《经济预测与决策技术及MATLAB实现》课件 第6章 趋势外推预测法

经济预测与决策技术及MATLAB实现第6章趋势外推预测法

6.1一元线性回归法

6.2多项式曲线拟合法6.3多元回归法6.4交互式回归法练习与提高（六）

6.5加权拟合直线方程法6.6非线性回归法6.7虚变量回归分析6.8案例分析

6.1一元线性回归法回归分析是根据样本观测值对模型的参数进行估计，求得回归方程，再对回归方程、参数估计值进行显著性检验，然后利用回归方程进行预测.

（1）一元线性回归模型的基本形式其中未知参数、称为回归系数。若根据一组观测值，求估计值和，则称：为一元回归直线方程，这也是点预测公式。用最小二乘法进行参数的估计：（2）估计参数设回归直线方程为：其中：为第i期的预测值为使Q最小，只需对、求偏导，令其为0即得估计式为（3）一元线性回归函数矩阵矩阵形式：最小二乘解：（4）残差方差估计式

残差平方和剩余方差为（5）模型的检验1)拟合优度检验(检验)拟合优度检验是指对样本回归直线与样本观测值之间的检验，其度量的指标是可决系数或判定系数判断回归方程的拟合优度，范围[0,1]之间越接近1，拟合程度越好，反之拟合程度越差。MATLAB回归命令已给出其结果stats(1)2)相关性检验(r检验)相关系数只反映变量间的线性相关的强弱和共同变动的方向一元线性回归方程，相关系数与判别系数关系为|r|越接近1，表x与y相关程度越高线性相关程度根据样本容量的大小来确定。当相关系数求出后，可根据样本容量n和显著性水平，查相关系数检验表得到临界值，再按以下经验准则判断：若|r|>，则称x与y有显著的线性关系若|r|<，则称x与y有显著的线性关系相关系数分布分两种：样本量n很大时，r服从正态分布；反之，r服从t分布。计算x、y样本数据的相关系数命令：r1=corrcoef(x,y),r=r1(1,2)计算t值最简单公式：拒绝原假设H0：r=0;接受备选假设H1:r≠0说明x与y有显著的线性关系根据上式计算统计量T命令：t=tinv(1-a/2,n-2)MATLAB回归函数中没有直接给出结果，需自己编程：t临界点的命令：T=r*sqrt((n-2)/(1-r^2))3)回归方程的显著性检验(F检验)F检验是对回归方程中的自变量和因变量之间的关系是否具有显著性进行的一种假设检验回归平方和当，拒绝原假设，即认为回归显著，说明y与x存在线性关系，所求的线性回归方程有意义。否则结果相反残差平方和F临界点的命令：f=finv(1-a,1,n-2)MATLAB回归命令已给出统计量F的结果stats(2)4）回归系数的显著性检验(t检验)t检验是对回归系数是否显著性的一种假设检验。当，拒绝原假设，接受备选假设即与0有显著性区别，所对应的变量x对y的影响不容忽视即x作为y的解释变量，其线性关系是显著的；否则，结果相反。MATLAB回归函数中没有给出统计量T的结果，需编程得到T：t=tinv(1-a/2,n-2)t临界点的命令：T=b(2)*sqrt(sum((x-mean(x)).^2))/sqrt(stats(4))

（5）一元线性回归法的命令[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)%求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型说明：x=[x1,x2,…,xn]'，y=[y1,y2,…,yn]'X=[ones(size(x)),x]alpha：显著性水平，缺省时为0.05b：回归系数的最小二乘估计值；bint：回归系数的区间估计r：模型拟合残差；rint：残差的置信区间stats：用于检验回归模型的统计量，有四个数值：可决系数R^2、方差分析F统计量的值、方差分析的显著性概率p的值以及模型剩余方差。

