---

125125

⑵

X的所有可能取值为1,2,3

「（x=g罟4尸-2）=罟=|,尸。=3）*亮

所以X的分布列为

X123

331

P

105W

331Q

所以E(X)=1X，+2X9+3X—=—

V7105105

因为乙班能正确回答题H的人数yB（3,|）,

3g

所以£（Y）=3xg=：,即E（X）=E（y）.

22

9丫△+2.29919

因为£)(X)=1x——=——

5105551025

^(n=3x|x|=l1,o(x)<3(y),

所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等，但甲班的方差小于乙班，

所以选择甲班代表学校参加比赛更好.

【例5】为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、

目的地市或县(区、市)等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检

测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样

进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于份样本，有以下两种

检验方式：一是逐份检验，则需检验〃次：二是混合检验，将上份样本分别取样混合在一起，若检验结果为

阴性，那么这A份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这4份究竟哪些为阳性，

就需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为Z+1次若每份样本没有该病毒的概率为

)(0<0<1),而且样本之间是否有该病毒是相互独立的.

(1)若。=3,求2份样本混合的结果为阳性的概率.

2

(2)若P=§，取得4份样本，考虑以下两种检验方案：

方案一：采用混合检验：

方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验.

若检验次数的期望值越小，则方案越“优”，试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由.

【答案】(1)(;(2)方案一更“优”，理由见解析.

【分析】(1)根据对立事件可得阳性的概率；(2)方案一的检验次数记为X,则X的可能取值为1,5,求

出各自的概率，得出分布列和期望；方案二检验次数记为y,则y的可能取值为2,4,6.求出各自的概率，

得出分布列和期望，比较可得结果.

(1)

该混合样本阴性的概率是(、5)2=g,根据对立事件可得，阳性的概率为l-g=|.

(2)

方案'：混在一起检验，方案-的检验次数记为X,则X的可能取值为1,5,

RX=D=(4)4=pj尸(X=5)=l-p:

其分布列为：

X15

PP21-P„2

则E（X）=5-4p2,

方案二：由题意分析可知.每组2份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1,概率为（4）2=0,若阳性,

则检测次数为3,概率为1-P，方案二的检验次数记为y,则y的可能取值为2,4,6.

Hy=2）=P2；p（y=4）=Cp（i-p）=2p（i-p）；p（y=6）=（i-p）2；

其分布列为：

Y246

PP12p-2P2(JP)2

则E（y）=2p2+4（2p-2P2）+6（l-p）2=6-4p,

£（r）-£（X）=6-4p-（5-4p2）=4p2-4/2+1,

2

当P=§时，可得E（X）＜E（y）,所以方案一更“优”

【例6】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平

局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,

0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】（1）0.6：⑵分布列见解析，E（X）=13.

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为AB，C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利

用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.

【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为AB,C,所以甲学校获得冠军的概率为

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.84-0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

（2）依题可知,X的可能取值为0/0,20,30,所以,

P(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

尸(X=1())=().5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

产(X=30)=0.5x0.6*0.2=0.06.

即X的分布列为

X010203()

P

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

【例7】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率

分布直方图：

M频率/组距

0.023--------------------------—

0.020---------------------------------------

0.017---------------------------------------------

0.012------------——

0.006-----------------------------------------------------

SOO2

OO1

O.

j------------------------------------------------------------------------------>.

102030405060708090年龄/岁

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

【答案】(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014.

【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出：

(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)),根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【详解】(1)平均年龄£=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁).

(2)设4=1-人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)设8="任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由己知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B|0=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

「⑹B)=迺=々OP⑻C)=0.001x0.23=00tH4375，0.0014

P⑻P(B)0.16

【例8】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为

第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X

表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p,(i=0』,2,3).

(1)已知％=0.4,R=0.3,02=0.2,P3=0」，求E(X)；

(2)设P表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：〃。+2/+生/+23/=》的

一个最小正实根，求证：当E(X)41时，p=l,当E(X)>1时，p<\.

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

【答案】(1)1；(2)见解析；(3)见解析.

【分析】(1)利用公式计算可得E(X).

