2025年高考数学必刷题分类：第19讲、原函数与导函数混合还原（教师版）

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第19讲原函数与导函数混合还原

知识梳理

1、对于xf(x)f(x)0(0)，构造g(x)xf(x)，

2、对于xf(x)kf(x)0(0)，构造g(x)xkf(x)

f(x)

3、对于xf(x)f(x)0(0)，构造g(x)，

x

f(x)

4、对于xf(x)kf(x)0(0)，构造g(x)

xk

5、对于f(x)f(x)0(0)，构造g(x)exf(x)，

6、对于f(x)kf(x)0(0)，构造g(x)ekxf(x)

f(x)

7、对于f(x)f(x)0(0)，构造g(x)，

ex

f(x)

8、对于f(x)kf(x)0(0)，构造g(x)

ebx

9、对于sinxf(x)cosxf(x)0(0)，构造g(x)f(x)sinx，

f(x)

10、对于sinxf(x)cosxf(x)0(0)，构造g(x)

sinx

11、对于cosxf(x)sinxf(x)0(0)，构造g(x)f(x)cosx，

f(x)

12、对于cosxf(x)sinxf(x)0(0)，构造g(x)

cosx

13、对于f(x)f(x)k(0)，构造g(x)ex[f(x)k]

f(x)

14、对于f(x)lnx0(0)，构造g(x)lnxf(x)

x

15、f(x)c[f(x)cx]；f(x)g(x)[f(x)g(x)]；f(x)g(x)[f(x)g(x)]；

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)

16、f(x)g(x)f(x)g(x)[f(x)g(x)]；[]．

g2(x)g(x)

必考题型全归纳

题型一：利用xnf(x)构造型

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例1．（安徽省马鞍山第二中学2024学年高三上学期10月段考数学试题）已知f(x)的定义

域为(0,+¥)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)xf(x)，则不等式

fx1x1fx21的解集是（）

A．(0,1)B．(2,+¥)C．(1,2)D．(1,+¥)

【答案】B

【解析】根据题意，构造函数yxf(x)，x0,，则yf(x)xf(x)0，

所以函数yxf(x)的图象在0,上单调递减.

又因为fx1x1fx21，所以(x1)f(x1)x21fx21，

所以0x1x21，解得x2或x1（舍）.

所以不等式fx1x1fx21的解集是2,.

故选：B.

例2．（河南省温县第一高级中学2024学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数fx

的定义域为0,，且满足fxxfx0（f¢(x)是fx的导函数），则不等式

x1fx21fx1的解集为（）

A．,2B．1,C．(1,2)D．(-1,2)

【答案】C

【解析】令g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0，即g(x)在0,上递增，

又x10，则x1fx21fx1等价于(x21)f(x21)(x1)f(x1)，即

g(x21)g(x1)，

x210

所以x10，解得1x2，原不等式解集为(1,2).

2

x1x1

故选：C

例3．（黑龙江省大庆实验中学2024届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知

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函数fx的定义域为0,，fx为函数fx的导函数，若x2fxxfx1，f10，

则不等式f2x3的解集为（）

A．0,2B．log23,2C．log23,D．2,

【答案】D

1

【解析】由题意得，xfxfx，

x

即，

xfxlnxc

lnxc

所以xfxlnxc，即fx，

xx

lnx

又f10，所以c=0，故fx，

x

1lnx

f(x)0，可得xe，

x2

在(0,e)上，f(x)0，f(x)单调递增；

在(e,)上，f(x)0，f(x)单调递减，

1

所以f(x)的极大值为f(e)=.简图如下：

e

所以fx0，2x31，x2.

故选：D.

变式1．（2024届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在R上的偶函数

xfxfx

yfx的导函数为yfx，当x0时，0，且f21，则不等式

x

2

f2x1的解集为（）

2x1

133

A．,,B．,

222

131113

C．,D．,,

222222

【答案】C

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xfxfx

【解析】当x0时，0，所以当x0时，xfxfx0，

x

令Fxxfx，则当x0时，Fxxfxfx0，

故Fxxfx在0,上单调递增，

又因为yfx在R上为偶函数，所以Fxxfx在R上为奇函数，

故Fxxfx在R上单调递增，因为f21，所以F22f22，

12

当x时，f2x1可变形为2x1f2x12，即F2x1F2，

22x1

313

因为Fxxfx在R上单调递增，所以2x12，解得x，故x；

222

12

当x时，f2x1可变形为2x1f2x12，即F2x1F2，

22x1

3

因为Fxxfx在R上单调递增，所以2x12，解得x，故无解.

