2025年高考数学必刷题分类：第82讲、圆锥曲线题型拓展二（学生版）

第82讲圆锥曲线题型拓展（二）

知识梳理

一、仿射变换问题

仿射变换有如下性质：

1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；

2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；

3、其它不变关系．

我们以椭圆为例阐述上述性质．

xx

x2y2

椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆222，

221ab0axya

abyy

b

并且变换过程有如下对应关系：

（）点变为a；

1Px0,y0Px0,y0

b

a

（2）直线斜率k变为kk，对应直线的斜率比不变；

b

a

（3）图形面积S变为SS，对应图形面积比不变；

b

（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依

然是中点，相切依然是相切等）；

AB1k2

（5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比

AB1k2

不变

总结可得下表：

变换前变换后

x2y2

方程1ab0x2y2a2

a2b2

横坐标xx

a

纵坐标yyy

b

a

yy

斜率kyba

xkk

xxb

11a

面积SxySxyS

22b

a2

1k2

a22

22b

l1kx12kxl

弦长l1k2xb1k2

不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比

二、非对称韦达问题

在一元二次方程2中，若，设它的两个根分别为，则有根与系

axbxc00x1,x2

bc

数关系：xx,xx，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理

12a12a

11

22之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的

x1x2,x1x2,x1,x2

x1x2

x3xx2xx

代数式的应算，比如求11212或之类的结构，就相对较难地转化到应

,x1x2

x22x1x2x1x2

用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或

y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如

x3xx2xx

1或1212之类中的系数不对等的情况，这些式子是

x12x2,x1y2x2y1,x1,x2

x22x1x2x1x2

非对称结构，称为“非对称韦达”．

三、光学性质问题

1、椭圆的光学性质

从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如

图1）．

【引理1】若点A,B在直线L的同侧，设点是直线L上到A,B两点距离之和最小的点，

当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点．

【引理2】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L

上到点A,B距离之差最大的点，即PAPB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称

点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点．

x2y2

【引理3】设椭圆方程为1ab0，F,F分别是其左、右焦点，若点D在

a2b212

椭圆外，则．

DF1DF22a

2、双曲线的光学性质

从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦

点（如图）．

【引理4】若点A,B在直线L的同侧，设点是直线L上到A,B两点距离之和最小的点，

当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点．

【引理5】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L

上到点A,B距离之差最大的点，即PAPB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称

点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点．

x2y2

【引理6】设双曲线方程为1a0,b0，F,F分别是其左、右焦点，若点

a2b212

在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则．

DDF1DF22a

3、抛物线的光学性质

从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行

（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．

2p

【结论1】已知：如图，抛物线C:x2pyp0，F0,为其焦点，j是过抛物

2

线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求

Dx0,y0A,BjDDCy

证：FDACDB．（入射角等于反射角）

【结论2】已知：如图，抛物线C:y22pxp0，F是抛物线的焦点，入射光线从F

点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴．

四、三点共线问题

证明三点共线问题常用方法是斜率法和向量法

必考题型全归纳

题型一：仿射变换问题

例1．（2024·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又

及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将

x2y2xyx2y2

C:1ab0由仿射变换得：x，y，则椭圆1变为x2y21，

a2b2aba2b2

a

直线的斜率与原斜率的关系为kk，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算

b

x2y25

出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆C:1ab0的离心率为，

a2b25

85

过右焦点F2且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点且AB，过椭圆外一点P作椭

5

圆C的两条切线l1、l2且l1l2，切点分别为M、N．

(1)求证：点P的轨迹方程为x2y29；

(2)若原点O到l1、l2的距离分别为d1、d2，延长表示距离d1、d2的两条直线，与椭圆C交

于Y、W两点，试求：原点O在YW边上的射影Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之

差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．

例2．（2024·河北邯郸·高二校考期末）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类

特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将

x2y2xyx2y2

C:1(ab0)由仿射变换得：x，y，则椭圆1变为x2y21，

a2b2aba2b2

a

直线的斜率与原斜率的关系为kk，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算

b

x2y25

出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，

a2b25

85

过右焦点F2且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点且AB，过椭圆外一点P作椭圆

5

C的两条切线l1，l2且l1l2，切点分别为M,N．

(1)求证：点P的轨迹方程为x2y29；

(2)若原点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，延长表示距离d1，d2的两条直线，与椭圆C交