(2)利用导数讨论函数的单调性，结合/。)=0及极值点的范围可得/(X)的最小正零点.

(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【详解】（1）E（X）=OxO.4+lxO.3+2xO.2+3xO.l=l.

（2）设〃力=侬^+22犬+（百一1）/+「0,

因为P?+P?+口+Po=1，故f（x）=p3d+P#一（0+Po+夕3）工+Po，

若E（X）W1,则2+2%+3P341,故p?+2p34Po.

r（x）=3P3d+2P2*一（P2+A）+P3），

因为r（o）=-但+为+P3）＜°，r⑴=〃2+2。3一，ow0，

故/'（x）有两个不同零点小三，且玉＜0＜14当，

且xe（Y,Xi）5x2，+GO）时，/《勾＞0；》€（王,£）时，//（x）＜0；

故/（x）在（Y»,%）,（孙+°0）上为增函数,在（3，w）上为减函数，

若多=1，因为/（X）在（%,田）为增函数且"1）=0,

而当xe（0，w）时，因为“X）在（5,W）上为减函数，故/（x）＞/（%）=,"1）=0,

2

故1为"0+P1X+p2x+用/=X的•个最小正实根，

若々＞1，因为"1）=0且在（0,9）上为减函数，故1为％+〃b+02/+23/=》的一个最小正实根,

综上，若E（X）41,则P=l.

若E（X）＞1,则R+2P歼3科＞1,故P?+2p3＞Pi

此时/'（（））=-（P2+为+〃3）＜°，/'（1）=P2+2。3一Po＞。，

故/'（X）有两个不同零点当，匕，且X3co＜%＜1,

且xe（-oo，w）（玉,+00）时，＞0;》«电,々）时，/，（%）＜0:

故f（x）在（Y»，W）,（七,物）上为增函数，在（£,巧）上为减函数，

而"1）=0,故〃匕）＜0,

又〃。）=%＞0,故/（X）在（0，乂）存在一个零点P,且P＜1.

所以。为Po+PlX+p?/+P3》3=X的一个最小正实根，此时P＜1,

故当E（X）＞1时，p＜\.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过

1,则若干代后被灭绝的概率小于1.

［例9］在核酸检测中,7合1“混采核酸检测是指：先将女个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这“

个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这大个人中

有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

（ii）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为'.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E（X）.

（II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，

试判断数学期望E（K）与⑴中E（X）的大小.（结论不要求证明）

【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为（2）E（r）＞E（X）.

【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出E（y）,即可得解.

【详解】（I）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次；

②由题意，X可以取20,30,

则X的分布列:

X2030

110

PTTTT

110

所以E（X）=20XH+30X/=*；

(2)由题意，y可以取25,30,

20c04

两名感染者在同一组的概率为《=不在同一组的概率为£=±,

则即15*+30啜=鬻＞%).

【例10】某企业准备投产一批特殊型号的产品，己知该种产品的总成本C与产量4的函数关系式为

C=g-3(/+20q+l0(“。)，该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产

品价格。与产量4的函数关系式如下表所示:

市场情况概率价格〃与产量4的函数关系式

好0.4p=164-39

中0.4p=101-M

差().2p=70-3q

设4分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量或，表示当产量为4,而市场前景无法确定时

的利润.试求：

(1)分别求利润乙,乙,4与产量夕的函数关系式;

(2)当产量夕确定时，求期望可务)；

(3)试问产量4取何值时，E(gJ取得最大值.

【答案】⑴。=-q+1444-10,(“0)：4=-女+8%-10,(夕＞0)；4=-?+50q-10,何＞0)；(2)

E&)=q+100q-10,(夕＞0)；(3)9=10时，E阁取得最大值.

【分析】(1)利用“利润=价格x产量-总成本"计算利润",4即可；

(2)利用期望定义计算E低)=0.41,+0.4乙+0.2L,即可；

(3)设函数/(幻=网学)，先求导数，再利用导数的正负研究函数的单调性，即得当夕=10时，取得

最大值，即得结果.

