广东省肇庆市高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用教学设计 理 新人教A版选修2-2

广东省肇庆市高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用教学设计理新人教A版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以“广东省肇庆市高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用”为主题，围绕新人教A版选修2-2教材内容，通过几何图形的面积、体积等实际问题的解决，引导学生掌握定积分在几何中的应用方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。教学过程中，注重理论与实践相结合，引导学生通过探究、讨论、实践等方式，深入理解定积分在几何中的应用，提高学生的数学素养。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过几何问题中的定积分应用，学生能够体会数学与实际生活的联系，提高抽象思维能力；通过解题过程，学生能够锻炼逻辑推理和数学建模能力；通过图形直观，学生能够培养直观想象能力；在计算和推导过程中，学生能够提升数学运算能力；最后，通过数据分析，学生能够提高对数学问题的分析和解决问题的能力。重点难点及解决办法重点：定积分在几何图形面积和体积中的应用。

难点：从实际问题中抽象出定积分模型，并运用定积分计算几何量。

解决办法：

1.重点：通过实例分析，引导学生理解定积分在几何中的应用，如利用定积分求曲线下的面积、旋转体的体积等。

2.难点：通过小组讨论，引导学生从实际问题中抽象出积分模型，并运用积分公式进行计算。同时，教师可提供典型例题，帮助学生突破难点，加深理解。此外，利用几何软件辅助教学，直观展示积分过程，帮助学生直观理解。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教A版选修2-2教材，以便学生能够跟随教材内容学习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的几何图形图片、定积分计算过程图表，以及相关数学问题的视频讲解。

3.教学软件：利用几何画板等教学软件，展示定积分在几何中的应用，如面积和体积的计算过程。

4.教室布置：布置教室环境，设置分组讨论区，便于学生进行小组合作学习。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示一些生活中常见的几何图形，如圆形、矩形、圆锥等，引导学生思考这些图形的面积和体积是如何计算的。

-回顾旧知：简要回顾积分的概念，以及积分在解决实际问题中的应用。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细讲解定积分在几何图形面积和体积中的应用，包括积分的定义、积分的计算方法等。

-举例说明：通过具体例子，如求圆的面积、矩形体积等，帮助学生理解定积分的应用。

-互动探究：引导学生讨论如何将实际问题转化为积分问题，并尝试解决一些简单的积分问题。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：让学生独立完成一些定积分在几何中的应用练习题，如求曲线下的面积、旋转体的体积等。

-教师指导：巡视课堂，针对学生在解题过程中遇到的问题，及时给予指导和帮助。

4.深入探究（约20分钟）

-引导学生思考如何运用定积分解决实际问题，如计算曲线围成的面积、求解曲线的长度等。

-学生分组讨论，每组选择一个具体问题进行探究，并尝试运用定积分进行计算。

-各组汇报探究结果，教师点评并总结。

5.实践应用（约20分钟）

-学生活动：利用所学知识，解决实际问题，如计算不规则图形的面积、求解实际工程中的体积问题等。

-教师指导：针对学生在实际问题解决过程中遇到的问题，提供帮助和指导。

6.总结与反思（约5分钟）

-教师总结：对本节课所学内容进行总结，强调定积分在几何中的应用。

-学生反思：引导学生回顾本节课的学习内容，思考如何将所学知识应用于实际生活。

7.布置作业（约5分钟）

-布置课后作业，包括定积分在几何中的应用练习题，以及实际问题解决题，以巩固所学知识。教学资源拓展1.拓展资源：

-定积分在物理学中的应用：介绍定积分在物理学中计算位移、速度、加速度等物理量的应用，如通过定积分计算物体在一段时间内的位移。

-定积分在经济学中的应用：探讨定积分在经济学中计算总收益、总成本等经济量的应用，如通过定积分分析企业的收入和成本。

-定积分在工程学中的应用：阐述定积分在工程学中计算结构受力、流体力学等领域的应用，如通过定积分计算梁的弯曲应力。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《高等数学》等高等数学教材，深入了解定积分的理论和应用。

