2022年安徽省宣城市宁国市中考一模数学试卷（原卷版+解析版）

宁国市2022年九年级第一次调研考试数学注意事项：1．共八大题，23小题，满分150分，答题时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.与互为相反数的是（）A.2022 B. C. D.2.据新安晚报记者从合肥市轨道集团获悉，月日，合肥轨道交通线网总客流突破亿人次，其中亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图所示的几何体的左视图是（）A. B. C. D.4.计算的结果是（）A B. C. D.5.把一副三角尺按如图所示的方式放置，其中角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，将三角板绕点旋转，与交于点，与交于点．当时，的度数是（）A. B. C. D.6.一个盒子里有完全相同三个小球，球上分别标上数字1、2、4．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则、满足不等式的概率是（）A. B. C. D.7.已知数a，b，c满足，则与的关系是（）A. B. C. D.8.菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的高为（）A.5 B.10 C. D.9.如图，在中，，平分，，垂足为点D，M是边的中点，，，则的长度为（）A4 B.5 C.8 D.910.如图，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图所示，则的长是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.计算：______．12.分解因式：_____．13.如图，菱形的边，分别与相切于点，．若，若，则劣弧的长为_____．14.如图，将一张矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点．经过折叠该纸片，得点和折痕．（1）当点恰好落在轴上时，点的坐标为_____．（2）当点的坐标为时，点的坐标为_____．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解不等式：．16.如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格格点上）．（1）画出关于轴对称的．（2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知：直线与双曲线相交于点和点．（1）求值及点坐标．（2）根据图象，直接写出不等式的解集．18.合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示：[观察思考]第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形中有_____个棋子．（2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）．[问题解决]（3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯距地面的高度米，射出的光线与地面的夹角分别是和，求大灯照亮的空间截面的面积．（参考数据：，，，）20.如图，是的直径，与相切于点，且．连接，过点作于点，交于点，连接．（1）求证：．（2）连接交于点，交于点．若，求的长．六、（本题满分12分）21.2022年3月22日，铜陵某校体育老师为了解男生体能情况，随机调查了九年级50名男生“1分钟跳绳”的个数，并将调查所得的数据，按跳绳个数分成六组：，整理为频数分布直方图如下．（每组包含最小值不包含1最大值）根据图中信息，解答下列问题：（1）求出频数分布直方图中的的值．（2）判断九年级50名男生“1分钟跳绳”的个数的中位数在哪一组（直接写出结果）．（3）若该校九年级共800名男生，请估计该校九年级男生中“1分钟跳绳个数”不低于110个的人数．七、（本题满分12分）22.在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如点都是“潇洒点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“潇洒点”．（1）小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式．（2）求a，b的值，及二次函数的顶点坐标．（3）将图象上移个单位得到抛物线，若上有两个“潇洒点”分别是，且，求当时，中y的最大值和最小值．八、（本题满分14分）23.如图，在等边的，边上分别任取一点，，且，、相交于点．（1）求证：．（2）若，求的值．（3）若的周长为，求出的最小值．

宁国市2022年九年级第一次调研考试数学注意事项：1．共八大题，23小题，满分150分，答题时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.与互为相反数的是（）A.2022 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查相反数定义．根据题意利用相反数定义即可得到本题答案．【详解】解：∵的相反数是2022，故选：A．2.据新安晚报记者从合肥市轨道集团获悉，月日，合肥轨道交通线网总客流突破亿人次，其中亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．根据科学记数法的定义解答即可．【详解】解：亿，故答案为：B．3.如图所示的几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】该题考查了几何体的三视图，根据左视图定义求解即可．【详解】解：根据题意可得，该几何体的左视图是，故选：A．4.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查积的乘方、幂的乘方运算以及单项式乘法，较容易，熟练掌握积的乘方以及幂的乘方运算法则是顺利解题的关键．根据相关运算法则进行运算即可求解．【详解】解：，故选：C．5.