2025年高考数学必刷题分类：第23讲、不等式恒成立（学生版）

第23讲不等式恒成立

知识梳理

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取

值范围；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少

碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问

题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（），；

1xDmfxmfxmin

（），；

2xDmfxmfxmax

（），；

3xDmfxmfxmax

（），．

4xDmfxmfxmin

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数yfx，xa,b，ygx，xc,d．

（）若，，有成立，则；

1x1a,bx2c,dfx1gx2fxmaxgxmin

（）若，，有成立，则；

2x1a,bx2c,dfx1gx2fxmaxgxmax

（）若，，有成立，则；

3x1a,bx2c,dfx1gx2fxmingxmax

（4）若x1a,b，x2c,d，有fx1gx2成立，则fx的值域是gx的值域

的子集．

4、法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

（）limfx0及limgx0；

1xaxa

（2）在点a的去心邻域a,aa,a内，f(x)与g(x)可导且g(x)0；

fx

（3）liml，

xagx

fxfx

那么lim=liml．

xagxxagx

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：（1）limfx0及limgx0；

xx

（2）A0，f(x)和g(x)在,A与A,上可导，且g(x)0；

fx

（3）liml，

xgx

fxfx

那么lim=liml．

xgxxgx

法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

（1）limfx及limgx；

xaxa

（2）在点a的去心邻域a,aa,a内，f(x)与g(x)可导且g(x)0；

fx

（3）liml，

xagx

fxfx

那么lim=liml．

xagxxagx

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

（1）将上面公式中的xa，x,x，xa，xa洛必达法则也

成立．

000

（2）洛必达法则可处理，，0，，，，型．

010

000

（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，0，，，，

010

型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，

这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．

（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．

fxfxfx

limlimlim，如满足条件，可继续使用洛必达法则．

xagxxagxxagx

必考题型全归纳

题型一：直接法

例1．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数

1

fxx2aexaR.

2

(1)已知函数fx在0,f0处的切线与圆x2y22x2y30相切，求实数a的值.

(2)已知x0时，fxx2axa恒成立，求实数a的取值范围.

例2．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数fxexa,gxlnxa，

其中aR．

(1)讨论方程fxx实数解的个数；

(2)当x1时，不等式fxgx恒成立，求a的取值范围．

sinxπ

例3．（2024·全国·统考高考真题）已知函数fxax,x0,．

cos2x2

(1)当a1时，讨论fx的单调性；

(2)若fxsinx0，求a的取值范围．

变式1．（2024·河南·襄城高中校联考三模）已知函数fxmlnx，gxex1．

(1)若曲线yfx在1,0处的切线与曲线ygx相交于不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2，

Mx,y

曲线ygx在A，B点处的切线交于点00，求x1x2x0的值；

(2)当曲线yfx在1,0处的切线与曲线ygx相切时，若x1,，

fxegxa1eaex恒成立，求a的取值范围．

题型二：端点恒成立

例4．（2024·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数

1π13

fxsinxxcosx0x,gxfxsinxax．

222

π

(1)求fx在x处的切线方程；

2

(2)若任意x0,，不等式gx0恒成立，求实数a的取值范围．

例5．（2024·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数

f(x)xlnxax21．

(1)当a0时，求函数fx在点1,f1处的切线方程；

(2)若函数yfx在x1处取得极值，求实数a的值；

(3)若不等式fx0对x[1,)恒成立，求实数a的取值范围．

ax

例6．（2024·湖南·校联考模拟预测）已知函数fxln1x,gx,f'x与g'x分别

ex

是fx与gx的导函数.

(1)证明:当a1时,方程f'xg'x在1,0上有且仅有一个实数根;

(2)若对任意的x0,,不等式fxgx恒成立,求实数a的取值范围.

1

变式2．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数fxax3x，函数

3

gxex2xsinx.

(1)求函数gx的单调区间；

(2)记Fxgxfx，对任意的x0，Fx0恒成立，求实数a的取值范围.

sinx

变式3．（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数fx．

ex

(1)讨论fx在0,π上的单调性；

π

(2)若对于任意x0,，若函数fxkx恒成立，求实数k的取值范围．

2

变式4．（2024·四川泸州·统考三模）已知函数fxx1exax2．

(1)若fx单调递增，求a的取值范围；

(2)若x0，fxsinxcosx，求a的取值范围．

题型三：端点不成立

例7．（2024·重庆·统考模拟预测）已知函数f(x)alnxx(a0)．

(1)讨论函数f(x)的极值；

xa

(2)当x0时，不等式2f(x)sin[f(x)]1恒成立，求a的取值范围．

ex

例8．（2024·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）已知函数

f(x)lnxlna(a1)x2(a0)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若不等式ex2f(x)恒成立，求实数a的取值范围．

lnx

例9．（2024·江西·校联考模拟预测）已知函数fxx1．

x

(1)求fx的单调区间；

1

(2)若对于任意的x0,，fxxaex恒成立，求实数a的最小值．

x

变式5．（2024·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数fxaxlnx，

aR．

1

(1)若a，求函数fx的最小值及取得最小值时的x值；

e

(2)若函数fxxexa1lnx对x0,恒成立，求实数a的取值范围．

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxex1alnx，其中aR．

(1)当a1时，讨论fx的单调性；

(2)当x0,π时，2fx1cosx≥1恒成立，求实数a的取值范围．

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

2x22

例10．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数fxlnaxx.