【详解】解：(1)由题意可得，

L/=(164-3^-(^--3^2+20^+10)=-^-+144^-10,(?＞()),

,3

同理可得-3^4-209+10=-《+814-10,(q>0),

a=(101-3qM-13

7

4=(70-3q)q—^--3^+20^+10=--^-+50^-10,(q>0)：

(313

(2)由期望定义可知，

E(^)=0.4LI+0.4L,+0.2L,

=0.4x(-q+144q-10)+0.4x(-《+81q-10)+0.2*(-q+504-10)

=-^-+100<7-10,(q>0)；

⑶由⑵可知，E阂/是产量q的函数，设/(q)=E(£)=-?+i00q_i0,(g>0),

得/⑷=-4+100,令f'(q)=0解得q=lO,0=_lO(舍去).

故当0<”10时,尸⑷>0；当«>10时，[⑷<0；

可知，当4=10时，八。)取得最大值，即E&)最大时产量q=10.

【例已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<pX,

623

对乙项目每投资10万元，XX],X?分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.

⑴求X,,X2的概率分布和均值E(XJ,£(X2)；

(2)当E(Xj<E(X2)时，求p的取值范围.

【答案】(1)见解析(2)0<p

【详解】分析：(1)由题意可得随机变量X,的分布列和期望；结合X〜B(2,p)可得随机变量X2的分布列和

期望.(2)由E(X/)<E(X2)可得关于p的不等式，解不等式可得所求.

详解：(1)由题意得X/的分布列为

X,

P

623

.\£(X/)=1.2x1+1.18x1+1.17x^=1.18.

623

由题设得X〜8(2,p),即X的分布列为

X012

P(1-p)22P(1—p)p2

所以X2的分布列为

X2

2

p(1-pF2P(1—p)P

，E(X2)=1.3x(l一0)2+1.25x2p(l-p)+0.2xp2=13x(1—2p+p2)+2.5x(p-p2)+0.2xp2=一汽?十13

(2)由E(X/)<E(X2),得一p2p+i.3>LI8,整理得(/，+0.4)S-0.3)<0,解得一0.4<p<0.3.

因为0<p<l,所以0vp<0.3.即当E(X/)<E(X2)时，0的取值范围是(。,03).

点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数

原理、古典概型等知识.

(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX,DX

即可.

【例12】为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试

验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施

以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4

只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲

药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的

白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率

分别记为a和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，化什=0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药

比乙药更有效”的概率，则为=0,凡=1,Pj=ap-+bp；+cpM(i=l,2,,7),其中a=P(X=-1),

h=P(X=O),c=P(X=l).假设c=0.5,£=0.8.

⑴证明：｛p,*「pJ(i=0,l,2,,7)为等比数列；

(ii)求色，并根据P*的值解释这种试验方案的合理性.

【答案】(1)见解析；(2)(i)见解析；(ii)pA='

【分析】(1)首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列：(2)⑴

求解出”,b,c的取值，可得p：=0.4月_1+0.5化+0.1月+"，=12,…,7）,从而整理出符合等比数列定义的形式,

问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合热和P。的值可求得回；再次利用

累加法可求出

【详解】（1）由题意可知X所有可能的取值为：-1,0,1

P（X=-l）=（l-a）/?;P（X=0）=〃+（l—a）（l—⑶；P（X=l）=a（l—⑶

则X的分布列如下：

X-101

P（『a）夕a/7+(l-a)(l-/?)a（l-夕）

(2)a=0.5,4=0.8

/.6t=0.5x0.8=0.4,Z?=0.5x0.8+0.5x0.2=0.5,c=0.5x0.2=0.1

⑴Pi=ap-+加+①+/i=l,2,…,7)

即Pi=0.4RT+0.5R+0.1加(i=1,2,­••,7)

整理可得：5己=4pf+pM(z=l,2,-,7)；.pM-pi=4(p1/?,,,)(/=1,2,-,7)

・•・{加一R}(=0,L2,…,7)是以P|-Po为首项，4为公比的等比数列

(ii)由⑴知：Pi+「Pi=(P/Po)《=巧1

•••P8-P7=P「4,，P7-P6=P「46....p「Po=p14°

i_J848_]

作和可得：P8-PO=PI,(4°+4+…+47)=1^了P]=飞一P]=1

3

“4s-1

入。T//3\1-4444-l311

•••P4=P「P°=P/(4+4+4+4)=--A=_-x-=-=—

P4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为05乙药治愈率为0.8时，认为甲药

更有效的概率为04=工^0.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.

