2025年高考数学必刷题分类：第67讲、圆锥曲线离心率题型全归纳（教师版）

第67讲圆锥曲线离心率题型全归纳

知识梳理

一、建立不等式法：

1、利用曲线的范围建立不等关系．

x2y2

2、利用线段长度的大小建立不等关系．F,F为椭圆1(ab0)的左、右焦

12a2b2

22

点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线xy的

PPF1ac,acF,F1(a0,b0)

12a2b2

左、右焦点，为双曲线上的任一点，．

PPF1ca

x2y2

3、利用角度长度的大小建立不等关系．F,F为椭圆1的左、右焦点，P为

12a2b2

椭圆上的动点，若FPF，则椭圆离心率e的取值范围为sine1．

122

4、利用题目不等关系建立不等关系．

5、利用判别式建立不等关系．

6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．

7、利用基本不等式，建立不等关系．

二、函数法：

1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数

关系式；

2、通过确定函数的定义域；

3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．

三、坐标法：

由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．

必考题型全归纳

题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式

例1．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦

点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲

线C2的离心率为（）

A．3B．2C．5D．6

【答案】C

【解析】设双曲线C2的实半轴长为a，由双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，

可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设|PF1|x，

xy6a

|PF2|y，则，可得x4a,y2a，

xy2a

222

由题意P在以F1F2为直径的圆上，所以xy4c，

c

所以可得20a24c2，即离心率e5，

a

故选：C

x2y2

例2．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分

a2b2

别为F1,F2，经过F2的直线交椭圆C于P,Q两点，O为坐标原点，且

OPOF2PQ0,PF22F2Q，则椭圆C的离心率为.

51

【答案】/5

33

3

【解析】因为OPOF2PQ0,PF22F2Q，所以OPOF2PF20，

2

3

即OPOF2OF2OP0，

2

π

所以OPOFOFc，所以FPF.

21122

设F2Qx，则PF22x，所以PF12a2x,QF12ax，

222222

由PF1|PQ|QF1得(2a2x)(3x)(2ax)，

24a

所以a3x，所以PFa,PF，

2313

△222

在RtPF1F2中，由PF1PF2F1F2，

22

242c5

得aa(2c)，所以e.

33a3

5

故答案为:.

3

x2y2

例3．（2024·海南海口·高三统考期中）已知双曲线C:1a0,b0的左顶点为A，

a2b2

22

右焦点为Fc,0，过点A的直线l与圆xcy2ca相切，与C交于另一点B，且

π

BAF，则C的离心率为（）

6

53

A．3B．C．2D．

22

【答案】A

22

【解析】显然圆xcy2ca的圆心为Fc,0，半径为ca，令直线l与圆相切的切

点为D，连接FD，

π

则FDAB，有DAF，而|AF|ac，又|AF|2|FD|，因此ac2(ca)，解得

6

c3a，

c

所以双曲线C的离心率为e3.

a

故选：A

x2y2

变式1．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为F的椭圆E：1ab0上

a2b2

的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BFAC于点F，且BF3CF，则E的

离心率是（）

2731

A．B．C．D．

2522

【答案】A

【解析】设椭圆左焦点为F1c,0，连接AF1，BF1，CF1，

设CFm，m0，结合椭圆对称性得AF1BF3m，

由椭圆定义得AF2a3m，CF12am，则AC2a2m.

因为OFOF1，OAOB，

则四边形AF1BF为平行四边形，

则AF1∥BF，而BFAC，故AF1AC，

222222

则AF1ACCF1，即9m2a2m2am，

a222

整理得m，在RtFAF中，AFAFFF，

3111

2222

即9m22a3m2c，即a22aa2c，

c2

∴a22c2，故e.

a2

故选：A

变式2．（2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线C：

x2y2

1(a0,b0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两

a2b2

点，若|AB|23b，则C的离心率为

【答案】32/23

【解析】如图所示：

bx2y2

设直线方程为yxc与双曲线方程1(a0,b0)联立，

aa2b2

a2c2b3

解得x,y，

2c2ac

因为|AB|23b，

b3

所以223b，

2ac

即b223ac，即c223aca20，

c

解得e32，

a

故答案为：32

x2y2

变式3．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）双曲线C:1a,b0的左焦点为F，直

a2b2

2

线FD与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段FD的两个三等分点，且OAOBa

2

（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为.

