2025年高考数学必刷题分类：第34讲、三角形中最值与范围（教师版）

第34讲三角形中最值与范围

知识梳理

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解

决这类问题，通常有下列五种解题技巧：

（1）利用基本不等式求范围或最值；

（2）利用三角函数求范围或最值；

（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；

（4）根据三角形解的个数求范围或最值；

（5）利用二次函数求范围或最值．

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）

的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中

的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找

完善，避免结果的范围过大．

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

（1）求角的最值；

（2）求边和周长的最值及范围；

（3）求面积的最值和范围．

必考题型全归纳

题型一：周长问题

例1．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

a2b2c2acosBbcosAabc．

(1)求C；

(2)若ABC为锐角三角形，c2，求ABC周长范围．

【解析】（1）在ABC中，由射影定理得acosBbcosAc，

则题述条件化简为a2b2c2ab，

由余弦定理得a2b2c22abcosC．

1

可得cosC,C0,π,

2

π

所以C.

3

（2）在ABC中，

abc243

由正弦定理得π，

sinAsinBsinCsin3

3

43432π

则周长，

ABCCABCab22(sinAsinB)2sinAsinA

333

2πππ

因为sinAsinA3sinA，则CABC24sinA，

366

2π

因为ABC为锐角三角形，AB，

3

ππππ2π

则得A,,A,，

62633

π3

故sinA,1,C(223,6]．

ABC

62

例2．（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，a23，

(2bc)cosAacosC，

（1）求角A；

（2）求△ABC的周长l的范围.

【解析】（1）∵(2bc)cosAacosC，

2bcosAacosCccosA，

所以2sinBcosAsinAcosCsinCcosA，

所以2sinBcosAsin(AC)，

所以2sinBcosAsinB，

1

因为sinB0，所以cosA，

2

A0,，所以A.

23

a23

4

（2）sinA3，

2

bc2

所以4,所以b4sinB，c4sinC4sin(B)，

sinBsinC3

2

所以labc234sinB4sin(B)236sinB23cosB

3

2343sin(B)

6

0B

2

因为△ABC是锐角三角形，且A，所以，解得B，

3262

0B

32

23

所以B(,)，所以sin(B)(,1]，

63362

所以l(623,63].

BC

例3．（2024·全国·高三专题练习）在①2S3ABAC；②2cos21cos2A；③

2

c3asinCccosA；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

在锐角ABC中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且______

(1)求角A的大小；

(2)若a3，求ABC周长的范围．

【解析】（1）选①，由2S3ABAC可得cbsinA3cbcosA，

π

A0,π，则sinA3cosA0，可得tanA3，A；

3

BC

选②，由2cos21cos2A可得1cosBC1cos2A，

2

2

即cosπA2cosA1，即2cos2AcosA10，

1π

0Aπ，则1cosA1，故cosA，A；

23

选③，由c3asinCccosA及正弦定理可得3sinAsinCsinCcosAsinC，

π

A、C0,π，则sinC0，所以，3sinAcosA2sinA1，

6

π1

故sinA，

62

ππ5ππππ

A，A，因此，A.

666663

abc

（2）由正弦定理可得2，则b2sinB，c2sinC，

sinAsinBsinC

π

abc32sinB2sinC32sinB2sinB

3

π

3sinB3cosB323sinB3，

6

π

0<B<

2ππ

因为ABC为锐角三角形，则，可得B，

π62

A+B>

2

ππ2π3π

所以，B，则sinB1，

36326

π

故abc23sinB333,33.

6

变式1．（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，

c，且cbacosBbcosA.

(1)求角A的大小；

(2)若a1，求ABC周长的范围.

【解析】（1）由正弦定理得：sinCsinBsinAcosBsinBcosA，

C(AB)，sin(AB)sinBsinAcosBsinBcosA，

sinAcosBsinBcosAsinBsinAcosBsinBcosA，2sinBcosAsinB0

1

sinB0，cosA，A(0,)，A.

223

bca232323

（2）由正弦定理：，则bsinB，csinC，

sinBsinCsinA333

2232

CB，csinB，

333

232

ABC周长为abc1sinBsinB

33

2322

1sinBsincosBcossinB

333

2333

1sinBcosB

322

12sinB，

6

2

又锐角ABC，0B,0C，结合CB

223

23

B，B，sinB1，1312sinB3，即

62363266

ABC周长的范围是(13,3].

