2025年高考数学必刷题分类：第22讲、双变量问题（学生版）

第22讲双变量问题

知识梳理

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化

为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

必考题型全归纳

题型一：双变量单调问题

例1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)(a1)lnxax21．

(1)当a2时，求曲线yf(x)在1,f(1)处的切线方程；

(2)设a2，证明：对任意x1，x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|．

例2．（2024·安徽·校联考三模）设aR，函数fxalnxa1x21.

（Ⅰ）讨论函数fx在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数fx的图象在点1,f1处的切线与直线8xy20平行，且对任意

fx1fx2

x1,x2,0，x1x2，不等式m恒成立，求实数m的取值范围.

x1x2

例3．（2024·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数

f(x)(a1)lnxax21.

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若a1时，任意的x1x20，总有|f(x1)f(x2)|2|x1x2|，求实数a

的取值范围.

m1

变式1．（2024·全国·模拟预测）已知函数fxlogx，mR，a0且a1．

ax2

（1）当a2时，讨论fx的单调性；

x2fx1x1fx21

（2）当ae时，若对任意的x1x20，不等式恒成立，求实数m的

x1x22

取值范围．

变式2．（2024·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数

fxlnxax22a1x．

(1)讨论fx的单调性；

3

(2)当a<0时，证明fx2；

4a

fx1fx2

(3)若对任意的不等正数x1,x2，总有2，求实数a的取值范围．

x1x2

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

1

例4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)xalnx．

x

（1）讨论f(x)的单调性；

5f(x2)f(x1)

（2）已知a，若f(x)存在两个极值点x1,x2，且x1x2，求+的取值范围.

2x1x2

例5．（2024·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数

fxlnxx2axaR

(1)若a1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)当a0时，讨论f（x）的单调性；

13

(3)设f（x）存在两个极值点x1,x2且xx，若0x求证：fxfxln2.

1212124

例6．（2024·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数f(x)x2ax2lnx（a

为常数）

(1)讨论fx的单调性

8

(2)若函数fx存在两个极值点x，xxx，且xx，求fxfx的范围.

121221312

1

变式3．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数fxlnx(ax)2，其

2

中aR．

(1)当a1时，求函数fx在1,f1处的切线方程；

(2)讨论函数fx的单调性；

315

(3)若fx存在两个极值点x1,x2x1x2,fx2fx1的取值范围为ln2,2ln2，

48

求a的取值范围．

x2a2xa3

变式4．（2024·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数fx（x0）

ex

(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若函数fx存在两个极值点x1,x2，记h(x1,x2)fx1fx2,求hx1,x2的取值范围.

1

变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxx21alnx4x1．

2

（1）讨论fx的单调性；

（2）若fx存在两个极值点x1，x2，且fx1fx2fx1x24a，求a的取值范围．

变式6．（2024·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数

f(x)ae2x(1x)exa(aR)．

2

e

(1)当a时，求g(x)f(x)e2x的单调区间；

2

(2)若f(x)有两个极值点x1,x2x1x2，

①求a的取值范围；

②证明：x12x23．

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题

例7．（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知aR，函数

a

f(x)xln2xx2.

2x

(1)当a0时，求f(x)的单调区间和极值；

(2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2x1x2.

（i）求实数a的取值范围；

e

（ii）证明：lnx2lnx3ln2（e2.71828……为自然对数的底数）.

122

例8．（2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数

f(x)exexax(aR)．

(1)讨论f(x)的单调性；

fx1fx2

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：2a0．

x1x2

例9．（2024·全国·模拟预测）已知函数fxxlnxax2a．

(1)当a1时，求曲线yfx在x1处的切线方程；

x1x2

(2)若fx存在两个极值点x1、x2，求实数a的取值范围，并证明：f0．

2

x1

变式7．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数fxmelnx，mR.

(1)当m1时，讨论方程fx10解的个数；

tx2ee2

(2)当me时，gxfxlnx有两个极值点x1，x2，且x1x2，若et，

22

证明：

（i）2x1x23；

（ii）gx12gx20.

a

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)lnxx2(a1)x,aR

2

（1）讨论函数f(x)的单调区间；

a

（2）设x，x0xx是函数g(x)f(x)x的两个极值点，证明：gxgxlna

1212122

恒成立．

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)lnxmx,mR.