【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公

式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对

学生分析和解决问题能力要求较高.

[例13]一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡

片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.

(注：若三个数满足aW匕Wc,则称b为这三个数的中位数).

547

【答案】⑴而⑵或

【详解】⑴尸=等』

(2)X的所有可能值为1,2,3,且

P(X=1)=/C』,P(X=2)=生眸生£=空

42CQ84

尸(X=3)=年」

''G12

故X的分布列为

X123

17431

P

4284n

itiv\i17c43147

4人而E(X)=1x----F2x----F3ox—=—

'J42841228

【例14】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量工

(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年,

不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段

的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关

系：

80<X<120X>120

年入流量X40<X<80

发电量最多可运行台数123

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电

站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

【答案】(1)0.9477；(2)8620,2.

【详解】试题分析：(1)先求1=P(40<X<80),^=P(80<X<120),4=P(X>120),再利用二项分布

求解；(2)记水电站年总利润为y(单位：万元)①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台

发电机，分别求出EY，比较大小，再确定应安装发电机台数.

(1)依题意，6=P(40<X<80)=4=0.2,

355

P2=P(80<X<120)=^=0.7,G=P(X>120)=言=0.1,

由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为:

p=《(T)4+c：(T)2=(£|+4x(/IX—=0.9477.

I10

(2)记水电站年总利润为¥(单位：万元)

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,

对应的年利润y=5000,EX=5000x1=5000.

②安装2台发电机.

当40Vx<80时，一台发电机运行，此时丫=5000-800=4200,

因此P(y=4200)=P(40<X<80)=6=0.2,

当XN80时,两台发电机运行,Wr=5000x2=10000,

因此P(Y=10000)=P(X*80)=<+'=0.8.由此得】•的分布列如下:

Y420010000

P

所以=42(X)xl+l(XXX)x2=8840.

③安装3台发电机.

依题意，当40Vx<80时，一台发电机运行，此时卜=5000-1600=3400,

因此p（Y=3400）=尸（40<X<80）=6=0.2；

当804X4120时,两台发电机运行,此时¥=5000x2-800=9200,

此时p（y=9200）=P（80<X<120）=/^=0.7,

当X>120时，三台发电机运行，此时y=5000x3=15000,

因此p（y=15000）=P（X>120）=吕=0.1,

由此得『的分布列如下：

Y3400920015000

P

所以ET=3400x0.2+9200x0.7+15000x0.1=8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

考点：二项分布，随机变量的均值.

【例15】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测

后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（II）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要

的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望.

【答案】（I）■3；（口）350

【详解】试题分析：（1）求古典概型概率，先确定两次检测基本事件个数：再确定第一次检测出的是

次品且第二次检测出的是正品的基本事件个数&N，从而得所求事件概率为尸=4投（2）先确定随机

看10

变量：最少两次（两次皆为次品），最多四次（前三次两次正品，一次次品），三次情况较多，可利用补集

求其概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望

试题解析：解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,

尸缶）=当=3

A；10

（Il）X的可能取值为200,300,400

P(X=200)=^=—

61。

P(X=300)=A"*'=A

闻10

p(X=400)=C'C^x2=|

3

(或P(X=400)=l-P(X=200)-尸(X=300)=-)

故X的分布列为

X200300400

136

P

10WTo

133

EX=200x—+300x—+400x-=350

10105

考点：1.古典概型概率；2.分布列和数学期望.

【方法点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种

概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条

性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要

准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、

方差公式进行计算.