变式2．（2024·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）ABC的内角A，B，C的对边分别

为a，b，c且满足a2，acosB2cbcosA．

(1)求角A的大小；

(2)求ABC周长的范围．

a2c2b2b2c2a2

【解析】（1）由余弦定理a2cb，即b2c2a2bc，

2ac2bc

b2c2a21π

所以cosA，因为0Aπ，所以A．

2bc23

bc243

4343

（2）由正弦定理：sinBsinC33，则bsinB，csinC，

33

2

2π43432π

由（1）BC，故abc2sinBsinC2sinBsinB

3333

43314333π

2sinBcosBsinB2sinBcosB24sinB

3223226

2πππ5π1π

因为0BB，则sinB1，

366626

所以4abc6，即周长范围是4,6．

题型二：面积问题

例4．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

且m2sinx,3，ncosx,cos2x，fxmn，fBC0．

(1)求角A的值；

(2)若b1，求ABC面积的范围．

【解析】(1)∵m2sinx,3，ncosx,cos2x，fxmn，

∴fx2sinxcosx3cos2x

π

sin2x3cos2x2sin2x．

3

π

又fBC0，∴sin2BC0．又ABC为锐角三角形，

3

π5ππ

∴2BC2π或∴BC或（舍去），∴A．

3636

abc

(2)由正弦定理知，

sinAsinBsinC

π1

又∵b1，A，∴a，

62sinB

π

sinB31cosB311

∴16．

SabsinC88sinB88tanB

24sinB

B0,

2ππ33

故得到：B，∴S，

53286

B0,

62

33

∴ABC面积的范围为,

86

例5．（2024·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形

ABCD内种植了两种花卉，其中△ABD区域内种植兰花，△BCD区域内种植丁香花，对角

线BD是一条观赏小道．测量可知边界AB60m，BC20m，ADCD40m．

（1）求观赏小道BD的长及种植区域ABCD的面积；

（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，

使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四

边形PBCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．

402602x2

【解析】（1）设BDxcm，则由余弦定理得cosA，

24060

402202x2

cosC．

24020

由四边形ABCD是圆内接四边形得AC180，

402602x2402202x2

故cosAcosC0，即0，

2406024020

解得x207（负值舍去），即BD207cm．

1

从而cosA，所以A60，C120，

2

11

故S4060sin604020sin1208003．

ABCD22

答：观赏小道BD的长为207m，种植区域ABCD的面积为8003m2．

（2）由（1）及“同弧所对的圆周角相等”得PA60．

设PDmcm，PBncmm,n0，

13

则SmnsinPmn．

BDP24

在△BDP中，由余弦定理有

2434

2222，

207mn2mncosPmnmnmnmnSBDP

343

故（当且仅当时等号成立）．

SBDP7003mn207

1

而S4020sin1202003，

BCD2

因此，种植区域改造后的新区域PBCD的面积的最大值为9003cm2．

答：当△BDP为等边三角形时，新区域PBCD的面积最大，最大值为9003m2．

例6．（2024·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC

的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：4Sb2c2a2，

且______，求△ABC的面积的值（或最大值）．

1

【解析】∵4S4bcsinA2bcsinAb2c2a2，

2

b2c2a2

∴sinAcosA，tanA1

2bc

∵A(0,)，∴A，

4

选择条件①：当a＝2时，根据余弦定理，a2b2c22bccosA4，∴b2c242bccosA，

∵b2c242bc2bc(a0,b0)，

4

∴bc422（当且仅当b＝c422时取等），

22

12

∴S(422)21；

max22

选择条件②：当a＝b＝2时，∵a2b2c22bccosA4c222c4，

112

∴c22，∴SbcsinA2222；

222

112

选择条件③：当b＝c＝2，SbcsinA222．

222

变式3．（2024·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三

角形空地ABO，其中OA3km，OB33km，AOB90．物业管理部门拟在中间开挖

一个三角形人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N均不与AB重合，M在A，N

之间），且MON30．

(1)若M在距离A点1km处，求点M，N之间的距离；

(2)设BON，

①求出OMN的面积S关于的表达式；

②为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小，试确定的值，使OMN得面

积最小，并求出这个最小面积．

【解析】（1）∵AM1，OA3，OB33，AOB90，∴AB6，A60，

17191

∴由余弦定理OM912317，cosAMO，

227127

33

sinAMO，

27

33311105

∴sinONMsin(AMOMON)．

2722724727

MNOM2717

在△MON中MN7．

sin30sinONM525

π

（2）①∵BON，∴ONM，

6

33

ON33

在△BON中，ON2，

πππ

sinsinsin

666

33

MN

在△MON中，2，

πππ

sinsinsin

663

∴

3333

MN

π3113

4sinsin4sincossincos

632222

3333

，

3sin23cos24sincos32sin2

33333

又ABO中AB边上的高为km，

62

1333327π

∴S，0<θ<．

2232sin24(32sin2)3

π2727(23)