（1）求函数f（x）的单调区间；

12

（2）若g(x)f(x)x有两个极值点x1,x2，求证：gxgx30.

212

题型四：双变量不等式:中点型

例10．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数

fxlnxax22ax，aR．

（1）已知x1为fx的极值点，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

（2）讨论函数gxfxax的单调性；

1

（3）当a时，若对于任意x,x1,xx，都存在xx,x，使得

21212012

fx2fx1x2x1

fx0，证明：x0．

x2x12

1

例11．（2024·湖北武汉·统考一模）已知函数fxx21axalnx.

2

（Ⅰ）讨论fx的单调性；

（Ⅱ）设a0，证明：当0xa时，faxfax；

xx

12

（Ⅲ）设x1,x2是fx的两个零点，证明f0.

2

例12．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数

f(x)x2(12a)xalnx(aR且a0).

（1）讨论函数f(x)的单调性;

（2）当a2时，若函数yf(x)的图象与x轴交于A，B两点，设线段AB中点的横坐标

为x0，证明:f(x0)0.

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)lnxax2(2a)x.

(1)讨论fx的单调性；

(2)若函数yfx的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：

fx00.

变式11．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数

1

f(x)lnxax2(a1)x.

2

（1）讨论函数f(x)的单调性；

xx

（2）设函数f(x)图象上不重合的两点Ax,y,B(x,y)(xx).证明：kf'(12)（.k

112212AB2AB

是直线AB的斜率）

变式12．（2024·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数

fxx22ax2lnx（a0）．

（1）讨论函数fx的单调性；

2

（2）设gxlnxbxcx，若函数fx的两个极值点x1，x2（x1x2）恰为函数gx的

x1x2

两个零点，且yx1x2g的取值范围是ln31,，求实数a的取值范围．

2

题型五：双变量不等式:剪刀模型

例13．（2024·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数fxxbexa(b0)在点

(1，f1)处的切线方程为e1xeye10．

(1)求a、b；

(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对

于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；

(3)若关于x的方程fxm(m0)有两个实数根x1、x2，且x1x2，证明：

m12e

xx1．

211e

2x11

例14．（2024·辽宁沈阳·统考三模）已知函数fxxbeab0在点,f

22

e1

处的切线方程为e1xey0．

2

（1）求a，b；

（2）函数fx图像与x轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为yhx，函数

Fxfxhx，xR，求Fx的最小值；

12mme

（3）关于x的方程fxm有两个实数根x，x，且xx，证明：xx．

12122121e

例15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)axex1，ln3是f(x)的极值点．

(1)求a的值；

(2)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l．求证：曲线

yf(x)上的点都不在直线l的上方；

7m

(3)若关于x的方程f(x)m(m0)有两个不等实根x，x2(x1x2)，求证：x2x12．

110

x

变式13．（2024·安徽·校联考二模）已知函数fx3xe1，其中e2.71828是自然对

数的底数.

(1)设曲线yfx与x轴正半轴相交于点Px0,0，曲线在点P处的切线为l，求证：曲线

yfx上的点都不在直线l的上方；

(2)若关于x的方程fxm（m为正实数）有两个不等实根x1,x2x1x2，求证：

3

xx2m.

214

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数g(x)x4，xR，在点1,g(1)处的切线方

程记为ym(x)，令f(x)m(x)g(x)3．

(1)设函数f(x)的图象与x轴正半轴相交于P，f(x)在点P处的切线为l，证明：曲线yf(x)

上的点都不在直线l的上方；

a

(2)关于x的方程f(x)a(a为正实数）有两个实根x，x，求证：|x2x1|2．

123

题型六：双变量不等式:主元法

例16．（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数fxxlnx．

(1)求函数fx的单调区间和最小值；

1

e

b1e

(2)当b0时，求证：b（其中为自然对数的底数）；

e

(3)若a0，b0求证：faabln2fabfb．

例17．（2024·河南信阳·高二校联考阶段练习）已知函数fxxlnx．

(1)求曲线yfx在点e,fe处的切线方程；

1