预测值为：Z=b(1)+b(2)*xZ=X*b

【例6-1】我国2005--2020年的公共财政支出与全社会固定资产投资额数据如表6-1所示，试建立其线性关系，并进行拟合优度检验、相关性检验和回归系数显著性检验，且绘出预测图形。clearx=[3.39 4.04 4.98 6.26 7.63 8.99 10.92 12.60...14.02 15.18 17.59 18.78 20.31 22.09 23.89 24.57]';y=[8.10 9.76 11.83 14.46 18.18 21.88 23.88 28.17...32.93 37.36 40.59 43.44 46.13 48.85 51.36 52.73]';[n,k]=size(x)%n是样本个数a=0.05;%置信水平αX=[ones(n,k),x];年份20052006200720082009201020112012财政支出3.394.044.986.267.638.9910.9212.60投资额8.109.7611.8314.4618.1821.8823.8828.17年份20132014201520162017201820192020财政支出14.0215.1817.5918.7820.3122.0923.8924.57投资额32.9337.3640.5943.4446.1348.8551.3652.73[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)%stats包括拟合优度检验R2和F统计量值，比较stats(2)与f大小f=finv(1-a,1,n-2)%F统计量临界值f%检验回归系数T1=b(2)*sqrt(sum((x-mean(x)).^2))/sqrt(stats(4))%T统计量值t=tinv(1-a/2,n-2)%计算T统计量的临界值t，比较T1与t的大小%检验相关系数r1=corrcoef(x,y)%计算相关系数矩阵r2=r1(1,2)%取出x与y相关系数T2=r2*sqrt((n-2)/(1-r2^2))%T统计量值，并将T2与临界值t比较%预测z=b(1)+b(2)*x%样本点预测值plot(x,y,'k+',x,z)xlabel('财政支出/万亿元')ylabel('投资额/万亿元')b=1.56972.1582stats=1.0e+03*0.00102.03590.00000.001866.2多项式曲线拟合法

曲线拟合就是设法找出某条光滑曲线，使它最佳地拟合数据。曲线限定为多项式时，那么曲线拟合称为多项式的最小二乘曲线拟合。（1）一元多项式的基本形式：（2）多项式拟合的命令p=polyfit(x,y,n)%x，y是同维的向量,p是多项式系数[p,S]=polyfit(x,y,n)%n是多项式次数,S是矩阵Y=polyval(p,x)%求polyfit所得的回归多项式在x处%的预测值Y[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)%求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间YDELTA；alpha缺省时为0.5。【例6-2】经测量某人从出生到成年之间的体重，得到年龄与体重的数据如表所示，试建立其关系。x=[00.51368121518]';y=[3.55691418264060]';p=polyfit(x,y,3)Y=polyval(p,x)plot(x,y,'o',x,Y)xlabel('年龄')ylabel('体重')年龄（周岁）00.51368121518体重（千克）3.55691420264060[p,S]=polyfit(x,y,3)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S)Yint=[Y-DELTA,Y+DELTA]%预测值范围p=0.0141-0.22302.58093.5313【例6-3】我国2000--2020年的全社会固定资产投资额如表6-3，试用拟合曲线法建立年份与投资额的关系，并预测2021--2023年的投资额。(单位：万亿元)年份2000200120022003200420052006投资额3.293.724.355.386.628.109.76年份2007200820092010201120122013投资额11.8314.4618.1821.8823.8828.1732.93年份2014201520162017201820192020投资额37.3640.5943.4446.1348.8551.3652.73%（1）选取多项式次数绘图观察拟合效果x=[3.293.724.355.386.628.109.7611.8314.4618.1821.88...23.8828.1732.9337.3640.5943.4446.1348.8551.3652.73];t=1:length(x);p=polyfit(t,x,3)Y=polyval(p,t);%2000-2020年模拟值plot(t,x,'o',t,Y)%观察拟合效果模拟图%（2）预测2021-2023年t1=length(x)+1:length(x)+3Y1=polyval(p,t1)%2021-2023年预测值plot(t,x,'o',[t,t1],[Y,Y1],'-+')%绘制预测图xlabel('时间/年')ylabel('投资额/万亿元')p=-0.01020.4078-1.78395.7682Y1=54.899355.918256.34026.3.1多元线性回归的矩阵表示法则线性回归方程为