【答案】10

2

【解析】由题意得Fc,0，取AB中点M，连接OM，设双曲线C的右焦点为F1，连接DF1，

2

因为OAOBa，所以OMAB，

2

又A，B为线段FD的两个三等分点，所以EMDM，即M为FD的中点，

又O为FF1的中点，所以DF1//OM，故F1DFD，

2

设DF12m，则OMm，又OAOBa，

2

11

由勾股定理得AMBMa2m2，则DF6AM6a2m2，

22

122

由双曲线定义得DFDF12a，即6am2m2a①，

2

222

在RtDFF1中，由勾股定理得DF1DFFF1，

2

即12222②，

6am4m4c

2

1

由①得3a2m2am，两边平方得7a24am20m20，

2

a7

解得m或a（负值舍去），

210

ac10

将m代入②得5a22c2，故离心率为.

2a2

故答案为：10

2

x2y2

变式4．（2024·河南开封·统考模拟预测）已知A是双曲线C:1(a0,b0)的右顶点，

a2b2

9

点P(2,3)在C上，F为C的左焦点，若APF的面积为，则C的离心率为．

2

【答案】2

139

【解析】由题设知：|AF|ac，则Sy|AF||AF|，

APF2P22

3

所以ac3且ca，易知：0a，

2

49

又1，故4b29a2a2b2，且a2b2c2，

a2b2

所以4(c2a2)9a2a2(c2a2)，则a413a2c2(a24)(3a)2(a24)，

化简得a33a24a6(a1)(a22a6)0，解得a1或a17（舍），

c

综上，a1，故c2，则离心率为2.

a

故答案为：2

变式5．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内

放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相

切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.

【答案】3

2

【解析】如图所示：

1

由题意可得BF1,BO2，所以sinBOF，

2

OM1

又因为sinODM，结合BOFODM可知

ODOD

OM11

sinODMsinBOF，

ODOD2

所以ODa2，而2b2，即b1，

c3

所以ca2b222123，所以离心率e.

a2

3

故答案为：.

2

x2y2

变式6．（2024·陕西西安·校考三模）已知双曲线C：1a0,b0的左焦点为F，

a2b2

过F的直线与圆x2y2a2相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若PQ2QF，则双

曲线C的离心率为.

【答案】13

2

【解析】由题知，记右焦点为F1，过F1做F1M//OQ如图所示，

QF与圆x2y2a2相切，

OQPF，OQa，

OFc，FQc2a2b，

O为FF1中点，F1M//OQ，

∽△

故FQOFMF1，且相似比为1:2，

即F1M2a，QMb，

PQ2QF2b，

PMb，PF3b，

x2y2

在双曲线1中，有PFPF12a，

a2b2

PF13b2a，

F1M//OQ，OQPF，

F1PM为直角三角形，

222

F1MPMPF1，

22

即2ab23b2a，

化简可得2b3a，上式两边同时平方，将b2c2a2代入可得4c213a2，

c13

则2c13a，即离心率e.

a2

故答案为：13

2

x2y2

变式7．（2024·河北·高三校联考期末）双曲线C：1(a0,b0)的左焦点为F，右顶

a2b2

点为A，过A且垂直于x轴的直线交C的渐近线于点P，PO恰为PFA的角平分线，则C的

离心率为．

【答案】2

【解析】设Fc,0，作出图像，如下图：

根据题意易知PAb，且PAFA，又FAca，

222

所以由勾股定理可得：PFFAPAcab2，

又PO恰为PFA的角平分线，

PFFO

所以根据角平分线性质定理可得：，

PAAO

22

cabc222

，又bca，

ba

2

cac2a22c22acc2

，

c2a2c2a2a2

2e22e2e2

e2，即e，

e21e21

2

e，即e2e20，

e1

又e1，

所以解得：e2.