【题型专练】

1.甲、乙两人玩如下游戏:两人分别拿出一枚硬币同时扣在桌子上（硬币的正反面自己决定，两人互不影响），

然后把手拿开，如果都是正面，则乙给甲3元，如果都是反面，则乙给甲1元，如果一正一反则甲给乙2

元.如此进行下去，把频率当做概率.

（1）若甲出正面的频率0.7,乙出正面的频率为0.5,甲、乙各出硬币一次，求甲的收益X的分布列及数学期

望；

（2）这个游戏多次进行下去，乙能否通过调整自己出正面的频率，使得无论甲出正面还是反面，自己都不会

输？如果能，求出乙不输时出正面的频率的范围，如果不能，说明理由.

【答案】（1）分布列见解析；期望为0.2元；

（2）乙只要调整出正面的频率p满足无论甲出正面还是反面，自己都不会输.

【分析】（1）求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

（2）设出甲、乙各自出正面的概率，求出甲的收益丫的期望E（y）,由E（y）wo求解作答.

（1）X的取值为-2,1,3,

p(X=-2)=0.7X0.5+0.3X0.5=0.5,P(X=1)=0.3x0.5=0.15,=3)=0.7x0.5=0.35

所以X的分布列为:

所以E（X）=（—2）x0.5+1x0.15+3x0.35=0.2（元）.

（2）设甲出正面的频率p,则出反面的频率为1-p,设乙出正面的频率为g,则出反面的频率为1-夕,

此时甲获得收益丫的分布列为：

Y-213

Pp(l-q)+(l-p)qPQ

所以£（丫）=3*「夕+1*（1_「）（1_4）+（_2）><（0+4-224）=824_3/?_34+1=（84_3）0_34+1,

乙要保证不输，即对任OVpVl,E（Y）<0,即（8q-3）p-317+140恒成立，

0<«<1

12

因为£"）=（%-3）p-3g+l是关于p的一次型函数，则有卜3”140,解得毛，

8^-3-4-1<0

1?

所以乙只要调整出正面的频率q满足34无论甲出正面还是反面，自己都不会输.

2.葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、铝、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产业之

某选矿场要对即将交付客户的一批200袋铜矿进行品位（即纯度）检验，如检验出品位不达标，则更

换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有铝矿做检

验，设每袋铜矿品位不达标的概率都为。且每袋铝矿品位是否达标相互独立.

⑴若20袋铜矿中恰有2袋不达标的概率为/（P）,求f（0的最大值点P0；

（2）已知每袋铝矿的检验成本为10元，若品位不达标铜矿不慎出场，对于每袋不达标铝矿要赔付客户110

元.现对这批铝矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标.

①若剩余铝矿不再做检验，以（1）中确定的为作为p的值.这批铜矿的检验成本与赔偿费用的和记作已

求EQ)；

②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对余下的所有铜矿进行检验？

【答案】⑴死=0」

(2)①2180；②应该对余下的铝矿都进行检验

【分析】(1)先求出2袋不达标的概率/(p),再求导确定单调性，进而求得最大值点；

(2)①先判断出不达标的袋数〃服从二项分布，利用二项分布期望公式求得E(〃)=18,进而求得E(J)：

②直接由期望比较，作出决策即可.

【详解】⑴20袋铝矿中恰有2件不达标的概率为“p)=C0p2(l-p)上

因此尸(P)=*[2p(l-pf-18p2(l-p)'7]=2C；。p(l-p)”(1-lOp)

令J'(p)=o；得〃=0.1,当pe(0,0.1)时,r(p)>0,f(p)单调递增,p«0.1,l)时,_f(p)<0,f(p)单

调递减，

所以/(p)的最大值点Po=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1.

①令"表示余下的180袋铜矿中不达标的袋数，依据题意可知3(180,0.1),故E(〃)=18,

又4=20x10+110〃，即4=200+110〃，

所以E(J)=E(200+110〃)=200+11OE(77)=200+110x18=2180.

②若对余下的铜矿进行检验，则所有检验成本为2(X)0元.由于£《)=2180>2000.应该对余下的铜矿都

进行检验.

3.现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，根据对市场120份样本数据的统计，甲项目年利润分

布如下表：

年利润

频数206040

对