6.3多元回归法多元线性回归调整的判定系数：在多元回归分析中，通常使用调整的判定系数。多元回归方程的显著性检验(F检验)F统计量：回归平方和残差平方和当拒绝原假设即接受备选假设至少有一个不等于0多元线性回归系数的显著性检验(t检验)t检验的统计量T为：当，拒绝原假设其中，cjj表示矩阵主对角线上的第j个元素;e表示残差，是一列向量；

则依次为回归系数，，…，即接受备选假设（j=0,1,2,…,k）βj表示

（2）多元线性回归法的命令[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)%求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型说明：Y=[y1,y2,…,yn]'，X=[ones(size(x1)),x1,x2,…，xk]alpha：显著性水平，缺省时为0.05b：回归系数的最小二乘估计值；bint：回归系数的区间估计r：模型拟合残差；rint：残差的置信区间stats：用于检验回归模型的统计量，有四个数值：可决系数R2、F统计量、显著性概率p值以及剩余方差。

预测值为：Z=X*bZ=[ones(size(x1)),x1,x2,…，xk]*b【例6-4】

设某一经济指标y与其它经济指标x1、x2、x3、x4有关，今统计某年12个月得出一组数据如表，试用回归法确定一个线性模型。月份123456789101112x18411971253524215x2273264426770893482566088x3101612111017262827183032x4546025503932205638324228y82801069096108105809711690115clearx1=[8411971253524215]';x2=[273264426770893482566088]';x3=[101612111017262827183032]';x4=[546025503932205638324228]';y=[82801069096108105809711690115]';alpha=0.01%置信水平αX=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)%计算调整判定系数和F统计量临界点[n,m]=size(X);%n表示样本容量k=m-1;%k为自变量个数R_a2=1-(1-stats(1)^2)*((n-1)/(n-k-1))%计算调整判定系数f=finv(1-alpha,k,n-k-1)%多变量F统计量临界值%stats(2)>f检验回归方程显著性%t检验回归系数Q=r'*r;%r表示残差，Q残差平方和W=inv(X'*X);%计算X'*X的可逆阵T=[];forj=1:5c(j)=W(j,j);z=c(j)*Q/(n-k-1);t=b(j)/(sqrt(z));%b表示各个回归系数T=[T,t];endT%T表示各个t统计量值t1=tinv(1-alpha/2,n-k-1)%多变量t统计量临界值b=88.17741.15200.20040.0549-0.3563stats=0.9911194.07260.00002.3656R_a2=0.9720f=7.8466T=12.734912.27433.53120.7890-3.7859t1=3.4995可决系数0.9911和0.9720都接近1，表拟合精度高；统计量F值为194.0726远远大于其临界值f=7.8466，F对应的概率p=0小于显著性水平0.05，表示回归方程自变量x与因变量y的关系是显著的；统计量T中第三个变量为0.789，小于临界点3.4995，说明x3变量对y的影响很小，可以忽略。6.3.2多项式回归若只求回归系数，可用最小平方拟合来确定，即直接求解矩阵方程:Y=XA两端左除（\），通过解方程组的方法求得：A=X\Y预测值为：Y=X*A【例如，例6-2】设多项式为：x=[00.51368121518]';y=[3.55691418264060]';X=[ones(size(x)),x,x.^2,x.^3]a=X\y%利用左除求回归系数Y=X*a%预测值plot(x,y,'o',x,Y)%多项式拟合也可以用回归命令：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)a=3.53132.5809-0.22300.01416.3.3多元参数回归也可以对其它函数进行回归，譬如对指数函数，对数函数、反函数等各类函数进行回归处理。【例6-5】研究某一质点在直线上运动的轨迹，观察时间与距离的数据如表所示，试建立时间与距离的关系。时间（分）00.30.50.811.21.52.02.5距离（厘米）0.50.821.01.141.21.251.351.391.45设函数形如：%用回归命令构造其它非线性函数：x=[00.30.50.811.21.52.02.5]'y=[0.50.821.01.141.21.251.351.391.45]'X=[ones(size(x)),exp(-x),x.*exp(-x)];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)z=[ones(size(x)),exp(-x),x.*exp(-x)]*bplot(x,y,'k+',x,z,'r’)