于Y,W两点，过O作OZYW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的

面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．

x2y2

例3．（2024·全国·高三专题练习）MN是椭圆1ab0上一条不过原点且不垂直

a2b2

于坐标轴的弦，P是MN的中点，则kMNkOP_________，A，B是该椭圆的左右顶点，Q

是椭圆上不与A，B重合的点，则kAQkBQ_________．CD是该椭圆过原点O的一条弦，

直线CQ，DQ斜率均存在，则kCQkDQ_________．

2

1x

变式1．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为的直线l与椭圆y21交于P,Q

24

2

两点，且M2,在直线l的上方，则△MPQ内切圆的圆心所在的定直线方程为

2

__________________________．

x2y2

变式2．（2024·全国·高三专题练习）Р是椭圆1上任意一点，O为坐标原点，

43

PO2OQ，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且QAQB，则PAB面积为

______________．

x2y2

变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆1交于M，N两点，当

42

kOMkON______，△MON面积最大，并且最大值为______.记M(x1,y1),N(x2,y2)，当△MON

2222

面积最大时，x1x2_____﹐y1y2_______.Р是椭圆上一点，OPOMON，当

△MON面积最大时，22______.

x2

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:y21左顶点为A，P,Q为椭圆C上两

2

1

动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP,OQ的斜率分别为k,k且kk，

12122

ADDF,AEEQ（,是非零实数），求22______________.

题型二：非对称韦达问题

22

xy、

例4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆1(ab0)的左、右焦点是F1F2，左

a2b2

2

右顶点是A1、A2，离心率是，过F2的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且

2

F1PQ的周长是42，

直线A1P与A2Q交于点M.

(1)求椭圆的方程；

(2)(ⅰ)求证直线A1P与A2Q交点M在一条定直线l上；

PF2

(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值．

PN

例5．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知点A，B分别为椭圆

x2y2

E:1ab0的左、右顶点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，AF23AF1，P为椭

a2b2

圆上异于A，B的一个动点，△PF1F2的周长为12．

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知点M3,0，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：

当点P变化时，点N恒在一条定直线上．

x2y2

例6．（2024·陕西榆林·高二校联考期末）已知椭圆C：1ab0的左､右焦点分

a2

b2

1△

别为F，F2，离心率e，P为C上一动点，PF1F2面积的最大值为3.

12

(1)求C的方程；

(2)若过F2且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，A1，A2分别为椭圆的左､右顶点，

直线A1M，A2N分别与直线l1：x1交于T，Q两点，证明：四边形OTA2Q为菱形.

22

xy1

变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1ab0的离心率为，短轴

a2b22

长为23．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C

交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．

x2y2

变式6．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆C:1ab0的左、右顶

a2b2

3

点分别为M1、M2，短轴长为23，点C上的点P满足直线PM1、PM2的斜率之积为．

4

(1)求C的方程；

(2)若过点1,0且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线M1A、M2B交于点Q．探

究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

变式7．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

x2y2

C:=1(ab0)

的长轴长为4，且经过点(b,3e)，其中e为椭圆C的离心率．

a2b2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B，直线l过C的右焦点F，且交C于M,N两点，若直

线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．

x2y2

变式8．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）已知椭圆C：1ab0的

a2b2

26

离心率为，H1,是C上一点.

22

(1)求C的方程.

(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点D1,0作斜率不为0的直线l，l与C交于P，

k1

Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为k1，BQ的斜率为k2.证明：①为

k2

定值；②点M在定直线上.

x2y2

变式9．（2024·广西桂林·高二统考期末）已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分

a2b2

△1

别是F1,F2，点P是椭圆C上任一点，若PF1F2面积的最大值为3，且离心率e．

2

(1)求C的方程；

(2)A，B为C的左、右顶点，若过点F2且斜率不为0的直线交C于M，N两点，证明：直

线AM与BN的交点在一条定直线上．

变式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）已知椭圆C：

x2y222

的左右顶点分别为A，A，离心率为，点P1,在椭圆上

221ab0､12C.

ab22

(1)求椭圆C的方程.

(2)若过点B2,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相

交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理

由.