aa

(1)若a0,fx的极大值为3，求实数a的值；

x22

(2)若x0,,fxaxea1xx，求实数a的取值范围.

a

例11．（2024·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数fxexax，x0且aR．

(1)求函数fx的单调性；

(2)若fxx21恒成立，求实数a的取值范围．

例12．（2024·河北·模拟预测）已知函数fxeaexxaR.

(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若存在实数a，使得关于x的不等式fxa恒成立，求实数的取值范围.

x1π

变式7．（2024·福建三明·高三统考期末）已知函数fxsinx，xπ,.

ex2

π

(1)求证：fx在π,上单调递增；

2

x

(2)当π,0时，fxsinxecosx≤ksinx恒成立，求k的取值范围.

变式8．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数fxkx2ex1，fx

为fx的导函数．

(1)讨论fx的极值；

(2)当x1时，fxxex，求k的取值范围．

变式9．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知f(x)lnxkx1(kR)，

g(x)x(ex2).

(1)求f(x)的极值；

(2)若g(x)f(x)，求实数k的取值范围.

lnx1

变式10．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知函数fx.

x2

(1)求函数fx的极值点个数；

23m

(2)若不等式x1fx1m1在1,上恒成立，求m可取的最大整数值.

x

变式11．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知函数fxa1exaxaR．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若x0,fxx2x1，求实数a的取值范围．

题型五：洛必达法则

1

例13．已知函数f(x)=alnxbx(a,bR)在x处取得极值，且曲线yf(x)在

2

点(1,f(1))处的切线与直线xy10垂直.

(1)求实数a,b的值；

m

(2)若x[1,)，不等式f(x)(m2)x恒成立，求实数m的取值范围.

x

x

例14．设函数f(x)1ex.当x0时，f(x)，求a的取值范围.

ax1

sinx

例15．设函数f(x)．如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值

2cosx

范围．

2sin2x2xsinx2sinx(sinxx)

题型六：同构法

例16．（2024·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数

1

fxex,gx.

x

(1)若hxfxmgxmR，判断hx的零点个数；

a1

(2)当x0时，不等式exfxlnx2恒成立，求实数a的取值范围.

gx

例17．（2024·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函数fxaeaxaa0，

1

gx2xlnx.

x

(1)若fx在点0，f0处的切线与gx在点(1,g(1))处的切线互相平行，求实数a的值；

(2)若对x0，fxgx恒成立，求实数a的取值范围.

例18．（2024·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若

x0,，memxlnx成立，则实数m的最小值是________．

变式12．（2024·广西柳州·统考三模）已知fxxex，gxxaalnx（a0），若

fxgx在x1,上恒成立，则实数a的最小值为（）

e

A．2eB．eC．eD．

2

变式13．（2024·广东佛山·统考模拟预测）已知函数fxxae2x，其中aR.

(1)讨论函数fx极值点的个数；

(2)对任意的x0，都有fxlnx1，求实数a的取值范围.

变式14．（2024·海南·校考模拟预测）已知a0，函数fxxexax.

(1)当a1时，求曲线yfx在x1处的切线方程；

(2)若fxlnxx1恒成立，求实数a的取值范围.

ax1

变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx．

ex

(1)求fx的单调区间；

32lnx

(2)若fx2x，求a的取值范围．

ex

变式16．（2024·广东佛山·校考模拟预测）已知函数fxexalnax11，其中a0，

x0.

(1)当a1时，求函数fx的零点；

(2)若函数fx0恒成立，求a的取值范围.

ex1

变式17．（2024·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数fxlnxlna.

a

1

(1)当a时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

e

(2)若fx10，求实数a的取值范围.

题型七：必要性探路

e2x

例19．（2024·江西九江·统考三模）已知函数fxaR

ax1

(1)讨论f(x)的单调性：

(2)当a2时，若x0，fxln12xmx1，求实数m的取值范围．

例20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxlnx1axa0．

2

(1)若函数gxfxa在0,e1上有且仅有2个零点，求a的取值范围；

(2)若fxa²exax1恒成立，求a的取值范围．

exe

例21．（2024·江西九江·统考三模）已知函数f(x)(a0)）在x1处的切线斜率为.

ax14

(1)求a的值；

(2)若x1，f(x1)lnxm(x1)1，求实数m的取值范围.