2

213

综上不等式f2x1的解集为,.

2x122

故选：C.

变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在0,

33

上的函数fx满足2xfx+x2fx<0，f2，则关于x的不等式fx的解集为

4x2

（）

A．0,4B．2,C．4,D．0,2

【答案】D

【解析】令hxx2fx，则hx2xfxx2fx0，所以hx在0,单调递减，

33

不等式fx可以转化为x2fx422f2，即hxh2，所以0x2.

x24

故选：D.

变式3．（河南省豫北重点高中2024学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函

数fx的定义域为0,，其导函数是fx，且2fxxfxx．若f21，则不

4

等式3fxx0的解集是（）

x2

A．0,2B．2,

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22

C．0,D．,

33

【答案】B

1

【解析】构造函数gxx2fxx3，其中x0，

3

22

则gx2xfxxfxxx2fxxfxx0，

184

故函数gxx2fxx3在0,上为增函数，且g24f2，

333

414

因为x0，由3fxx0可得x2fxx3，即gxg2，解得x2.

x233

故选：B.

变式4．（广西15所名校大联考2024届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已

知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f(x),f(1)4，且3f(x)xf(x)3，则不等

3

式f(x)1的解集为（）

x3

A．(,1)(1,)B．(1,0)(0,1)C．(0,1)D．(1,)

【答案】C

【解析】设g(x)x3f(x)x3，

则g(x)在R上为奇函数，且g(0)0.

又g(x)3x2f(x)x3f(x)3x2x2[3f(x)xf(x)3]，

当x0时，g(x)0，所以g(x)在(0,)上为增函数，

因此g(x)在R上为增函数.

3

又f(1)f(1)4，当x0时，不等式f(x)1化为x3f(x)x33，

x3

即g(x)g(1)，

所以0x1；

3

当x0时，不等式f(x)1化为x3f(x)x33，即g(x)3g(1)，

x3

解得x1，故无解，

3

故不等式f(x)1的解集为(0,1).

x3

故选：C

【解题方法总结】

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1、对于xf(x)f(x)0(0)，构造g(x)xf(x)，

2、对于xf(x)kf(x)0(0)，构造g(x)xkf(x)

题型二：利用f(x)构造型

xn

例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2024学年高三上学期9月月考数学试题）已知定义

在(0,+¥)的函数fx满足：x0,,fxxfx0，其中f¢(x)为fx的导函数，

则不等式(2x3)f(x1)(x1)f2x3的解集为（）

3

A．,4B．4,

2

C．1,4D．,4

【答案】A

fxxfxfx

【解析】设gx,gx，

xx2

因为x0,,fxxfx0，

所以在(0,+¥)上g¢(x)>0，

所以gx在(0,+¥)上单调递增，

由已知，fx的定义域为(0,+¥)，

所以x10,2x30，

fx1f2x3

所以(2x3)fx1x1f(2x3)等价于，

x12x3

即g(x1)g(2x3)，

x10

3

所以2x30，解得x4，

2

x12x3

3

所以原不等式的解集是,4.

2

故选：A.

例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，

fx

若g(x)＝，则不等式g(x)<g(1)的解集是（）

x2

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A．(－∞，1)B．(－1,1)

C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)

【答案】D

【解析】因为f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，所以f(－x)＝f(x).对任意正实数x满足

xf(x)2f(x)，

所以xf(x)2f(x)0,

f(x)

因为g(x)，所以g(x)也是偶函数.

x2

xf(x)2f(x)