-观看在线课程：推荐学生观看相关的在线课程，如“定积分在物理学中的应用”、“定积分在经济学中的应用”等，以拓宽知识面。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛、数学奥林匹克竞赛等，通过竞赛提高解决实际问题的能力。

-实践项目：引导学生参与实践项目，如设计一个简单的物理实验或经济模型，运用定积分解决实际问题。

-小组合作研究：组织学生进行小组合作研究，选取一个与定积分相关的实际问题，通过查阅资料、讨论和实验等方式进行研究，并撰写研究报告。

-撰写论文：鼓励学生撰写与定积分相关的论文，如探讨定积分在某个领域的应用，或对定积分理论进行深入研究。

-参观实验室：组织学生参观相关实验室，如物理实验室、工程实验室等，了解定积分在实验中的应用。

-参加学术讲座：推荐学生参加定积分相关的学术讲座，与专家学者交流，拓宽学术视野。课堂1.课堂评价方法

-提问：在课堂教学中，教师通过提问的方式检查学生对知识的掌握情况。问题设计要具有层次性，既有基础知识的提问，也有拓展性的问题，以激发学生的思考。

-观察：教师通过观察学生的课堂表现，如参与度、讨论积极性、解题过程等，评估学生的学习态度和实际操作能力。

-测试：定期进行小测验或课堂练习，检验学生对定积分在几何中的应用的理解程度和计算能力。

2.课堂评价实施

-在讲解新知环节，通过提问检查学生对积分概念的理解，确保学生能够正确运用积分的定义和性质。

-在举例说明环节，观察学生是否能够跟随教师的思路，理解并应用定积分解决具体问题。

-在互动探究环节，鼓励学生提出问题，并引导他们通过讨论和实验找到答案，评估学生的探究能力和团队协作精神。

-在巩固练习环节，通过学生独立完成的练习题，评估他们对定积分应用的实际操作能力。

3.课堂评价反馈

-及时反馈：对学生的回答和表现给予即时反馈，对于错误及时纠正，对于正确答案给予肯定。

-针对性指导：根据学生的表现，提供个性化的指导，帮助学生克服学习中的难点。

-课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，让学生在交流中分享学习心得，提高课堂参与度。

4.课堂评价效果

-通过课堂评价，教师能够全面了解学生的学习情况，为后续教学提供依据。

-学生通过课堂评价，能够认识到自己的学习优势和不足，从而有针对性地进行自我提升。

-课堂评价有助于营造积极的学习氛围，激发学生的学习兴趣和主动性。

5.课堂评价记录

-教师应记录每位学生的课堂表现，包括参与度、回答问题的情况、作业完成情况等。

-定期对学生的课堂表现进行总结，分析学生的学习动态，为教学调整提供参考。

6.课堂评价改进

-根据学生的反馈和课堂表现，不断调整教学策略，使教学内容更贴近学生的实际需求。

-引入多元化的评价方式，如学生互评、自我评价等，提高评价的全面性和客观性。

-加强与家长的沟通，共同关注学生的学习进展，形成家校共育的良好局面。板书设计①导数及其应用

-导数概念

-导数的几何意义

-导数的物理意义

②定积分

-定积分的定义

-定积分的性质

-定积分的计算方法

③定积分在几何中的应用

-曲线围成的面积

-旋转体的体积

-定积分在曲线长度计算中的应用

④解题步骤

-确定积分区间

-选择合适的积分公式

-计算积分

-结果的几何解释反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合实际案例：在讲解定积分在几何中的应用时，我尝试结合实际案例，如建筑物的设计、工程计算等，让学生感受到数学的应用价值，提高他们的学习兴趣。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体技术，通过动画、视频等形式展示定积分的计算过程，帮助学生直观理解，提高教学效果。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对积分概念理解不深：部分学生在理解积分概念时存在困难，对积分的定义、性质和计算方法掌握不牢固。

