高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”课堂探究教学实录 新人教B版选修2-3

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”课堂探究教学实录新人教B版选修2-3课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容教材：新人教B版选修2-3高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”课堂探究教学实录

内容：通过课堂探究活动，让学生理解杨辉三角的构成规律，掌握二项式定理的基本概念和计算方法，并能运用二项式定理解决一些实际问题。二、核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过探究杨辉三角的规律，理解二项式定理的数学本质。提升逻辑推理能力，通过推导二项式定理，锻炼学生的逻辑思维和证明技巧。增强数学建模意识，将实际问题转化为数学模型，运用二项式定理进行求解，提高学生解决实际问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点

①掌握杨辉三角的构成规律，理解二项式系数与组合数之间的关系。

②理解二项式定理的公式及其证明过程，能够灵活运用定理进行计算。

③学会使用二项式定理解决实际问题，包括代数式展开和概率问题。

2.教学难点

①理解二项式定理的推导过程，尤其是组合数在推导中的作用。

②将实际问题抽象为二项式定理的应用模型，建立数学模型的能力。

③在解决复杂问题时，灵活选择和应用二项式定理，避免错误和遗漏。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教B版选修2-3高中数学教材，以便学生跟随教材内容进行学习。

2.辅助材料：准备杨辉三角的图片、二项式定理的证明过程动画以及与二项式定理相关的实例应用案例。

3.教学工具：准备计算器或电子表格软件，以便学生在课堂练习中使用。

4.教室布置：设置分组讨论区，便于学生进行合作探究；确保教室环境安静，便于学生集中注意力。五、教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示一些日常生活中常见的组合现象，如彩票抽奖、足球比赛胜负排列等，引导学生思考组合数的应用。

-回顾旧知：回顾组合数的概念和计算方法，强调组合数在解决实际问题中的重要性。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：

a.引入杨辉三角的概念，展示杨辉三角的图案，引导学生观察其规律。

b.讲解二项式定理的基本公式，解释二项式系数的含义。

c.通过具体例子，如展开（a+b）^n，帮助学生理解二项式定理的应用。

-举例说明：

a.展开简单的二项式，如（a+b）^2、（a+b）^3，让学生观察规律。

b.通过实例讲解二项式定理在概率计算中的应用。

-互动探究：

a.分组讨论：让学生分组讨论杨辉三角的规律，分享各自发现。

b.实验探究：让学生通过计算验证二项式定理的正确性。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

a.学生独立完成课后练习题，包括二项式定理的应用题和概率题。

b.学生展示解题过程，分享解题思路和方法。

-教师指导：

a.教师巡视课堂，解答学生在练习过程中遇到的问题。

b.教师选取典型问题进行讲解，帮助学生巩固知识点。

4.总结与反思（约5分钟）

-教师总结本节课的主要知识点，强调二项式定理在数学和实际生活中的应用。

-引导学生反思本节课的学习过程，总结学习心得。

5.课后作业（约10分钟）

-布置课后作业，包括二项式定理的应用题和拓展题，让学生进一步巩固所学知识。

-鼓励学生课后进行自主探究，寻找二项式定理在其他领域的应用。六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：