xlabel('时间/min')ylabel('距离/cm')b=1.4490-0.93940.3003stats=0.9969952.60760.00000.00046.4交互式回归法6.4.1一元多项式回归设一元多项式形式一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）【例6-6】（续例6-5）直接运行命令：x=[00.30.50.811.21.52.02.5]';y=[0.50.821.01.141.21.251.351.391.45]’;polytool(x,y,2)运行结果是得到交互式图在命令行窗口中输入beta：beta=-0.19930.83690.56356.4.2多元二项式回归命令（1）多元二项式常用形式线性型：纯二次型交叉型完全型（2）多元二项式回归命令格式：rstool（X，Y，’model’,alpha）说明：X：n×m矩阵，Y：n列向量。Model：表多元二项式模型的形式，有“linear”、“PureQuadratic”、“interactions”、“FullQuadratic”【例6-7】设某商品的需求量、消费者的平均收入和商品价格的统计数据如表所示，试建立回归模型，并预测平均收入为1000元、价格为6元时的商品需求量。MATLAB程序如下：x1=[10006001200500300400130011001300300]';x2=[5766875439]';y=[10075807050659010011060]';x=[x1x2];rstool(x,y,‘purequadratic‘)%纯二次型需求量（件）10075807050659010011060收入（元）10006001200500300400130011001300300价格（元）5766875439%纯二次型beta=110.53130.1464-26.5709-0.00011.8475%完全二次型beta1=-106.60950.326121.2990-0.0200-0.0001-0.76096.4.3逐步回归的命令1．逐步回归分析法的思路（1）从一个自变量开始，将它与自变量Y作用的显著程度，从大到小依次逐个引入回归方程；（2）当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；（3）引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；（4）对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量；（5）这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。2．逐步回归的函数命令格式：stepwise（X，Y，inmodel，alpha）说明：X：自变量数据n×k阶矩阵；Y：因变量数据n×1阶矩阵；inmodel：矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的自变量个数，（缺省时设定为全部自变量）Alpha：显著性水平（缺省时为0.05）【例6-8】（续例6-4）试用逐步回归法确定一个线性模型。x1=[8411971253524215]';x2=[273264426770893482566088]';x3=[101612111017262827183032]';x4=[546025503932205638324228]';y=[82801069096108105809711690115]';X=[x1,x2,x3,x4];stepwise(X,y)在命令行窗口输入beta，stats:beta=1.14600.22290-0.3329stats=intercept:87.0571rmse:1.5013rsq:0.9903adjrsq:0.9854fstat:271.3615pval:2.1984e-0086.5加权拟合直线方程法6.5.1加权拟合直线方程法理论在市场预测中，按照时间先后，本着重近轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。假设由近及远的离差平方和的权重分别为：加权拟合直线方程为：