题型三：椭圆的光学性质

例7．（2024·湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中）生活中，椭圆有很多光学性质，如

从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的

焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点F1射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点F2，

3

这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P在椭圆上，求线段BP的长度BP的最大值及取最大值时点P的坐标；

(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM,AN的斜率分别为k,k1,k2，若

kk1k21，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．

例8．（2024·全国·高三专题练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反

x2y2

射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：10b2，F1,F2为

4b2

其左、右焦点．M是C上的动点，点N0,3，若MNMF1的最大值为6.动直线l为此

椭圆C的切线，右焦点F1关于直线l的对称点Px1,y1，S3x14y124，则椭圆C的离

心率为；S的取值范围为．

x2y2

例9．（2024·山东青岛·统考二模）已知椭圆E:1ab0的左、右焦点分别为F1、

a2b2

F2，过F2的直线与E交于点A、B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.

BF15BF2

由椭圆的光学性质知，F1、A、M三点共线.若ABa，，则.

MF17AF1

变式11．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：

从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆

22

xy△

1(ab0)的左、右焦点为F1,F2，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为PF1F2

a2b2

的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，若3k12k2，则椭圆的离

心率为．

变式12．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）欧几里得生活的时期人们就发现了

椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有

x2y2

一椭圆C:1(ab0)，长轴长为4，从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上

a2b2

7

一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF．

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知A为该椭圆的左顶点，若斜率为k且不经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，

，

记直线AM，AN的斜率分别为k1k2，且满足kk1k22．

①证明：直线l过定点；

②若OM|2ON|25，求k的值．

x2y2

变式13．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C：1ab0上、下顶点分别为

a2b2

3

A,B，且短轴长为23，T为椭圆上（除A,B外）任意一点，直线TA,TB的斜率之积为，

4

F1，F2分别为左、右焦点．

(1)求椭圆C的方程．

(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到

百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面

的椭圆C为代表，证明：由焦点F1发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必

经过另一焦点F2．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）

x2y2

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E:1(ab0)的左、右焦点分别为

a2b2

，

F1F2，过F2的直线与E交于点A，B.直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.

BF15BF2

由椭圆的光学性质知，F1，A，M三点共线.若|AB|a，，则（）

MF17AF1

1211

A．B．C．D．

2747

变式15．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发

的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会

x2y2

衰减，椭圆的方程为1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的

95

路程可能为（）

A．2B．8C．10D．12

变式16．（2024·全国·高三专题练习）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前

375年—公元前325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽､系统地研究了圆锥曲线，并且

他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，

经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过

相应切点的直线，已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1c,0，F2c,0c0，若由F1

发出的光线经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8c.对于椭圆C上除顶点外的任意一点P，

椭圆在点P处的切线为l，F1在l上的射影为H，其中OH22.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，过F2作斜率为kk0的直线m与椭圆C相交于A，B两点（点A在x轴上方）.

点M，N是椭圆上异于A，B的两点，MF2，NF2分别平分AMB和ANB，若MF2N外

81π

接圆的面积为，求直线m的方程.

8

变式17．（2024·贵州黔西·高二统考期末）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的

光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有

x2y2

椭圆C:1(ab0)，长轴长为4，从椭圆C的一个焦点F发出的一条光线经该椭

a2b2

7

圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF．

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知O为坐标原点，A为椭圆C的左顶点，若斜率为k且不经过点A的直线l与椭圆C交

于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，且满足kk1k22，且

22

OMON5，求k的值.

变式18．（2024·四川成都·川大附中校考二模）椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出

x2y2

发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆C:1(ab0)，长轴A1A2长为4，从

a2b2

5

一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点Q为直线x4上一点，且Q不在x轴上，直线QA1，QA2与椭圆C的另外一个交点分

S

△1

别为M，N，设QA1A2，QMN的面积分别为S1，S2，求的最大值.

S2

变式19．（2024·江苏连云港·高二统考期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有

趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.

x2y2

根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为1，其左､右焦点分别是F1，

1612

F2，直线l与椭圆C切于点P，且PF15，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交

F1Q

于点Q，则（）

F2Q

1555

A．5B．C．D．

2343

题型四：双曲线的光学性质

例10．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）圆锥曲线都具有光学性质，如

双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发

散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的

部分，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，

反射光线是BC，若PFB120，ÐFBC=90°，则该双曲线的离心率等于．

例11．（2024·全国·高二专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F2发

出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双

曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，

x2y2

如图2，其方程为1,F,F分别为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲

a2b212

3

线上的点A和点B反射后（F2､A､B在同一直线上），满足ABAD,tanABC.

