2024-2025学年陕西省西安市高新一中南校区高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市高新一中南校区高二（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6A.12 B.16 C.20 D.222.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA.52 B.5 C.103 3.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则(

)A.事件A与事件B互斥 B.P(AB)=P(A)P4.已知正三棱柱ABC−A1B1CA.32π3 B.43π 5.已知x，y为正实数，lnx+lA.x>y B.x<y C.6.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为A.14 B.724 C.1124 7.设F1，F2为椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0与双曲线A.[54,53] B.[8.已知aeax≥lnx对A.[ln33,+∞) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点F是抛物线C：x2=8y的焦点，直线l经过点F交抛物线于A，B两点，与准线交于点D，且B为AA.AF=2FB B.直线l的斜率是k=±24

10.已知数列{an}的前n项和为SnA.若Sn=(n+1)2，则数列{an}是等差数列

B.若数列{an}是等差数列且a1>0，S8=S18，则当n=11.函数f(x)=A.当a>0时，f(x)在(0,+∞)上是增函数

B.当a=2时，f(x)在x=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知O为坐标原点，点P(0,1)，圆C：x2+y2−413.已知f(x)=lnx−x4+34x，14.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知数列{an}中，a3=18,2an+1=an+16.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x220+y24=1的焦点相同，且过点P(317.(本小题12分)

如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2))．

(1)求证：PB⊥DE18.(本小题12分)

已知函数f(x)=e2x−2ln(x+1)+1219.(本小题12分)

在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数sinh(x)=ex−e−x2，双曲余弦函数cosh(x)=ex+e−x2，答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵{an}是等差数列，且a6+a9=6−a3，

∴a6+a9+2.【答案】B

【解析】解：因为在△ABC中，B=2A，

则A是锐角，

又sinA=35，

则cosA=1−sin2A=453.【答案】B

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，当取到第四个盒子时，事件A和事件B同时发生，事件A与事件B不互斥，A错误；

对于B，P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=14，则有P(A)P(B)=P(AB)，B正确；

对于C，当取到第四个盒子时，事件A与事件B∪C同时发生，事件A与事件B∪4.【答案】A

【解析】解：如图，设正三棱柱ABC−A1B1C1外接球的球心为O，半径为R．

记△ABC和△A1B1C1外接圆的圆心分别为O1和O2，其半径为r，

由正弦定理得：r5.【答案】C

【解析】解：因为x，y为正实数，lnx+lny=1y−x，

所以lnx+x=−lny+1y=ln1y+1y，

令f(x)=lnx6.【答案】D

【解析】解：甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34且三人是否获得一等奖相互独立，

则甲、乙、丙三人不获一等奖的概率分别是12，23，14，

则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为P1=12×23×34+7.【答案】D

【解析】解：∵F1，F2为椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2的公共点左右焦点，

△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，

∴|MF2|=|F1F2|=2c，

∵椭圆C1的离心率e∈8.【答案】A

【解析】解：设f(t)=tet(t>0)，则f′(t)=(t+1)et．

∵t>0时，f′(t)=(t+1)et>0，∴f(t)在(0,+∞)上单调递增．

已知aeax≥lnx对∀x≥3恒成立，当x=3时，ae3a≥ln3>0，则有a>0，

当a>0时，aeax≥lnx可变形为axe9.【答案】AB【解析】解：如图，

设F(0,2)，B(x2,y2)，A(x1,y1)，

根据A向准线作垂线，垂足为N，根据B向准线作垂线，垂足为M，连接BM，AN，

根据题知，直线l的斜率一定存在且不为0，

设直线l的斜率为k，那么直线l：y=kx+2，

联立直线l和抛物线方程可得y=kx+2,x2=8y,化简得x2−8kx−16=0，

根的判别式Δ=64k2+64>0，根据韦达定理可得x1⋅x2=−16，x1+x2=8k，

对于A，因为B为AD中点，所以△DBM∽△ADN，

所以|AN|=2|BM|，因为|A10.【答案】BC【解析】解：A.∵Sn=(n+1)2，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(n+1)2−n2=2n+1，