故答案为：2.

题型二：圆锥曲线第一定义

x2y2

例4．（2024·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知F1,F2分别为双曲线E:1(a0,b0)

a2b2

的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A,B两点（点A在第一象限），延长AF2交E于点

π

C，若BFAC,FBF，则双曲线E的离心率为．

2123

【答案】3

【解析】由题意A,B关于原点对称，又F1,F2也关于原点对称，所以四边形AF1BF2是平行四

π

边形，所以FAFFBF,AFAC，所以△ACF为等边三角形，

1212311

则AF1CF1，则ACF1F2，由双曲线的定义，得AF1AF22a，

F1F22cπ

所以AF14a,AF22a，则etan3．

AF22a3

故答案为：3．

x2y2

例5．（2024·山西大同·高三统考开学考试）已知椭圆C1(ab0)的左、右焦点

1a2b2

分别为F1，F2，点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ||F1F2|，且四边形PF1QF2

4

的面积为a2，则C的离心率为．

9

【答案】7

3

【解析】因为点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ||F1F2|，

所以四边形PF1QF2为矩形，即PF1PF2，

所以S2S|PF||PF|，

PF1QF2△PF1F212

PF1PF22a

由椭圆定义与勾股定理知：，

222

PF1|PF2|4c

242222c7

所以|PF1||PF2|2b，所以a2b2(ac)，所以，

9a3

7

即C的离心率为．

3

故答案为：7

3

y2x2

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E:1ab0的上、下焦点分别为F1、

a2b2

F2，焦距为23，与坐标轴不垂直的直线l过F1且与椭圆E交于A、B两点，点P为线段AF2

的中点，若ABF2F2PB90，则椭圆E的离心率为．

【答案】63/36

【解析】因为点P为线段AF2的中点，ABF2F2PB90，则ABBF2，

△

所以，ABF2为等腰直角三角形，

设ABBF2mm0，则AF22m，

由椭圆的定义可得ABBF2AF2AF1AF2BF1BF24a22m，

所以，m422a，

所以，BF12am2a422a222a，

22

由勾股定理可得222，即222，

BF1BF2F1F2222a422a4c

c

整理可得c63a，因此，该椭圆的离心率为e63.

a

故答案为：63.

x2y2

变式8．（2024·全国·高三专题练习）F1，F2是椭圆E：1ab0的左，右焦点，

a2

b2

点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足F1MNF2MN45，3NF14NF2，则

椭圆E的离心率为.

5

【答案】

7

【解析】因为F1MNF2MN45，

所以F1MF2M，则MN是F1MF2的角平分线，

FMFN

所以11，

F2MF2N

又因为3NF14NF2，

F1M4

所以，设F1M4x,F2M3x，

F2M3

由椭圆定义得F1MF2M2a，

2

即4x3x2a，解得xa，

7

86

则FMa,FMa，

1727

22

862

则aa4c，

77

c225c5

所以，则e，

a249a7

5

故答案为：

7

x2y2

变式9．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦

a2b2

3

点分别为F,F，过F斜率为的直线与C的右支交于点P，若线段PF恰被y轴平分，则C

12141

的离心率为（）

123

A．B．C．2D．3

23

【答案】C

【解析】如图，设PF1交y轴与A，A为PF1的中点，

△

因为O为F1F2的中点，故AO为PF1F2的中位线，

则AO∥PF2，而AOF1F2，则PF2F1F2,

33

因为直线PF的斜率为，故Rt△PFF中，tanPFF，

1421124

故设|PF2|3t，则|F1F2|4t,|PF1|5t，

结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有4t2c,|PF1||PF2|2a2t，

c

则2ac,e2，

a

故选：C

变式10．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线Ε：

x2y2

1a0,b0的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一

a2b2

π

象限），延长AF交E于点C，若BFAC，FBF，则双曲线E的离心率为（）

22123

A．3B．2C．5D．7

【答案】A

π

【解析】结合双曲线的对称性可知，FAF，AFAC，

1231

△

所以ACF1为等边三角形，则AF1CF1，则ACF1F2.