4

(1)当AB4时，求双曲线的标准方程；

(2)过F2且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于S,T两点，点M是线段ST的中点，

MF2

试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.

F1F2

例12．（2024·山东烟台·校考模拟预测）圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计

中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线

经过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射

光线的反向延长线经过左焦点F1．已知入射光线F2P的斜率为2，且F2P和反射光线PE互

相垂直（其中P为入射点），则双曲线C的渐近线方程为．

变式20．（2024·江苏南京·高二校考期末）圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：

从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会

经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条

对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若

PFB120，ÐFBC=90°，则该双曲线的离心率等于（）

51

A．2B．5C．31D．

2

变式21．（多选题）（2024·高二单元测试）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利

用了双曲线的光学性质：F1，F2是双曲线的左､右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右

支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F1；当P异于双曲线顶点时，双曲线

x2y2

在点P处的切线平分F1PF2.若双曲线C的方程为1，则下列结论正确的是（）

916

44

A．射线n所在直线的斜率为k，则k,

33

B．当mn时，PF1PF232

C．当n过点Q7,5时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13

D．若点T坐标为1,0，直线PT与C相切，则PF212

变式22．（2024·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线

经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线

x2y2

E:1(a0,b0)的左､右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点

a2b2

5

反射后，分别经过点C和D，且cosBAC,ABBD0，则E的离心率为（）

13

173710

A．B．C．D．5

352

变式23．（多选题）（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）双曲线具有如下光学性质：从双

曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个

焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1，F2分

2

2y

别为双曲线C:x1的左，右焦点，过C右支上一点Ax0,y0x01作直线l交x轴于

4

1

点M,0，交y轴于点N，则（）

x0

A．C的渐近线方程为y2xB．F1AMF2AM

3

C．过点F作FHAM，垂足为H，则|OH|D．四边形AFNF面积的最小值为

11212

45

变式24．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点

出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知O为

x2y2

坐标原点，F，F2分别是双曲线C:1的左、右焦点，过F2的直线交双曲线C的右

1916

△△

支于M，N两点，且Mx1,y1在第一象限，MF1F2，NF1F2的内心分别为I1，I2，其

x1xy1y

内切圆半径分别为r，r2，MF1N的内心为I.双曲线C在M处的切线方程为1，

1916

则下列说法正确的有（）

xxyy

A．点I、I均在直线x3上B．直线MI的方程为111

12916

S

16△F2I1I25

C．rrD．

12S3

5△II1I2

x2y2

变式25．（多选题）（2024·海南·海南中学校考三模）已知双曲线C：1b0的左､

4b2

右焦点分别为F1，F2，双曲线具有如下光学性质：从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支

于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1，如图所示.若双曲线C的

一条渐近线的方程为3xy0，则下列结论正确的有（）

x2y2

A．双曲线C的方程为1

412

B．若mn，则|PF1||PF2|12

C．若射线n所在直线的斜率为k，则kÎ(-3,3)

D．当n过点M（8，5）时，光由F2PM所经过的路程为10

变式26．（多选题）（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）双曲线具有如下光学性质：

如图，F1，F2是双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P

反射后，反射光线的反向延长线过F1；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分

x2y2

FPF.若双曲线C的方程为1，则下列结论正确的是（）

12169

3

A．射线n所在直线的斜率为k，则k0,

4

B．当mn时，PF1PF236

C．当n过点Q7,5时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为5

D．若点T坐标为1,0，直线PT与C相切，则PF216

变式27．（多选题）（2024·广东广州·高二统考期末）费马原理是几何光学中的一条重要原理，

可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，

反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平

=±3

分该点与两焦点连线的夹角.已知F1、F2分别是以yx为渐近线且过点A42,3的双曲

4

线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点Px0,y0x04,y00处的切线l交x轴于点Q，

则（）

7x2y2

A．双曲线C的离心率为B．双曲线C的方程为1

4169

16

C．过点F1作F1KPQ，垂足为K，则OK8D．点Q的坐标为,0

x0

题型五：抛物线的光学性质

例13．（2024·甘肃白银·高二统考开学考试）抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反

射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反

射），过抛物线x29y上一点P作其切线交准线l于点M，PNl，垂足为N，抛物线的

焦点为F，射线PF交l于点Q，若MPMQ．则MPN，MN．

例14．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物

线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物

线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点

A5,4射