当x∈(0，＋∞)时，g(x)0,

x3

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减，

若g(x)<g(1)，则|x|<1(x≠0)，解得0<x<1或－1<x<0，

故g(x)<g(1)的解集是(－1,0)∪(0,1),

故选：D

例6．（江苏省苏州市2024届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数fx是定义在R上

的奇函数，f20，当x0时，有xfxfx0成立，则不等式xfx0的解集是

（）

A．，22，B．2，02，

C．，20，2D．2，

【答案】A

fx

【解析】xfxfx0成立设gx，

x

fxfxxfx

则，即x0时gx是增函数，

gx20

xx

当x2时，gxg20，此时fx0；

0x2时，gxg20，此时fx0．

又fx是奇函数，所以2x0时，fxfx0；

x<2时f(x)f(x)0

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f(x)0f(x)0

则不等式xfx0等价为或，

x0x0

可得x2或x<2，

则不等式xfx0的解集是，22，，

故选：A．

变式5．（西藏昌都市第四高级中学2024届高三一模数学试题）已知函数fx是定义在

(-ト，0)(0，+)的奇函数，当x0，时，xfxfx，则不等式

5f2x+x2f5<0的解集为（）

A．，33，B．3，00，3

C．3，00，7D．，32，7

【答案】D

fx

【解析】令gx=，

x

当x0，时，xfxfx，

xfxfx

当x0，时，gx=<0，

x2

gx在0，上单调递减；

又fx为(-ト，0)(0，+)的奇函数，

fxfxfx

gx====gx，即gx为偶函数，

xxx

gx在，0上单调递增；

又由不等式5f2x+x2f5<0得5f2x<2xf5，

f2xf5

当2x0，即x2时，不等式可化为<，即g2x<g5，

2x5

由gx在0，上单调递减得2x>5，解得x3，故x3；

f2xf5

当2x0，即x2时，不等式可化为>，即g2x>g5=g5，

2x5

由gx在，0上单调递增得2x>5，解得x7，故2x7；

[在此处键入]

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综上所述，不等式5f2x+x2f5<0的解集为：，32，7．

故选：D．

【解题方法总结】

f(x)

1、对于xf(x)f(x)0(0)，构造g(x)，

x

f(x)

2、对于xf(x)kf(x)0(0)，构造g(x)

xk

题型三：利用enxf(x)构造型

例7．（河南省2024学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数fx

满足fxfx0，且有f33，则fx3e3x的解集为（）

A．3,B．1,C．,3D．,1

【答案】A

xxxx

【解析】设Fxfxe，则Fxfxefxeefxfx0，

∴Fx在R上单调递增.

又f33，则F3f3e33e3.

∵fx3e3x等价于fxex3e3，即FxF3，

∴x3，即所求不等式的解集为3,.

故选：A.

例8．（河南省2024学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在R上的函数fx满

111x

足fxfx0，且有f1，则2的解集为（）

222fxe

A．,2B．1,

C．,1D．2,

【答案】B

xxx

x

21221

【解析】设Fxfxe2，则Fxfxefxeefxfx0，

22

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1111

所以函数Fx在R上单调递增，又f1，所以F1f1e2e2．

22

1xx11

又2fxe2等价于fxe2e2，即FxF1，所以x1，

2

即所求不等式的解集为1,．

故选：B

例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2024届高三模拟仿真数学试题）已知fx是

函数yfxxR的导函数，对于任意的xR都有fxfx1，且f02023，

则不等式exfxex2022的解集是（）

A．2022,B．,02023,

C．,0U0,D．0,

【答案】D

【解析】法一：构造特殊函数.令fx2023，则fxfx20231满足题目条件，把

xx

fx2023代入efxe2022得2023exex2022解得x0，

故选：D.

法二：构造辅助函数.令gxexfxex，则gxexfxfx10，

所以gx在R上单调递增，

又因为g0f012022，所以exfxex2022gxg0，所以x0，

故选：D.

变式6．（宁夏吴忠市2024届高三一轮联考数学试题）函数fx的定义域是R，f02，

对任意xR，fxfx1，则不等式：exfxex1的解集为（）

A．xx0B．xx0

C．xx1或x1D．xx1或0x1

【答案】A

【解析】构造函数gxexfxex1，则g0f020，

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x

gxefxfx10，则函数gx在R上单调递增，

由exfxex1可得gxexfxex10g0，可得x0，

因此，不等式exfxex1的解集为xx0.

故选：A.

【解题方法总结】

1、对于f(x)f(x)0(0)，构造g(x)exf(x)，

2、对于f(x)kf(x)0(0)，构造g(x)ekxf(x)

题型四：用f(x)构造型

enx

例10．（安徽省六安市第一中学2024学年高二下学期期末数学试题）定义在(2,2)上的函数

f(x)的导函数为fx，满足：fxe4xfx0，f1e2，且当x0时，f(x)2f(x)，

则不等式e2xf(2x)e4的解集为（）

A．(1,4)B．(2,1)C．(1,)D．(0,1)

【答案】A

fx2x4x2x

【解析】令gx，则egxeegx0可得gxgx0

e2x

fx

所以gx是(2,2)上的奇函数，

e2x

fxe2x2e2xfxfx2fx

gx，

e4xe2x

当x0时，f(x)2f(x)，所以gx0，

fx

gx是(0,2)上单调递增，

e2x

fx

所以gx是(2,2)上单调递增，

e2x

f1e2

因为g11，

e2e2

22x

由e2xf(2x)e4可得e2xeg2xe4即g2x1g1，

fx22x2

由gx是(2,2)上单调递增，可得解得：1x4，

e2x2x1

[在此处键入]

[在此处键入]

所以不等式e2xf(2x)e4的解集为(1,4)，

故选：A.