则残差平方和为使Q最小，只需对参数求偏导，并令其为0即得到方程其矩阵形式可写为

a11=sum([k.^(0:n-1)])a12=sum([k.^(0:n-1)].*[x(n:-1:1)])a21=a12a22=sum([k.^(0:n-1)].*[x(n:-1:1).^2])b1=sum([k.^(0:n-1)].*[y(n:-1:1)])b2=sum([k.^(0:n-1)].*[x(n:-1:1).*y(n:-1:1)])A=[a11a12;a21a22]B=[b1;b2]X=inv(A)*B【例6-9】我国2012-2021年城镇居民人均可支配收入数据如表6-7所示，试用加权拟合直线法预测2022-2025年的城镇居民人均可支配收入。年份2012201320142015201620172018201920202021人均可支配收入/万元2.412.652.883.123.363.643.934.244.384.74clearx=1:10;%给出年份序号y=[2.412.652.883.123.363.643.934.244.384.74];k=0.7;%给权重赋值a11=sum([k.^(0:9)]);a12=sum([k.^(0:9)].*[x(10:-1:1)]);a21=a12;a22=sum([k.^(0:9)].*[x(10:-1:1).^2]);b1=sum([k.^(0:9)].*[y(10:-1:1)]);b2=sum([k.^(0:9)].*[x(10:-1:1).*y(10:-1:1)]);X=2.08070.2632Y1=4.97625.23955.50275.7659A=[a11a12;a21a22];B=[b1;b2];X=inv(A)*B%求直线方程系数%预测2012-2021年人均可支配收入Y=X(1)+X(2)*xplot(x,y,'+',x,Y)%画出拟合图xlabel('时间/年')ylabel('人均可支配收入/万元')%预测2022-2025年人均可支配收入x1=11:14;Y1=X(1)+X(2)*x16.6非线性回归法6.6.1非线性模型的线性化对非线性曲线函数作变换化为一元线性函数使用最小二乘法估计其参数a和b，然后再还原为x、y的函数关系

（1）直接换元型通过简单的变量换元直接化为线性回归模型，由于这类模型的被解释变量没有变形，因此可以直接用最小二乘法估计回归系数，并进行检验和预测。双曲线模型倒幂函数模型

ezplot('1/y=1+1/x',[0.01,10,0,1])ezplot('1/y=1-1/x',[0.01,1,-10,1])ezplot('y=1+1/x',[0.01,10,0,10])ezplot('y=1-1/x',[0.01,1,-10,2])对数曲线模型S型曲线模型

ezplot('y=1/(1+exp(-x))',[-6,6,0,1])（2）间接代换型通过对数变形的代换，间接化为线性回归模型，由于在对数变形代换过程中，改变了被解释变量的形态，使最小二乘法估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，估计不到原模型的最佳回归系数，从而造成了回归模型与原数列之间出现较大误差。指数曲线模型