变式18．（2024·福建厦门·统考模拟预测）已知函数fxex12cosx3asinx．

(1)当a1时，讨论fx在区间0,上的单调性；

3π

(2)若x,,fx0，求a的值．

4

变式19．（2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知函数fxeaxsinxcosx．

π1

(1)若a1，x，求证：Fxfxx1有且仅有一个零点；

43

(2)若对任意x0，fx0恒成立，求实数a的取值范围．

题型八：max，min函数问题

1

例22．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx1exx21，g(x)sinxax，其

2

中aR.

(1)证明：当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；

(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值，记F(x)max{f(x),g(x)}.是否存在实数a，对任意的

xR，F(x)0恒成立.若存在，求出a，若不存在，请说明理由.

1

例23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)(x1)exx21，g(x)sinxax，其

2

中aR.

（1）证明：当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；

（2）用max{m,n}表示m，n中的最大值，记F(x)max{f(x),g(x)}.是否存在实数a，对任

意的xR，F(x)0恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.

11

例24．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)(x2)ex1x2x，

22

g(x)axsinxln(x1)，其中aR.

（1）证明：当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；

（2）用max{m,n}表示m，n中的最大值，记F(x)max{f(x),g(x)}.是否存在实数a，对任

意的xR，F(x)0恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.

变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx2xxlnx，gxx33axe.

（1）证明fx0恒成立；

fx

（2）用maxm,n表示m，n中的最大值.已知函数hxx2，记函数

x

xmaxhx,gx，若函数x在0,上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

变式21．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知e是自然对数的底数，函数

ax21

fx，直线yx为曲线yfx的切线，gxx1lnx.

exe

(1)求a的值；

(2)①判断Fxfxgx的零点个数；

m,mn,

②定义minm,n函数mxminfx,gx.hxmxtx2在0,上单

n,mn,

调递增.求实数t的取值范围.

变式22．（2024·全国·高三专题练习）设函数fxx2ex,gxxlnx.

（1）若Fxfxgx，证明：Fx在(0,+¥)上存在唯一零点；

（2）设函数hxminfx,gx，（mina,b表示a,b中的较小值），若hx，求的

取值范围.

题型九：构造函数技巧

例25．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxmxlnx1，m0．

（1）讨论函数fx的单调性；

2

（2）若gxx2x，且关于x的不等式fxgx在0,上恒成立，其中e是自然

e

对数的底数，求实数m的取值范围．

例26．（2024·江苏·统考高考真题）已知关于x的函数yf(x),yg(x)与

h(x)kxb(k,bR)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x)．

（1）若fxx22x，gxx22x，D(，)，求h(x)的表达式；

（2）若f(x)x2x1，g(x)klnx，h(x)kxk,D(0，)，求k的取值范围；

（3）若

fxx42x2，gx4x28，hx4t3tx3t42t2(0t2，)

，

Dm,n2,2求证：nm7．

例27．（2024·湖北·统考模拟预测）已知函数fxxexlnx1.

(1)求函数fx在x1处的切线方程；

(2)若不等式fxaxaR恒成立，求实数a的取值范围.

变式23．（2024·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知函数

fxexeaalnx.

(1)当a1时，求fx的单调递增区间；

(2)若fx0恒成立，求a的取值范围.

变式24．（2024·福建泉州·统考模拟预测）已知函数fxaxexlnx1．

(1)判断fx的导函数fx的零点个数；

(2)若fx2lna3ln23，求a的取值范围．

变式25．（2024·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数fxlnx2ax1，

gxxex1（e为自然对数的底数）．

(1)若函数fx的最大值为0，求a的值；

(2)若对于任意正数x，fxgx恒成立，求实数a的取值范围．

ax1

变式26．（2024·重庆万州·统考模拟预测）已知函数f(x)(aR)．

ex

(1)讨论fx的极值；

1

(2)当a1时，关于x的不等式1mxln(x1)在0,上恒成立，求实数m的取值

f(x)

范围．

1

变式27．（2024·四川·校联考模拟预测）已知函数fxx2aex2x1(a0)的导函数为

2

fx.

(1)当a1时，求函数fx的极值点的个数；

a

(2)若fxxln1恒成立，求实数a的取值范围.

x1

xx2

变式28．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知函数fxe2ea与gxxx1的

图象有公切线ymx1.

(1)求实数m和a的值；

x1x2

(2)若ee3，且fx1fx23x1x2k，求实数k的最大值.

题型十：双变量最值问题

例28．（2024·江苏·统考模拟预测）已知fxmxn，gxlnx，对于x0,，

fxgx恒成立，则m2n的最小值为（）

A．ln2B．－1C．ln4D．－2

例29．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)lnx，g(x)ax2bx1，其中a,bR．

（1）当a0时，直线yg(x)与函数yf(x)的图象相切，求b的值；