AF4aAF2a

由双曲线的定义，得AF1AF22a，所以1，2，

F1F22cπ

则tan3.

AF22a3

故选：A

x2y2

变式11．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：1（a0，b0），

a2b2

斜率为3的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲

线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（）

31

A．B．31C．231D．232

2

【答案】B

【解析】设双曲线C的左焦点F，右焦点为F，P为第二象限上的点，

连接PF，PF，QF，QF，

根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形PFQF为平行四边形.

因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，

所以PFQF，即四边形PFQF为矩形，

由直线l的斜率为3，得POF60，

又POFOc，则POF是等边三角形，所以PFc.

在Rt△PFQ中，PQ2c，则FQ3c，故PF3c，

又由双曲线定义知PF|PF|2a，所以3cc2a，

c2

则e31.

a31

故选：B.

y2x2

变式12．（2024·河南·统考模拟预测）已知双曲线E:1(a0)的上焦点为F1，点P

a28

在双曲线的下支上，若A(4,0)，且PF1|PA|的最小值为7，则双曲线E的离心率为（）

697697

A．2或B．3或C．2D．3

2525

【答案】D

2

【解析】设双曲线E的下焦点为F2c,0，可知ca8，

则PF1PF22a，即PF1PF22a，

则22，

PF1|PA|PF2|PA|2aAF22ac162aa242a

当且仅当A,P,F2三点共线时，等号成立，

由题意可得a2242a7，且a0，

因为faa2242a在0,上单调递增，且f17，

所以方程a2242a7，且a0，解得a1，

c

则ca283，所以双曲线E的离心率为e3.

a

故选：D.

变式13．（2024·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线

经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线

x2y2

E:1(a0,b0)的左､右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点

a2b2

5

反射后，分别经过点C和D，且cosBAC,ABBD0，则E的离心率为（）

13

173710

A．B．C．D．5

352

【答案】B

【解析】由题意知延长CA,DB则必过点F1,如图：

AFAF2a

由双曲线的定义知12，

BF1BF22a

55

又因为cosBAC，所以cosFAB，

13113

因为ABBD0，所以ABBD，

AF213m2a

设AF113m,m0，则AB5m,BF112m，因此，

BF212m2a

从而由AF2BF2AB得13m2a12m2a5m，所以a5m，

122

则BFa，BFa，F1F22c，

1525

22

又因为222，所以1222，

BF1BF2F1F2aa2c

55

37

即37a225c2，即e，

5

故选：B.

x2y2

变式14．（2024·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线E:1(a0,b0)的右焦点为F，

a2b2

过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且CF3FB，点B关于原点O的对称

点为点A，若AFBF0，则双曲线E的离心率为（）

231010

A．3B．C．D．

332

【答案】D

【解析】设双曲线的左焦点为F1，连接AF，AF1，BF1，如图所示，

又因为AFBF0，所以AFBF，

所以四边形AF1BF为矩形，

设|BF|t，则|CF|3t，

由双曲线的定义可得：|BF1|2at，|CF1|2a3t，

又因为CBF1为直角三角形，

222222

所以|BC||BF1||CF1|，即(4t)(2at)(2a3t)，解得ta，

所以|BF1|3a，|BF|a，

△

又因为BFF1为直角三角形，|FF1|2c，

222222

所以|BF||BF1||FF1|，即：a9a4c，

c25c10

所以，即e.

a22a2

故选：D.

x2y2

变式15．（2024·山西吕梁·统考二模）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右

a2b2

焦点分别为，，直线与交于，两点，，且△的面积为2，

F1F2ykxCPQPF1QF10PF2Q4a

则C的离心率是（）

A．3B．5C．2D．3

【答案】B

【解析】如图，若在第一象限，因为，所以，

PPF1QF10PF1QF1

△22

由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形，因为PF2Q的面积为4a，所以PF1PF28a，

又因为PF1PF22a，所以PF14a，PF22a，

222c

在Rt△PFF中，4a2a2c，解得e5．

12a

故选：B

题型三：圆锥曲线第二定义

例7．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线

的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的

比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0e1时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为抛物

(x4)2y21

线；当e1时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率e等于（）

254x5

145

A．B．C．D．5

554

【答案】B

(x4)2y2(x4)2y21

【解析】因为254x255，

4x

4

(x4)2y24

所以255，

x

4

254

表示点x,y到定点4,0的距离与到定直线x的距离比为，

45

4

所以e.