把一副三角尺按如图所示的方式放置，其中角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，将三角板绕点旋转，与交于点，与交于点．当时，的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．利用平行线的性质求得，再利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：D．6.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、2、4．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则、满足不等式的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图列出可能出现的情况，再找出符合题意的情况，即可得到答案．【详解】解：∵一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、2、4，画树状图如下：，由树状图可知共有6种等可能情况，其中的情况有3种，∴、满足不等式的概率是：，故选：C．7.已知数a，b，c满足，则与的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，得到，等量代换得到，即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故选B．8.菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的高为（）A.5 B.10 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据菱形性质、面积公式以及勾股定理即可求解．【详解】解：菱形的两条对角线长分别为6和8，菱形的面积为：，又菱形的面积底高，菱形的两条对角线互相垂直且平分，菱形的边长，该菱形的高为．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的面积公式是解题关键．9.如图，在中，，平分，，垂足为点D，M是边的中点，，，则的长度为（）A.4 B.5 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形性质及判定，中位线性质及判定等．根据题意延长交于点，继而得到为等腰直角三角形，利用中位线判定定理得，继而得到本题答案．详解】解：延长交于点，，∵，平分，，∴，∴，，∵M是边的中点，∴为中位线，∵，∴，∴，故选：A．10.如图，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图所示，则的长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了动点问题中的三角形的面积，勾股定理，能从函数图象中获取有效信息是解答本题的关键．由题图可知，，，当点到达点时，的面积为，所以，代入数据解得，求得，在中，由勾股定理得，代入数据即可求解．【详解】解：由题图可知，，，当点到达点时，的面积为，，即，解得：，，在中，由勾股定理得：，故答案为：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.计算：______．【答案】5【解析】【分析】幂的运算中，底数不为0，指数为0的数是1．【详解】【点睛】本题考查了算术平方根、幂的运算等知识点，熟练的运算是解决问题的关键．12.分解因式：_____．【答案】【解析】【分析】本题考查分解因式，完全平方公式等．根据题意先将提出后利用完全平方公式整理即可．【详解】解：∵，故答案为：．13.如图，菱形的边，分别与相切于点，．若，若，则劣弧的长为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查切线的性质，菱形的性质，求弧长，根据菱形的性质，切线的性质，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：∵菱形，∴，∵，∴，∵，分别与相切于点，，∴，∴，∴，∴劣弧的长为；故答案为：．14.如图，将一张矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点．经过折叠该纸片，得点和折痕．（1）当点恰好落在轴上时，点的坐标为_____．（2）当点的坐标为时，点的坐标为_____．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）易得四边形为正方形，进而求出点的坐标即可；（2）过点作轴，根据折叠的性质，特殊角的三角函数值，求出，求出的长，进而求出点的坐标．【详解】解：（1）∵矩形纸片，点，点，∴，，∵折叠，∴，，∴四边形为正方形，∴，∴；故答案为：；（2）过点作轴，则：，∵点坐标为，∴，∴，∴，∵折叠，∴，∴，∴，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形，矩形与折叠问题，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解不等式：．【答案】【解析】【分析】本题考查求不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可．【详解】解：去分母，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：．16.如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上）．（1）画出关于轴对称的．（2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出．【答案】（1）图见解析（2）图见解析【解析】【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与旋转，熟练掌握轴对称和旋转的性质，是解题的关键：（1）根据轴对称的性质，画出即可；（2）根据旋转的性质，画出即可．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】如图，即为所求；四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知：直线与双曲线相交于点和点．