高考真题与模拟训练 专题19 圆与方程（解析版）

专题19圆与方程

第一部分真题分类

1.(2021•北京高考真题)已知圆C:/+y2=4,直线/：>=去+6,当左变化时，/截得圆C弦长的最

小值为2,则闭=()

A.±2B.±72C.土石D.±>/5

【答案】C

【解析】由题可得圆心为(0,0),半径为2,

|/n|

则圆心到直线的距离d=，

则弦长为

Vk2+l

则当A=0时，弦长取得最小值为2”^^=2,解得m=土百.

故选：C.

2.(2020•北京高考真题)已如半径为：的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】设圆心C(x,y),则"3)2+(y-4)2=1,

化简得(“—3)2+(y—4)2=1,

所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，

所以|。。|+14。知|=疹不=5,所以I。。住5—1=4,

当且仅当C在线段上时取得等号，

故选：A.

3.(2020•全国高考真题(理))若直线，与曲线尸4和/+/=：都相切，则/的方程为()

1

A.y=2x+\B.片2户£C.y=^A+1D.尸■^户£

【答案】D

【解析】设直线，在曲线y=«上的切点为伍,后），则/＞。，

函数,=4的导数为y'=±,则直线，的斜率

设直线/的方程为y-后即工―2后y+/=0,

由于直线/与圆相切，则J=%,

5Jl+气）V5

两边平方并整理得5片-4%-1=。，解得。=1,A0=-1（舍），

则直线/的方程为x-2y+l=0,即y=g旧.

故选：D.

4.（2020•全国高考真题（文））已知圆x2+y2—6x=。，过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的

最小值为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】圆V+y2-6x=0化为（X-3）2+V=9,所以圆心C坐标为C（3.O）,半径为3,

设P（L2）,当过点尸的直线和直线”垂直时，圆心到过点尸的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

ICP|=7（3-l）2+（-2）2=2＞/2

根据弦长公式得最小值为2加-|CP『=2内=i=2.

故选：B.

22

5.（2020•全国高考真题（理））已知。朋x+y-2x-2y-2=0f直线/：2x+y+2=0,尸为/上的

动点，过点尸作。"的切线PAP8,切点为48,当IPMII4BI最小时，直线A3的方程为（）

A.2x-y-\=0B.2x+y-1=0C.2x-y+l=0D.2x+y+1=0

【答案】【）

【解析】圆的方程可化为（x-l）2+（y-l）2=4,点M到直线/的距离为d+;N=逐＞2,所以直线

/与圆相离.

依圆的知识可知，四点ARB,M四点共圆，且所以

\PM\]AB\=4S^=4xyx\PA\x\AM\=4\P^,而归川=而心工，

2

当直线时，1网而小石，园|喻=1,此时|尸闸.|的最小.

1I

v=­Xd-x=-\

由+’22解得,

y=0

2x+y+2=0

所以以为直径的圆的方程为(x—i)(x+i)+y(y-1)=0,即V+y2—y_]=。，

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线AB的方程.

故选：D.

6.(2020•全国高考真题(理))若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的

距离为()

4#2>/53x/54y/5

A.—BR.Cr#Un.

5555

【答案】B

【解析】由于圆上的点(2,1)在第•象限，若圆心不在第•象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第••象限,

设圆心的坐标为(〃M),则圆的半径为

圆的标准方程为+(y-a)2=a2.

由题意可得(2-4+(l-a)2=a2,

可得。2-6a+5=0，解得〃=1或。=5,

所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),

|2xl-l-3|_2>/5

圆心(L1)到直线2x-y-3・0的距离均为4

-4?_一丁

|2x5-5-3|2x/5

圆心他5)到直线以_,-3・0的距离均为出=

圆心到直线2x—y-3=0的距离均为]=申=也;

石5

所以，圆心到直线2x-y-3=0的距离为竽.

故选：B.

7.(2021•全国高考真题)已知直线/:仃+力-产=0与圆0:/+),2=/，点4a⑼，则下列说法正确的

是()

A.若点N在圆。上，则直线,与圆C相切B.若点月在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点力在圆C外，则直线,与圆。相离D.若点力在直线，上，则直线/与圆。相切

【答案】ABD

3

【解析】圆心c(o,o)到直线/的距离〃=

若点4(。乃)在圆。上，则/+/=/,所以)=:，=巾

V6T+Z>-

则直线/与圆C相切，故A正确；

若点4(«与在圆。内，则白2+6〈产，所以d=

则直线/与圆C相离，故B正确;

若点4mb)在圆。外，则储+从>/，所以d=,<卜|,

yja-+b-

则直线/与圆C相交，故C错误；

若点在直线，上，则/+从一户=。即/+从寸2,

所以d=/,,=14直线/与圆C相切，故D正确.

yJa-+b-

故选：ABD.