例11．（广东省汕头市2024届高三三模数学试题）已知定义在R上的函数f(x)的导函数为

1

f'(x)，且满足f'(x)f(x)0，f(2021)e2021，则不等式flnxex的解集为（）

e

A．e2021,B．0,e2021C．e2021e,D．0,e2021e

【答案】D

1

【解析】令tlnx，则xeet，

e

1ft

所以不等式flnxex等价转化为不等式fteeetet，即1

eet

ftftft

构造函数gt，则gt，

etet

ftft

由题意，gt0，所以gt为R上的增函数，

et

f2021

又f(2021)e2021，所以g20211，

e2021

ft1

所以gt1g2021，解得t2021，即lnx2021，

ete

所以0xe2021e，

故选：D.

例12．（陕西省安康市2024届高三下学期4月三模数学试题）已知函数fx的定义域为R，

且对任意xR，fxfx0恒成立，则exfx1e4f2x3的解集是（）

A．4,B．1,4

C．,3D．,4

【答案】D

fx

【解析】设gx，该函数的定义域为R，

ex

fxfx

则gx0，所以gx在R上单调递增．

ex

x4fx1f2x3

由efx1ef2x3可得，即gx1g2x3，

ex1e2x3

又gx在R上单调递增，所以x12x3，解得x4，

[在此处键入]

[在此处键入]

所以原不等式的解集是,4，

故选：D．

变式7．（新疆克拉玛依市2024届高三三模数学试题）定义在R上的函数f(x)的导函数为

11

f(x)，f(1)，对于任意的实数x均有ln3f(x)f(x)成立，且yf(x)1的图像关

32

1

于点（，1）对称，则不等式f(x)3x20的解集为（）

2

A．（1，+∞）B．（1，+∞）C．（∞，1）D．（∞，1）

【答案】A

11

【解析】因为yf(x)1的图像关于点（，1）对称，

22

所以yf(x)是奇函数，

因为对任意的实数x均有ln3f(x)f(x)成立，

所以对任意的实数x均有ln3f(x)f(x)0成立，

fx

令gx，

3x

fx3xfx3xln3fxfxln3

则gx2x0，

3x3

所以gx在R上递增，

f11

因为g1，

39

f(x)1f(x)1

又f(x)3x200gxg1，

3x93x9

所以x1，

故选：A

变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R

上的函数f(x)的导函数为f(x)，且满足fxfx,f2022e2022，则不等式

13

flnxx的解集为（）

3

A．0,e6066B．0,e2022

C．e2022,D．e6066,

【答案】A

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f(x)

【解析】由题可设F(x)，因为fxf(x)0，

ex

f(x)exf(x)exf(x)f(x)

则F(x)0，

e2xex

所以函数F(x)在R上单调递增，

1

f(2022)1flnx

又，不等式3可转化为3，

F(2022)20221flnxx

11

e3lnx

e3

1

∴Flnx1F(2022)，

3

1

所以lnx2022，解得0xe6066，

3

136066

所以不等式flnxx的解集为0,e．

3

故选：A.

变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2024学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）

1

设fx是函数fx的导函数，且fx3fxxR，fe（e为自然对数的底数），

3

则不等式flnxx3的解集为（）

11

A．0,B．,C．(0,3e)D．(3e,)

33

【答案】C

fxfx3fx

【解析】令gx，则gx，

e3xe3x

因为fx3fxxR，

fx3fx

所以gx0，

e3x

所以函数gx在R上为增函数，

flnx

3<1

不等式flnxx即不等式x3，

x>0

1

flnxflnxf

又glnx，13，

e3lnxx3g1

3e

31

所以不等式flnxx即为glnxg，

3

[在此处键入]

[在此处键入]

1

即lnx，解得0x3e，

3

所以不等式flnxx3的解集为0,3e.

故选：C.