倒指数曲线幂函数曲线

【例6-10】已知某大型超市2012年至2021年的商品零售额和流通费用率数据如表6-8。若2022年该商店的商品零售额预计为800万元，试预测2022年商品流通费用率和流通费用额各是多少？1）画散点图直观选择曲线x=[220245286365440490550620680750]';y=[8.07.56.86.15.45.04.74.54.24.0]';plot(x,y,'o')从散点图可知，初步判断可用幂函数曲线模型：年份2012201320142015201620172018201920202021零售额/万元220245286365440490550620680750流通费用率/%8.07.56.86.15.45.04.74.54.24.0（2）线性化变换及回归v=log(y)u=log(x)U=[ones(size(u))u];[b,bint,r,rint,stats]=regress(v,U)（3）预测及模型系数还原x1=800u1=log(x1)V=[ones(size(u1))u1]*b%2010流通费用率预测值Y=exp(V)%还原2010流通费用率预测值A=exp(b(1))%还原模型系数aB=b(2)%还原模型系数bz=x1*Y/100%2010流通费用额预测值%绘图V1=U*b%预测Y1=exp(V1)%还原plot(x,y,‘+’,[x;x1],[Y1;Y],‘-O‘)b=5.1234-0.5650V=1.3467Y=3.8448A=167.9036B=-0.5650z=30.75856.6.2非线性回归命令法（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’,beta0）输入变量：x、y分别为矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量；model：是事先用m-文件定义的非线性函数；beta0：回归系数的初值。输出变量：beta：估计出的回归系数；r：残差；J：Jacobian矩阵。(2）回归系数beta的置信区间ci=nlparci(beta,r,J)（3）预测和预测误差估计[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）求nlinfit所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA。【例6-11】（续例6-10）利用非线性回归方法求解（1）选取幂函数曲线模型，建立函数名为mihanshu.m的M文件functiony=mihanshu(beta,x)y=beta(1)*x.^beta(2)2）建立M文件y=[109.28.57.87.36.96.66.26.16]'x=[160200280340400460520600700760]'beta0=[50,0]';[beta,r,J]=nlinfit(x,y,'mihanshu',beta0)ci=nlparci(beta,r,J)%置信区间x1=800[Y,delta]=nlpredci('mihanshu',x1,beta,r,J)z=x1*Y/1006.6.3逻辑增长曲线模型生物个体生长发育及某些技术、经济特性的发展，一般经历三个阶段。在发生阶段，变化速度较为缓慢；在发展阶段，变化速度加快；到成熟阶段又趋缓慢。按照这个发展规律得到的事物变化发展曲线，称为生长曲线或逻辑增长曲线，由于此类曲线常似S型。故又称S曲线。（1）皮尔生长曲线的一般模型K为常数（如某种耐用消费品饱和状态时的普及率）皮尔生长曲线模型常用形式可用MATLAB非线性回归命令法求解未知常数a、b和K，其图形与S型曲线相似。（2）林德诺生长曲线模型一般形式如在研究新产品销售时，N(t)和N0分别表示在t时刻和初始时刻熟悉新产品的人数，L为的极限值，r为校正系数，可用增长率指标来刻画。此模型常用来预测人口增长问题。【例6-12】某汽车集团有限公司从2010年开始投产制造某种品牌的家用小汽车，2011--2021年期间统计家用小汽车销售量如表6-9所示，试建立皮尔生长曲线的数学模型，并预测2022--2025年的家用小汽车销售量。（1）建立函数名为pier.m的M文件functiony=pier(beta,x)y=beta(1)./(1+beta(2).*exp(-beta(3).*x));年份20112012201320142015201620172018201920202021销售量/台45060085010501280170022002400260026802760（2）建立M文件x=1:11;y=[450 60085010501280170022002400 260026802760];beta0=[500,101][beta,r,J]=nlinfit(x,y,'pier',beta0)%非线性拟合参数[Y,delta]=nlpredci('pier',x,beta,r,J)%2011-2021年预测值plot(x,y,'o',x,Y,'-+')xlabel('时间/年')ylabel('销售额/辆')%预测2022-2025年x1=12:15[Y1,delta]=nlpredci('pier',x1,beta,r,J)%2022-2025年预测值beta=1.0e+03*3.0328917834902220.0107953416208200.0004504374793836.7虚变量回归分析虚变量主要用以描述在某些特殊情况下，由于各种原因而无法计量的因素，如某些暂时性的影响以及由于政策、季节或地区不同等因素所造成的差异，其取值只有0和1。例如，在分析服装消费变化时，考虑到女性对服装款式的爱好和要求比男性广泛的多，这时，就可以引入虚变量来描述这种由于性别差异对服装消费的影响。虚变量回归分析的目的是量化定性因素对被解释变量的影响关系和影响程度。方法是将虚变量作为解释变量引入回归模型。（1）虚变量回归模型其中，y为被解释变量，D为虚变量给出了无属性A时y的平均水平，给出了有属性A时y的平均水平，给出了有、无属性A的平均差异。（2）虚实变量的混合模型。在反映某种因素发生重大变异跳跃或政策变化发生转折点时，可用带有虚变量的模型来表示，其模型形式为：其中，y为被解释变量，x为解释变量，D为虚变量，如在某时刻t0发生重大变异，xt表在时刻t0的观察值。