8.(2021•全国高考真题)已知点尸在圆(x—5)2+(y—5)2=16上，点A(4,0)、8(0,2),则()

A.点尸到直线A8的距离小于10

B.点尸到直线的距离大于2

C.当々84最小时，归回=短

D.当NP8A最大时，|PB|=3X/5

【答案】ACD

【解析】圆(%-5)2+6-5)2=16的圆心为“(5,5),半径为4,

直线48的方程为:+]=1，即x+2y-4=0,

圆心M到直线AB的距离为色烂/二岁=">4

VI2+22V55

所以，点尸到直线A8的距离的最小值为凶-4<2,最大值为小叵+4<10,A选项正确，B选项错误:

55

如下图所示:

4

当NPBA最大或最小时，依与圆M相切，连接MQ、BM,可知

忸M|=J（0-5）2+（2-5）2=用,|明=4,由勾股定理可得忸用=｛忸〃/_|历42=34,CD选项正确.

故选：ACD.

9.（2020•海南高考真题）已知曲线C："2+〃y2=].（）

A.若卬>〃>0,则。是椭圆，其焦点在y轴上

B.若炉n>0,则。是圆，其半径为«

C.若加<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=

D.若炉0,〃>0,则。是两条直线

【答案】ACD

二£-1

【解析】对于A,若,则=i可化为工+7一,

mn

因为/n>〃>0,所以

mn

即曲线。表示焦点在>轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若m=〃>0,则〃疗+71y2=i可化为£+,2=',

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为近的圆，故B不正确；

n

,21=1

对于C,若nuivO,则小2+④2=i可化为了।-,

tnn

此时曲线C表示双曲线，

:2

由mx+ny=0可得y=±^--x,故C正确；

对于D,若7=0,〃>0,则小2+肥2=i可化为y=』，

n

y=±也，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故I）正确；

n

故选：ACD.

10.（2021•天津高考真题）若斜率为⑺的直线与>轴交于点A,与圆.一+（），-炉=|相切于点5,则

1阴=.

【答案】6

【解析】设直线A3的方程为,，=石%+〃，则点4（0力），

由于直线A8与圆炉+（），-1）2=1相切，且圆心为C（O,1）,半径为1,

5

则”=1,解得。=—i或方=3,所以kq=2,

因为|Bq=i,故卜丑=Jaq2TBef=日

故答案为：6.

11.（2020•天津高考真题）已知直线x-Qy+8=O和圆/+9=/（/>0）相交于A,B两点.若

|AB|=6,则，•的值为—

【答案】5

【解析】因为圆心（0,0）到直线x-+8=0的距离d

rtl|A5|=2j,—d2可得6=21,一42,解得r=5.

故答案为：5.

12.（2020•浙江高考真题）设直线/：），=履+"*>0）与圆.d+y2=l和圆（x-4）2+y2=i均相切，则

k=；b=______.

【答案】且—亚

33

【解析】设G：V+y2=1,C:（x-4）2+y2=l,由题意，C「G到直线的距离等于半径，即:1，

2,『

|4&+回।

所以闻=|依+4,所以4=0（舍）或者b=-2L

解得k=&=一述.

33

13.（2019•浙江高考真题）已知圆C的圆心坐标是（0,M,半径长是若直线2x-y+3=0与圆相切于

点A(-2,T),则用=_

【答窠】m=-2r=45

【解析】可知L=-g=AC:y+l=-ga+2）,把（0,加）代入得加二一2,此时r=|4C|="H'=石.

第二部分模拟训练

一、单选题

1.已知圆C:V+y2=]6,过点P（8,0）的动直线/与圆C相交于A,B两点、,线段48的中点为M，

则M的轨迹的长度为。

4花4G兀

A.8兀B.—

33

6

【答案】B

【解析】设点M(x,y),

•・•点M是线段A3的中点，

OM=(x,y),MP=(S-x-y)f

即X(8-同一/=0,化简得：(%一4)2+丁=16，

所以点M是以(4,0)为圆心，尸=4为半径的圆，并且在圆C:f+y2=16的圆的内部,

\DM\1

如图，七/垂直平分QM,指才=],.•.NEM£>=60'，即NEWF=120，

Ix乃

M的轨迹的长度为二x2;zr=—

33

故选：B

2.已知圆C：(x+l)2+(y-l)2=l,P是直线工一丁一1=0的一点，过点P作圆。的切线，切点为

4,8,则|尸。|・卜司的最小值为()