②当sin21，时，S△OMN最小且SOMN．

4min4(32)4

3

变式4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，SBABC,BC3．

ABC2

（1）D为线段BC上一点，且CD2BD,AD1，求AC长度；

（2）若ABC为锐角三角形，求ABC面积的范围．

13

【解析】（1）在ABC中，依题意得：BABCsinBBABCcosB，

22

13

则有sinBcosB，于是得tanB3，而B(0,)，则B，

223

又BC3,CD2BD，则BD1,CD2，

2

在△ABD中AD1，从而得等边△ABD，即ADB，ADC，

33

在△ADC中由余弦定理AC2AD2CD22ADCDcosADC得

2

AC22212221cos7，解得AC7；

3

ABBC

（2）在ABC中，BC3，设BAC，由正弦定理得：

sinCsinA

231

3sin()3(cossin)

3sinC131，

AB3223()

sinsinsin22tan

193131

于是得SBABCsinB()，

ABC2422tan

2

因ABC是锐角三角形，则0，且0，

232

311131

于是有，则tan，即03，2，

623tan222tan

9393

从而得S，

8ABC2

9393

所以ABC面积的取值范围是(,)．

82

变式5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为

asinB

a，b，c，且3.

bcosA

（1）若a25，b2，求c的大小；

（2）若b2，且C是钝角，求ABC面积的大小范围.

asinB

【解析】（1）在ABC中，3，由正弦定理得sinAsinB3sinBcosA.

bcosA

∵0B，∴sinB0，∴sinA3cosA，

sinA

∴tanA3.

cosA

又∵0A，∴A.

3

21

在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA，即204c4c，

2

解得c117（舍去），c117.

∴c117.

（2）由（1）知A，

3

13

∴S△bcsinAc.

ABC22

2π

cb2sinB

由正弦定理，得，∴bsinC33.

sinCsinBc1

sinBsinBtanB

∵A，C为钝角，∴0B，

36

3

∴0tanB，∴c4，

3

∴S△ABC23.

即ABC面积的大小范围是23,.

题型三：长度问题

例7．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角ABC内角A，B，C的对

边分别为a，b，c.若bsinBcsinCbasinA.

(1)求C；

(2)若c3，求ab的范围.

【解析】（1）由正弦定理，bsinBcsinCbasinA

22

bcbaac2a2b2ab

1π

又c2a2b22abcosC，得cosCC；

23

（2）因为c3，

cab

所以2，

sinCsinAsinB

πππ

ab2sinAsinB2sinAsinπA2sinAsinA2sinA，因为三

333

角形ABC为锐角三角形，

π

0A

2ππ

所以，解得A，

2ππ62

0BA

32

π

令tA，所以t,，1ab2sinA2sint1，

3663

所以ab1,1.

例8．（2024·福建莆田·高三校考期中）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，

sinB

b23，2casinCb2c2a2

b

(1)求角B﹔

(2)求2ac的范围．

sinB

【解析】（1）2casinCb2c2a22cacb2c2a2c2a2b2ac，

b

a2c2b21

又cosB，所以cosB，因为B0,，所以B.

2ac23

bac23

4

（2）在ABC中，由（1）及b23，得sinBsinAsinC3，

2

故a4sinA,c4sinC，

2

2ac8sinA4sinC8sinA4sinA8sinA23cosA2sinA

3

6sinA23cosA43sinA，

6

2

因为0A，则A，

3662

1

sinA1,2343sinA43﹒

266

所以2ac的范围为23,43.

例9．（2024·重庆江北·高三校考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，

2C2A3

c，且acosccos(acb)ac.

222

（1）求角B的大小；

（2）若b23，cx(x0)，当ABC仅有一解时，写出x的范围，并求ac的取值范围.