（1）求值及点坐标．（2）根据图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1），点坐标为；（2）或【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数和反比例函数交点问题等．（1）将的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数解析式，进而联立一次函数和反比例函数即可求出点坐标；（2）从图象看反比例函数比一次函数高的部分即可求出本题答案．【小问1详解】解：∵直线与双曲线相交于点和点，∴将点的坐标代入一次函数中，即：，解得：，∴的直线解析式为：，联立方程组，解得：或，点坐标为；【小问2详解】解：从图象看，不等式的解集为：或．18.合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示：[观察思考]第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形中有_____个棋子．（2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）．[问题解决]（3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由．【答案】（1）34；（2）；（3）存在，第10个图形由114个棋子组成【解析】【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．（1）观察得到每一个图形中的棋子数等于图形个数乘以比个数多1的数再加4，即可得出答案；（2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解；（3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题．【详解】解：（1）∵由图知，第1个图形中有个圆形棋子，第2个图形中有个圆形棋子，第3个图形中有个圆形棋子，第4个图形中有个圆形棋子，∴第5个图形中有个圆形棋子，故答案为：34．（2）由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子，故答案为：．（3）存在，理由如下：令，解得，（舍去）．∴存在，第10个图形由114个棋子组成．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯距地面的高度米，射出的光线与地面的夹角分别是和，求大灯照亮的空间截面的面积．（参考数据：，，，）【答案】平方米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，求出，在中，求出，再根据面积公式求解即可．【详解】解：根据题意可得，在中，，，解得：（米），在中，，，解得：（米），（米），故的面积（平方米）．答：大灯照亮的空间截面的面积为平方米．20.如图，是的直径，与相切于点，且．连接，过点作于点，交于点，连接．（1）求证：．（2）连接交于点，交于点．若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出．根据切线的性质得出，证明，得出．垂径定理得出，即可证明．（2）根据（1）和垂径定理得出，在中，求出，在中，求出．在中，求出．证明，得出，即可得．【小问1详解】证明：是的直径，．，，．是的切线，，．在和中，，，．经过圆心，且，，．【小问2详解】解：，，，在中，，在中，，在中，．，，，，．【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．六、（本题满分12分）21.2022年3月22日，铜陵某校体育老师为了解男生体能情况，随机调查了九年级50名男生“1分钟跳绳”的个数，并将调查所得的数据，按跳绳个数分成六组：，整理为频数分布直方图如下．（每组包含最小值不包含1最大值）根据图中信息，解答下列问题：（1）求出频数分布直方图中的的值．（2）判断九年级50名男生“1分钟跳绳”的个数的中位数在哪一组（直接写出结果）．（3）若该校九年级共800名男生，请估计该校九年级男生中“1分钟跳绳个数”不低于110个的人数．【答案】（1）（2）在“”这一组（3）576人【解析】【分析】本题考查直方图，求中位数，从直方图中有效的获取信息，是解题的关键：（1）用总数减去其它组的频数进行计算即可；（2）根据中位线的定义，进行判断即可；（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．【小问1详解】解：由题意可知∶．【小问2详解】，∴将数据排序后，第25和第26个数据均在“”这一组，∴中位数在“”这一组；【小问3详解】（人）该校九年级男生中“1分钟跳绳个数”不低于110个的人数约为576人．七、（本题满分12分）22.在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如点都是“潇洒点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“潇洒点”．（1）小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式．（2）求a，b值，及二次函数的顶点坐标．（3）将的图象上移个单位得到抛物线，若上有两个“潇洒点”分别是，且，求当时，中y的最大值和最小值．【答案】（1）（2），顶点坐标为（3）的范围内，当时，y取得最大值；当时，y取得最小值-3【解析】【分析】（1）利用待定系数法选两个“潇洒点”代入求解即可；（2）将两个函数表达式联立方程组，由△=0和“潇洒点”求出a、b即可解答；（3）根据图象平移规则“左加右减，上加下减”得到l2，将l2解析式和y=﹣x联立方程组，利用两点距离公式和根与系数关系求出m值，进而求出两个“潇洒点”的横坐标，利用二次函数的性质求出最大值和最小值即可．【小问1详解】解：由题意，设直线l的解析式为y=kx+b，将“潇洒点”（﹣1，1）（2，﹣2）代入，得：k=-1，b=0，∴直线l的解析式为y=﹣x；【小问2详解】解：令，即，由题意，得，即①，又∵抛物线经过点，∴，即②，由①②解得，此时抛物线解析式为，顶点坐