当n=1时，a1=22=4，不满足上式，

∴an=4,n=12n+1,n≥2，故a2=5，a3=7，

∵a2−a1≠a3−a2，数列{an}不是等差数列，故选项A错误．

B.∵S8=S18，∴8a1+28d=18a1+153d，故d=−225a1，

∵a1>0，∴d<0．

由S8=S18得a9+a10+⋯+a17+11.【答案】BD【解析】解：对于A，f′(x)=2lnx+2ax+为增函数，x→0时f′(x)趋向负无穷，x→+∞时f′(x)趋向正无穷，

所以存在x0∈(0,+∞)使f′(x0)=0，

故x∈(0,x)上f′(x)<0，f(x)在(0,xo)上为减函数，A错；

对于B，由题设f′(x)=2lnx+4x+1，则f′(1)=5，且f(1)=1，

所以f(x)在x=1处的切线方程为y=5x−4，

切线与x轴的交点坐标为(45,0)，与y轴交点坐标为(0,−4)，

所以f(x)在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×45×4=85，B对；

对于C，因为函数f(x)在(0,+∞)上为减函数，

则在(0,+∞)上12.【答案】π3【解析】解：圆C：x2+y2−4x+3=0，可得标准方程为(x−2)2+y2=1，圆心为C(2,0)，半径为r=1(如图)．

由图可知，当OQ与圆C相切，且Q位于第一象限时∠POQ最小，13.【答案】[−【解析】解：对任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，

∴f(x1)min≥g(x2)min，x1∈(0,2]，x2∈[1,2]，

f(x)=ln

x−x4+34x，x∈(0,2]，

f′(x)=1x−14−34x2=−(x−3)(x−1)4x2，可得：函数f(x)在(0,1)内单调递减，在[1,2]内单调递增．

∴x=1时，函数f(x)取得极小值即最小值，f(x14.【答案】[3【解析】解：如图，分别取棱BB1，B1C1的中点M、N，连MN，BC1，

∵M，N，E，F分别为所在棱的中点，∴MN/​/BC1，EF/​/BC1，则MN/​/EF，

又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN/​/平面AEF．

∵AA1/​/NE，AA1=NE，

∴四边形AENA1为平行四边形，则A1N/​/AE，

又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N/​/平面AEF，

又A1N∩MN=N，∴平面A1MN/​/平面AE15.【答案】证明见解析；

1−2【解析】解：(1)证明：因为数列{an}中，a3=18,2an+1=an+12n−1，

所以2n+1an+1=2nan+2，

所以2n+1an+1−2nan=2，

又a3=16.【答案】解：(1)由题意得：a2+b2=1632a2−(−1)2b2=1，

解得a=22,b=22，

所以C的标准方程为x28−y28=1；

(2)由题意知，直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x28−y28=1y=kx+m，

得(1−k2【解析】(1)根据a，b的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出a，b的值即可；

(2)由题意设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y217.【答案】证明见解析；

45；

相交，理由见解析．【解析】解：(1)证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，PE，BE⊂平面PEB，

∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，

∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；

(2)△ABC是等腰直角三角形且AB=4，则C到AB的距离为2，

∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，

∴可由DE，BE，PE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，

∴设PE=a(0<a<2)，

得B(0,4−a,0)，D(a,0,0)，C(2,2−a,0)，P(0,0,a)，

PB=(0,4−a,−a),BC=(2,−2,18.【答案】解：(1)f(x)的定义域是(−1,+∞)，

a=0时，f(x)=e2x−2ln(x+1)−1，

f′(x)=2e2x−2x+1，f″(x)=4e2x+2(x+1)2>0，

故f′(x)在(−1,0)递增，而f(0)=0，

故x∈【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(2)问题转化为a≥4ln(