A.V14B.2币C.30D.y/n

【答案】A

【解析】圆C：(x+l)2+(y—l)2=l的圆心为C(一1,1),半径〃=1，

设四边形P4CB的面积为S，

由题设及圆的切线性质得，归。卜|4却=25=2・25寸M=4・：|如卜|4。，

•・・图=r=1,

A|PC|-|AB|=2\PA\=2yj\PC^-r2=2^\PC^-i，

圆心。(一U)到直线X—y-l=o的距离为d=孚，

・・.|PC|的最小值为半，

7

则的最小值为2

故选：A

3.已知产是曲线C：尤+而二了=0上的点，。是直线x—y—1=0上的一点，贝1］归。的最小值为

A.逑B.V2-1C.乎一1D.孝

2

【答案】D

【解析】由x+j2y—/=0得,/+（）,_1）2=1（.0）,.•.曲线。是圆心为（0」），半径尸二1的左半

^,_|0xl-0xl-l|_V2

圆，曲线C上的点到到直线x-），-1=0的最小距离为原点到直线的距离,“=#+(-1尸F

所以|PQ|的最小值为日.

故选：D

4.过点A（肛誓3）向圆c：x2+y2-2x+4），+4=0作切线，切点为B,若|蝴之九恒成立，则实数

4的最大值为（）

A.GB.&C.2百D.2五

【答案】D

【解析】由丁+、2-2工+4），+4=0得。-1）2+（），+2）2=1,

即圆C的圆心坐标为C0,-2）,半径为厂=1,

根据题意可得：|AB|二J|4CT—r2=lAC|2—i，因此|Aq最小时，I4B|取得最小值1ABlm；为使

|明之九恒成立，只需|AB1mhiN/L

又点46,4，；+5］在直线4工一3丁+5=0」：,记点。（1,一2）到直线4x-3y+5=0的距离为

匕+6+5|_3

742+(-3)2

则|AC|2d=3,所以|48巨20，则2W20，即实数4的最大值为2a•

故选：D.

5.在平面直角坐标系xOy中，点A（0,3）与动点尸满足|尸川=2|。"，M为直线/：y=2x+4上的动

8

点，则当取得最小值时，直线AM的方程为()

A.34-2y+6=0B.3x+2y-6=0

C.x+2y+3=0D.x-2y—3=0

【答案】A

【解析】设动点P(x,y)，则由|削=可得JJ+(口一3『=+丁,

整理得f+()，+1)2=4,即动点P的轨迹是以。(0,—1)为圆心，以2为半径的圆.

过点C(0,-1)且与直线I的垂直的方程为y=

x=-2

与/：y=2x+4联立，解得〈八，

y=0

即当点M的坐标为(-2,0)时，|CM|取得最小值，则取得最小值，

此时直线AM的方程为3x—2y+6=0.

故选：A

6.已知直线/：y=x+l与圆E：工2+丁+2%一2丁-1=0相交于不同两点A,C,位于直线/异侧两点

B,。都在圆上上运动，则四边形ABCD面积的最大值为()

A,而B.2痴C.底D.2病

【答案】A

【解析】圆E：/+/+2%一2丁一1=0可以化为标准方程(x+l)2+(y-l)2=3,

则其圆心为半径r二百，

则直线/与圆心的距离〃=目=臼=也,

412

故由勾股定理可得半弦长为与1=>/7牙=.石)2一'等)=卓，

所以|AC|=&5.

又B，。两点位于直线/异侧且都在圆/?上运动，

所以四边形ABCD的面积可以看作是AABC和AACD的面积之和，

则当3力为弦AC的垂直平分线(即为圆的直径)时，两三角形的面积之和最大,

即四边形A8CD的面积最大，

最大面积S=AC|x忸。|=病.

9

故选：A.

二、填空题

7.已知圆M:/+y2-]2X_[4)，+60=0,圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6

上，则圆N的标准方程为________.

【答案】。-6)2+(>一1)2=1

【解析】圆的标准方程为6)2+()，-7>=25,所以圆心M(6,7),半径为5.

由圆心N在直线冗=6上，可设N(6,%).

因为N与x轴相切，与圆M外切，

于是圆N的半径为光,从而7-%=5+%,解得%=1.

因此，圆N的标准方程为(x—6)2+(y—l)2=l.

故答案为：(%-6)2+(>-1)2二1

8.已知平面内非零向量5,方，c,满足什=2,|同=3,75=3，若^一涕.18=0，则归一万|的

取值范围是_____