5

故选：B

x2y2

例8．（2024·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线1(a,b0)的左、右焦点分别

a2b2

为F1F2，P为左支上一点，P到左准线的距离为d，若d、|PF1|、|PF2|成等比数列，则其

离心率的取值范围是（）

A．[2，)B．(1，2]C．[12，)D．(1，12]

【答案】D

2

【解析】|PF1|d|PF2|，

|PF1||PF2|

e，即|PF2|e|PF1|①，

d|PF1|

又|PF2||PF1|2a②．

2a2ae

由①②解得：|PF|，|PF|，

1e12e1

又在焦点三角形F1PF2中：|PF1||PF2||F1F2|，

2a(e1)

即：2c，即e22e10，

e1

解得：12e12，

又e1，

1e12，

故选：D．

x2y2

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C:1a0,b0的右焦点为F，过F

a2b2

且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF4FB，则C的离心率为（）

5679

A．B．C．D．

8555

【答案】B

x2y2

【解析】设双曲线C:1的右准线为l，

a2b2

过A、B分别作AMl于M，BNl于N，BDAM于D，

如图所示：

因为直线AB的斜率为3，

所以直线AB的倾斜角为60，

1

∴BAD60，ADAB，

2

111

由双曲线的第二定义得：AMBNADAFFBABAFFB，

e22

又∵AF4FB，

35

∴FBFB，

e2

6

∴e

5

故选：B

题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）

x2y2

例10．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：1a0,b0虚轴

a2b2

的一个顶点为D，直线x3a与C交于A，B两点，若△ABD的垂心在C的一条渐近线上，

则C的离心率为.

【答案】91

7

【解析】如图，设△ABD的垂心为H，则有DHAB,

不妨设D(0,b),则H(x,b)，

b

因为H在渐近线yx上，所以H(a,b)，

a

直线x3a与C交于A，B两点，

9a2y2

所以1，解得y22b，

a2b2

所以A(3a,22b),B(3a,22b),

又因为ADBH,

(221)b(221)b

所以kk1，

ADBH3a2a

b26cb291

整理得，，所以e1，

a27aa27

91

故答案为:.

7

x2y2

例11．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：1ab0

a2b2

的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横

13

坐标为c．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为．

316

1

【答案】/0.5

2

【解析】Fc,0，

设Ax1,y1,Bx1,y1，

1

因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为c，

3

2ccy1y2

所以x1x2,P,，

332

y1y2y1y2

3yy

则k2212，

PFxx4c

12c8c

23

由直线l与C相交于A，B两点，

x2y2x2y2

得111,221，

a2b2a2b2

x2y2x2y2

两式相减得11220，

a2b2a2b2

xxxxyyyy

即121212120，

a2b2

2

y1y2y1y2b

所以2，

x1x2x1x2a

yyb2b2xxb22c

1212

即kl2，所以kl22，

x1x2aay1y2a3y1y2

b22c3yyb23

12

则klkPF22，

a3y1y28c4a16

b23

所以，

a24

cb21

所以离心率e1.

aa22

1

故答案为：.

2

x2y2

例12．（2024·山东济南·高三统考开学考试）已知椭圆C：1ab0的上顶点为

a2b2

B，两个焦点为F1，F2，线段BF2的垂直平分线过点F1，则椭圆的离心率为．

1

【答案】/0.5

2

【解析】

如图，设BF2的垂直平分线与BF2交于点H，

cb

由题，F1c,0，F2c,0，B0,b，则H,，

22

b

0

2b0bb

kFH，k，

1cBF2

c3cc0c

2