2.教学方式单一：在教学中，我主要采用讲授法，学生参与度不高，课堂氛围较为沉闷。

3.评价方式单一：目前主要依靠课堂提问和作业批改来评价学生的学习情况，缺乏多元化的评价方式。

反思改进措施（三）改进措施

1.深化积分概念教学：针对学生对积分概念理解不深的问题，我将通过举例、类比等方法，帮助学生更好地理解积分的定义和性质。同时，加强课堂练习，提高学生的计算能力。

2.丰富教学方式：为了提高学生的参与度，我将尝试引入小组讨论、角色扮演等互动式教学方法，让学生在合作中学习，提高他们的沟通能力和团队合作精神。

3.多元化评价方式：为了全面评价学生的学习情况，我将采用课堂表现、小组讨论、作业、测试等多种评价方式，关注学生的综合素质发展。同时，定期与学生沟通，了解他们的学习需求和困难，针对性地进行教学调整。典型例题讲解例题1：求由曲线\(y=x^2\)和直线\(y=2x\)所围成的平面图形的面积。

解答：首先，确定积分区间。由\(y=x^2\)和\(y=2x\)交点可得\(x^2=2x\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。因此，积分区间为\([0,2]\)。

接着，设置积分表达式：所求面积\(S\)为两函数差的积分，即\(S=\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx\)。

计算积分：\[

S=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}=\left(2^2-\frac{2^3}{3}\right)-\left(0^2-\frac{0^3}{3}\right)=\frac{4}{3}

\]

所以，所求面积为\(\frac{4}{3}\)。

例题2：求由曲线\(y=e^x\)和直线\(y=x\)所围成的平面图形的面积。

解答：确定积分区间。由\(y=e^x\)和\(y=x\)交点可得\(e^x=x\)，解得\(x=0\)和\(x=1\)。因此，积分区间为\([0,1]\)。

设置积分表达式：所求面积\(S\)为两函数差的积分，即\(S=\int_{0}^{1}(e^x-x)\,dx\)。

计算积分：\[

S=\left[e^x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}=\left(e-\frac{1}{2}\right)-\left(1-0\right)=e-\frac{3}{2}

\]

所以，所求面积为\(e-\frac{3}{2}\)。

例题3：求由曲线\(y=\sqrt{x}\)和直线\(y=x\)所围成的平面图形的面积。

解答：确定积分区间。由\(y=\sqrt{x}\)和\(y=x\)交点可得\(x=0\)和\(x=1\)。因此，积分区间为\([0,1]\)。

设置积分表达式：所求面积\(S\)为两函数差的积分，即\(S=\int_{0}^{1}(x-\sqrt{x})\,dx\)。

计算积分：\[

S=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{1}=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot1^{3/2}\right)-\left(0-0\right)=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}

\]

所以，所求面积为\(\frac{1}{6}\)。

例题4：求由曲线\(y=\ln(x)\)和直线\(y=x\)所围成的平面图形的面积。

解答：确定积分区间。由\(y=\ln(x)\)和\(y=x\)交点可得\(x=e\)。因此，积分区间为\([1,e]\)。

设置积分表达式：所求面积\(S\)为两函数差的积分，即\(S=\int_{1}^{e}(x-\ln(x))\,dx\)。

计算积分：\[

S=\left[\frac{x^2}{2}-x\ln(x)+x\right]_{1}^{e}=\left(\frac{e^2}{2}-e\ln(e)+e\right)-\left(\frac{1}{2}-\ln(1)+1\right)=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}

\]

所以，所求面积为\(\frac{e^2-1}{2}\)。

例题5：求由曲线\(y=\frac{1}{x}\)和直线\(y=x\)所围成的平面图形的面积。

解答：确定积分区间。由\(y=\frac{1}{x}\)和\(y=x\)交点可得\(x=1\)。因此，积分区间为\([0.1,10]\)。

设置积分表达式：