2C2Aa(1cosC)c(1cosA)

【解析】（1）acosccos(acb)(acb)

2222

ac(acosCccosA)(acb)(acb)a2c2b22ac3

(acb)ac，即

2222

a2c2b2ac，

a2c2b21

cosB，

2ac2

0B，

B.

3

cbx

（2）根据题意，由正弦定理得，则sinC，

sinCsinB4

ABC仅有一解，

xx3

sinC1或sinCsinB，即=1或0，

442

x4或0x23，

当x4时，C,A，所以c4,a2，所以ac2；

26

acb

当0x23时，由正弦定理得4，

sinAsinCsinB

ac4(sinAsinC)4sinCsinC

3

13

4sinCcosC4sinC，

223

0C，

3

C0，

33

3

sinC0，

23

4sinC0,23，即ac0,23，

3

综上，ac20,23.

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

满足条件；a4，sin2AsinBsinCsin2Bsin2C．

（I）求角A的值；

（Ⅱ）求2bc的范围．

【解析】（I）由sin2AsinBsinCsin2Bsin2C，

利用正弦定理可得a2bcb2c2，即bcb2c2a2

b2c2a2bc1

故cosA，

2bc2bc2

又A(0,)，A

3

abc483

（Ⅱ）a4，A，利用正弦定理

3sinAsinBsinC33

2

838383

故bsinB，csinCsin(B)

3333

83831638331

2bc2sinBsin(B)sinBcosB+sinB

3333322

16343

sinB4cosBsinB43sinB4cosB8sinB

336

2

在ABC中，A，故0B

33

1

B，sinB1，48sinB8

662266

所以2bc的范围是4,8

变式7．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边

(abc)(abc)3ab.

（1）求角C的值；

（2）若c2，且ABC为锐角三角形，求2ab的范围.

【解析】（1）由题意知(abc)(abc)3ab，∴a2b2c2ab，

a2b2c21

由余弦定理可知，cosC，

2ab2

又∵C(0,)，∴C.

3

ab24

3

（2）由正弦定理可知，，

sinAsinBsin3

3

44

即a3sinA,b3sinB，

33

∴

848428323

2ab3sinA3sinB3sinA3sin(A)sinA2cosAsinA

3333333

6331

sinA2cosA4(sinAcosA)4sin(A)，

3226

0A

2

又∵ABC为锐角三角形，∴，则A即0A，

26263

0BA

32

3

所以，0sin(A)即04sin(A-)23，

626

综上2ab的取值范围为(0,23).

变式8．（2024·山西运城·统考模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

sin(AB)ab

（1）求证：；

sinAsinBc

（2）若ABC是锐角三角形，AB,ab2，求c的范围.

3

sin(AB)sinAcosBcosAsinB

【解析】（1）由两角差的正弦公式，可得，

sinAsinBsinAsinB

又由正弦定理和余弦定理，可得

a2c2b2b2c2a2

sinAcosBcosAsinBab

2ac2bc

sinAsinB

ab

2a22b2(ab)(ab)ab

，

2c(ab)c(ab)c

sin(AB)ab

所以

sinAsinBc

(ab)(sinAsinB)4

（2）由（1）知c(sinAsinB)

sin(AB)3

4433

sinBsinBsinBcosB

33322

31

4sinBcosB4sinB

226

因为ABC是锐角三角形，所以AB，可得0B，

326

又由AB，可得BB，所以B，所以B，

23212463

23

所以sinB，可得22c23，符合cab2.

262

所以实数c的取值范围是(22,23).

变式9．（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

c，已知asinCccosA.

6

（1）求角A的大小；

（2）设H为ABC的垂心，且AH1，求BHCH的范围.

【解析】（1）由asinCccosA，结合正弦定理得

6

sinAcosA，

6

整理得sinA0，

3

又A为锐角，故A.

3

（2）由ABC是锐角三角形，则垂心H必在ABC内部，

不妨设BAH，则0,.

3

由H为ABC的垂心，则ABHACH.

6

在ABH中使用正弦定理得，

AHBH

，整理得：BH2sin.

sinABHsinBAH

同理在ACH中使用正弦定理得，CH2sin.

3

BHCH2sin2sin2sin，

33

结合0,

3

可得BHCH3,2.

题型四：转化为角范围问题

例10．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，

c，且(ab)(sinAsinB)(cb)sinC.

(1)求A；

(2)求cosBcosC的取值范围.

【解析】（1）因为absinAsinBcbsinC，

所以ababcbc，即a