学生通过本节课的学习，能够熟练掌握杨辉三角的构成规律，理解二项式定理的基本公式及其证明过程。他们能够运用二项式定理进行代数式的展开，解决与组合数相关的问题。

2.能力提升：

学生在探究杨辉三角规律的过程中，提升了观察能力和逻辑推理能力。通过举例说明和互动探究，学生的抽象思维能力得到了锻炼，能够将实际问题转化为数学模型。

3.应用能力：

学生能够将二项式定理应用于解决实际问题，如计算概率、解决组合问题等。他们学会了如何将数学知识应用于日常生活和学科学习。

4.学习兴趣：

通过课堂活动，学生对数学产生了浓厚的兴趣，尤其是对组合数学和概率论产生了好奇心。这种兴趣将激励他们在课后进行自主学习，探索更多数学知识。

5.团队合作：

在分组讨论和互动探究环节，学生学会了与他人合作，共同解决问题。他们学会了倾听他人意见，尊重他人观点，并在团队中发挥自己的优势。

6.自主学习能力：

学生通过本节课的学习，培养了自主学习的能力。他们学会了如何查阅资料、分析问题、解决问题，并在遇到困难时主动寻求帮助。

7.创新思维：

在探究杨辉三角规律的过程中，学生发挥了自己的创新思维，提出了不同的观点和解决方案。这种创新精神将有助于他们在未来的学习和工作中取得成功。

8.评价与反思：

学生能够对本节课的学习效果进行自我评价和反思，总结自己的学习成果和不足之处。这种自我评价能力将有助于他们不断调整学习方法，提高学习效果。七、板书设计1.杨辉三角

①杨辉三角的结构

②每一行的首尾都是1

③每一行的中间数字是上一行相邻两数之和

2.二项式定理

①二项式定理公式

②二项式系数的含义

③二项式定理的证明过程

3.应用举例

①展开二项式

②解决组合问题

③应用二项式定理计算概率

4.课堂小结

①杨辉三角与二项式定理的关系

②二项式定理的应用领域

③学生自我评价与反思八、教学反思教学反思

今天这节课，我觉得整体上还算顺利，但也发现了一些可以改进的地方。首先，我在导入环节花了些时间，通过日常生活中的例子来激发学生的兴趣，看到他们开始认真思考，我觉得这是一个好的开始。

然后，在讲解二项式定理的时候，我发现学生对于杨辉三角的规律理解得比较快，但是一提到二项式定理的应用，他们的反应就不太积极了。我想这可能是由于理论知识的抽象性与实际应用的直接性之间的差距。我需要更加注重将理论知识与实际生活相结合，让学生看到数学的价值。

在互动探究环节，我让学生分组讨论杨辉三角的规律，这确实激发了他们的参与热情。但是，我发现有的小组讨论得很热烈，有的小组则显得有些沉默。这可能是因为小组内部的分工不均，或者是我没有给予足够的指导。接下来，我会在小组讨论前更明确地说明任务分工，并鼓励每个学生都参与到讨论中。

在讲解二项式定理的证明过程时，我发现一些学生显得有些迷茫，这可能是因为证明过程中涉及到的数学逻辑比较复杂。我意识到，在未来的教学中，我应该更耐心地解释数学逻辑，并尽量用更直观的方式展示证明过程。

在巩固练习环节，我看到了学生的不同反应。有的学生能够迅速解答问题，有的学生则显得有些困惑。这让我想到，我可能需要根据学生的不同水平来设计练习题，让每个学生都能找到适合自己的练习。

1.在讲解二项式定理的应用时，我需要更加注重理论与实践的结合，让学生看到数学在生活中的应用价值。

2.在小组讨论环节，我需要更加细致地指导学生，确保每个学生都有参与的机会。

3.在讲解证明过程时，我需要更加耐心，帮助学生理解数学逻辑。

4.在布置作业时，我要考虑学生的不同水平，设计分层练习。重点题型整理1.题型一：杨辉三角的规律探究

题目：观察杨辉三角，写出第三行和第五行的所有数字。

答案：第三行：1,2,1；第五行：1,4,6,4,1。

2.题型二：二项式定理的应用

题目：利用二项式定理展开（2x+3）^4。

答案：（2x+3）^4=16x^4+96x^3+216x^2+216x+81。

3.题型三：组合数的计算

题目：计算组合数C(7,3)。

答案：C(7,3)=7!/(3!*(7-3)!)=35。

4.题型四：二项式定理在概率中的应用

题目：从一个装有5个红球和7个蓝球的袋子中随机取出3个球，求取出的球中有2个红球的概率。

答案：P(2红球)=C(5,2)*C(7,1)/C(12,3)=10/22。

5.题型五：二项式定理在实际问题中的应用

题目：一个篮球队有10名球员，教练需要从这10名球员中选择5名参加比赛。教练有多少种不同的选择方式？

答案：C(10,5)=10!/(5!*(10-5)!)=252种选择方式。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了二项式定理及其在杨辉三角中的应用。通过这节课的学习，我们了解到杨辉三角的构成规律，以及如何利用二项式定理进行代数式的展开和解决实际问题。

首先，我们通过观察杨辉三角，发现了每一行的首尾都是1，而中间的数字是上一行相邻两数之和的规律。这个规律不仅帮助我们理解了组合数的计算，还为我们提供了二项式定理的直观展示。

接着，我们学习了二项式定理的基本公式，并通过具体例子展示了如何运用二项式定理进行代数式的展开。例如，展开（a+b）^3，我们可以得到a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。这个例子让学生们明白了二项式定理在代数计算中的实用性。

在组合数的计算方面，我们学习了如何使用组合数公式C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)来计算从n个不同元素中取出k个元素的组合数。通过计算C(7,3)，我们得到了35种不同的组合方式，这展示了组合数在解决实际问题中的重要性。

此外，我们还探讨了二项式定理在概率问题中的应用。例如，我们计算了从一个装有5个红球和7个蓝球的袋子中随机取出3个球，求取出的球中有2个红球的概率。通过计算P(2红球)，我们得到了1