【例6-13】分析某城市居民的年服装消费状况，随机调查了该市32位居民，了解其个人收入和受教育程度，其中男性用1表示，女性用0表示；受大学教育程度的用1表示，未受大学教育程度的用0表示，得到的数据如表所示。编号消费收入性别教育编号消费额收入性别教育12000250001117250019000012300023000001830002000000328002000001193200216000042400320001020240032000115360050000112130004200011640004500001223200250000173000260000023310026000108250026000112415002200011935003000001251800200001110300032000102632003000000113400450000027400035000001225003000011282800310001113180026000102916002800011142600320000030280030000001528002800001312600200000016200025000113218002400011建立模型其中，y是居民年服装消费额，x是个人年收入A=[2000250001130002300000280020000012400320001036005000011400045000013000260000025002600011350030000013000320001034004500000250030000111800260001026003200000280028000012000250001125001900001300020000013200216000124003200011300042000113200250000131002600010150022000111800200001132003000000400035000002800310001116002800011280030000002600200000018002400011][m,n]=size(A)Y=A(:,1);X=[ones(m,1),A(:,2:4)][b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)b=1.0e+003*1.754169844549110.00004919399347-0.76677590520946-0.09738949615119由此可知，R2为0.68，模型显著，F统计量为20大于临界值、概率p为0小于0.05，通过检验。性别系数为负值，且值为766.78很大，说明女性消费者消费服装的水平明显高于男性；受教育程度系数为-97.38，说明受过高等教育的消费者，其服装水平明显低于其它消费者，由于收入变量的系数为0.049，比较小，说明女性消费能力与收入关系不够明显。stats=1.0e+005*0.000006823078290.000200452103780.000000000003881.482799842907776.8案例分析【例6-14】我国1962--2021年的人口数据如表6-11所示，试采用曲线拟合法建立其数学模型，并预测我国未来人口数量的发展趋势。6.8.1我国人口预测模型时间人口时间人口时间人口时间人口时间人口19626.7319749.09198610.75199812.48201013.4119636.9219759.24198710.93199912.58201113.4719647.0519769.37198811.10200012.67201213.5419657.2519779.50198911.27200112.76201313.6119667.4519789.63199011.43200212.85201413.6819677.6419799.75199111.58200312.92201513.7519687.8519809.87199211.72200413.00201613.9219698.07198110.01199311.85200513.08201714.0019708.30198210.17199411.99200613.14201814.0519718.52198310.30199512.11200713.21201914.1019728.72198410.44199612.24200813.28202014.1219738.92198510.59199712.36200913.35202114.13MATLAB程序:（1）先输入数据，画出散点图y=[6.736.927.057.257.45 7.647.858.078.308.52...8.72 8.929.099.249.379.509.639.759.8710.01...10.1710.3010.4410.5910.7510.9311.1011.2711.4311.58...11.7211.8511.9912.1112.2412.3612.4812.58 12.6712.76...12.8512.9213.0013.0813.1413.2113.2813.3513.4113.47...13.5413.6113.6813.7513.9214.0014.0514.1014.1214.13];x=1:length(y);plot(x,y,'+')xlabel('时间')ylabel('人口数/亿人')（2）用二次曲线进行拟合p1=polyfit(x,y,2)Y1=polyval(p1,x);figure(2)plot(x,y,'+',x,Y1)（3）用指数曲线拟合p2=polyfit(x,log(y),2)Y2=polyval(p2,x);Z2=exp(Y2);figure(3)plot(x,y,'+',x,Z2)p1=-0.00140.21016.4760p2=-0.00020.02411.9037（4）用林德诺生长曲线模型非线性拟合1)先建立函数linderuo.M文件functionN=linderuo(beta,t)N0=6.73;N=beta(1)./(1+(beta(1)./N0-1).*exp(-beta(2).*t));end2)再建立脚本M文件x=1962:2021;t=x-1962;N=[6.736.927.057.257.45 7.647.858.078.308.52...8.72 8.929.099.