变式10．（四川省绵阳市南山中学2024学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在R上

的可导函数fx的导函数为fx，满足fxfx，且fxf2x，f21，

则不等式fxex的解集为（）

A．,2B．2,C．1,D．0,

【答案】D

【解析】因为f(x)f(x2)，所以yf(x)的图像关于直线x1对称，所以f(0)f(2)1，

f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)

设g(x)，则g(x)，因为f(x)f(x)，所以g(x)0,

exexex

所以g(x)在R上为减函数，

f(0)

又g(0)1，因为f(x)ex，所以g(x)1,，g(x)g0，所以x0.

e0

故选：D.

变式11．（山东省烟台市2024届高三二模数学试题）已知函数fx的定义域为R，其导函

1

数为fx，且满足fxfxex，f00，则不等式e2x1fxe的解集为

e

（）．

11

A．1,B．,e

ee

C．1,1D．1,e

【答案】C

【解析】由fxfxex得exfxexfx1，即x，

efx1

可设exfxxm，

当x0时，因f00得m0，

所以fxxex，

11

e2x1fxe可化为xexe2x1e，

ee

[在此处键入]

[在此处键入]

1

即xexxexe，

e

设gxxexxex，

因gxxexxexgx，故gx为偶函数

gxexxexxexex，

当x0时，因xexxex0，exex0，

故gxexxexxexex0，所以gx在区间0,上单调递增，

因g1ee1，

1

所以当x0时gxxexxexe的解集为0,1，

e

1

又因gx为偶函数，故gxe的解集为1,1.

e

故选：C

变式12．（江西省九江十校2024届高三第二次联考数学试题）设函数f(x)的定义域为R，

其导函数为fx，且满足f(x)f(x)1，f(0)2023，则不等式exf(x)ex2022（其

中e为自然对数的底数）的解集是（）

A．(2022,)B．(,2023)C．(0,2022)D．(,0)

【答案】D

f(x)1

【解析】设g(x)，

ex

f(x)f(x)1，即f(x)f(x)10，

f(x)f(x)1

g(x)0，

ex

g(x)在R上单调递减，又f(0)2023，

f(x)1f(0)1

不等式exf(x)ex20222022f(0)1，

exe0

即g(x)g(0)，x0，

原不等式的解集为(,0).

故选：D

【解题方法总结】

[在此处键入]

[在此处键入]

f(x)

1、对于f(x)f(x)0(0)，构造g(x)，

ex

f(x)

2、对于f(x)kf(x)0(0)，构造g(x)

ebx

题型五：利用sinx、tanx与f(x)构造型

ππ

例13．（江西省2024届高三教学质量监测数学试题）定义在区间,上的可导函数fx

22

π

关于y轴对称，当x0,时，fxcosxfxsinx恒成立，则不等式

2

π

fx

2的解集为（）

fx0

tanx

πππππππ

A．,B．,C．,D．0,

4443422

【答案】C

【解析】因为fxcosxfxsinx，化简得fxcosxfxsinx0，

fxfxcosxfxsinx

构造函数Fx,Fx，

cosxcos2x

π

即当x0,时，Fx0,Fx单调递增，

2

ππ

fxfxfx

所以由22fx2，

fx0fx

tanxtanxcosxsinx

π

fx

fx2

则，

cosxπ

cosx

2

ππ

即FxFx.因为Fx为偶函数且在x0,上单调递增，

22

ππ

x,且x0

22

πππ

所以x，解得x,.

22242

π

xx

2

故选：C.

例14．（天津市南开中学2024届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数fx是定义在

[在此处键入]

[在此处键入]

πππ

,上的奇函数．当x0,时，fxfxtanx0，则不等式

222

π

cosxfxsinxfx0的解集为（）

2

ππππππ

A．,B．,0C．,D．,0

266244

【答案】D

π

【解析】当x0,时，fxfxtanx0，则cosxfxfxsinx0

2

πππ

则函数sinxfx在0,上单调递增，又可导函数fx是定义在,上的奇函数

222

πππ

则sinxfx是,上的偶函数，且在,0单调递减，

222

πππ

x

222ππππ

由，可得x,0，则x0,，x0,

ππ2222

x

22

ππ

则x,0时，不等式cosxfxsinxfx0

22

ππ

可化为sinxfxsinxfx

22

ππππ

又由函数sinxfx在0,上单调递增，且x0,，x0,，

2222

ππ

则有xx0，解之得πx0

224

故选：D

例15．函数yf(x)对任意的x,满足x2f(x)f(x)sin2xex1(其中f(x)是函

22

数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是（）

A．f3fB．3f3f

4364

5

C．23ffD．3f23f

124312

【答案】D

【解析】令F(x)f(x)tanx，

sinx