2025年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（）A．﹣2 B． C． D．2．（3分）敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分（）A．0.38×103 B．3.8×102 C．3.8×1010 D．38×1094．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）不等式组的解集是（）A．﹣4＜x＜3 B．3＜x＜4 C．﹣3＜x＜4 D．﹣2＜x＜36．（3分）下列运算正确的是（）A．m2+m3＝m5 B．（mn2）3＝m3n6 C．m2n﹣mn＝m D．m4÷m﹣2＝m﹣27．（3分）有4张只有数字不同的卡片，上面分别写有2，3，4，5．从中随机抽取2张（）A． B． C． D．8．（3分）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，分别交AB，AE的延长线于点F，DG，则∠CGD等于（）A．16° B．17° C．18° D．19°9．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞b，那么ac＞bc B．如果a＝b＝0，那么ab＝0 C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b10．（3分）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买），则该社团共有几种购买方案（）A．1 B．2 C．3 D．4一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。11．（3分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是．13．（3分）已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，直线PB的表达式为．14．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，DE⊥AC，则∠DAC的大小为．15．（3分）在平面直角坐标系中，若a，b均为整数（a，b），规定：当a为奇数时，将其减1后除以2作为点B的横坐标，当a为偶数时；同时对b进行和a同样的处理作为点B的纵坐标．由点A到点B这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（0，﹣1），（0，0）中的一个．当a，b均为整数且|a|≥20，|b|≥20时（﹣1，0）的（a，b）是．（写出一个满足题意的点即可）三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤。16．（8分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝3．17．（8分）如图1，AC＝2AB＝4．以点A为圆心，适当长为半径画弧，AC于点M，N．分别以点M，以大于的长为半径画弧，交AE于点D．（1）求CD的长；（2）如图2，连接BD．分别以点A，C为圆心的长为半径画弧，两弧交于点P，交AB的延长线于点F．连接CF，交BD于点G．当∠BAC＝60°时，求18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3）．（1）当反比例函数的图象和矩形OABC有交点时，k的最大值为．（请直接写出结果）（2）如图，反比例函数的图象与AB，E，连接DE．①当k＝6时，求△ODE的面积；②连接AC，判断DE与AC是否平行？并说明理由．19．（9分）某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息．信息一每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用x表示（x≥60），将满意度数据分成如下四组：第1组60≤x＜70，第3组80≤x＜90，第4组90≤x≤100．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息．结合信息一解决下列问题：（1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第组；（2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是；（3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80图分的人数；信息二100名游客对本市历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务打分的平均分和方差如表：项目统计量历史文化自然景观地域特色旅游产品旅游服务平均分18.317.616.115.116.8方差2.12.31.81.93.4（4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二20．（9分）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究．动手操作：第一步，画出等腰△ABC，使得AB＝AC＝3．第二步，作出△ABC关于AC对称的△AB′C．第三步，过点A作BC的平行线，交直线B′C于点D．第四步，分别以AB，AD为边作▱ABED．根据以上操作，甲、乙、丙三位同学各自作出了如图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题．（1）直接写出图1中∠BAC的度数；（2）图2、图3中均有△AB′D≌△DEC．请就图2给出证明；（3）图3中BC＝4．求出AD的长．21．（10分）如图，等腰Rt△ABC内接于⊙O，点D是线段OB上异于O，点P在AB的延长线上，PD＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若BD＝3OD，求的值．22．（10分）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具．【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，休闲步道分别是AB，BC，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，CD＝5km，∠ABC＝106.4°【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以AD为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）．（1）求A，C两点间的距离；（2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin73.6°≈0.96，cos73.6°≈0.28）23．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．（1）当a＝1时，①求证：该抛物线的顶点不在第三象限；②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值．（2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）（2，n）．当t≤x≤t+1时，求的最小值．

2025年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDCDABACDC一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（）A．﹣2 B． C． D．【分析】比较各项的绝对值，绝对值最小的即为距离最近．【解答】解：数轴上表示的点距离原点最近的是，故选：B．2．（3分）敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不符合题意；B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；C、该图形是中心对称图形，不符合题意；D、该图形既是中心对称图形，符合题意．故选：D．3．（3分）2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分（）A．0.38×103 B．3.8×102 C．3.8×1010 D．38×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：380亿＝38000000000＝3.8×1010．故选：C．4．（3分）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】几何体的俯视图即为从上往下看所看到的平面图形，据此判断即可．【解答】解：根据三视图的概念可知，几何体的俯视图是．故选：D．5．（3分）不等式组的解集是（）A．﹣4＜x＜3 B．3＜x＜4 C．﹣3＜x＜4 D．﹣2＜x＜3【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．【解答】解：解不等式x﹣3＜0得x＜4，解不等式2（x+2）＞x得x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣4＜x＜3，故选：A．6．（3分）下列运算正确的是（）A．m2+m3＝m5 B．（mn2）3＝m3n6 C．m2n﹣mn＝m D．m4÷m﹣2＝m﹣2【分析】分别利用合并同类项，幂的乘方，整数指数幂的运算对各选项进行判断即可．【解答】解：A．m2和m3不是同类项，不能合并；B．（mn4）3＝m3n7，故此选项符合题意；C．m2n和mn不是同类项，不能合并；D．m4÷m﹣2＝m6，故此选项不符合题意．故选：B．7．（3分）有4张只有数字不同的卡片，上面分别写有2，3，4，5．从中随机抽取2张（）A． B． C． D．【分析】先根据列表法确定所有等可能结果数、以及能被3整除的结果数，然后再运用概率公式求解即可．【解答】解：如下：23252——（5，3）（2，8）（2，5）2（3，2）——（7，4）（3，7）4（4，7）（4，3）——（2，5）5（2，2）（5，5）（5，4）——由表知，共有12种等可能结果，∴概率＝．故选：A．8．（3分）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，分别交AB，AE的延长线于点F，DG，则∠CGD等于（）A．16° B．17° C．18° D．19°【分析】连接AC，AD，首先，由正五边形内角和公式求出内角∠BAE的度数，进而得到∠B和∠BAE的度数，然后，根据等腰三角形性质求出∠BAC和∠DAE的度数，求出∠CGD的度数，最后通过，求出∠CGD的度数．【解答】解：如图，连接AC，∴∠CAD＝2∠CGD，，∵五边形ABCDE为正五边形，，在等腰△ABC中，AB＝BC，，同理：∠EAD＝36°，∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠DAE＝36°，∴，故选：C．9．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞b，那么ac＞bc B．如果a＝b＝0，那么ab＝0 C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b【分析】分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可．【解答】解：A．逆命题为：如果ac＞bc，不符合题意；B．逆命题为：如果ab＝0，不符合题意；C．逆命题为：如果a2＞b6，那么a＞b是假命题，不符合题意；D．逆命题为：如果a＝b，符合题意．故选：D．10．（3分）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买），则该社团共有几种购买方案（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意，设购买了n个篮球，购买了m个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可．【解答】解：根据题意，设购买了n个篮球，∴120n+150m＝2400，整理得：4n+5m＝80且n，m为正整数，当n＝2时，；当n＝10时，；当n＝15时，；综上所述，该社团共有3种购买方案．故选：C．一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。11．（3分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥7，故答案为：x≥2．12．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是﹣3．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到一个关于另一根与m的方程组，即可求解．【解答】解：∵方程的一个根是2，设另一根是α，∴2α＝﹣2，α＝﹣3；故答案为：﹣3．13．（3分）已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，直线PB的表达式为．【分析】先求得A（2，0），B（0，2），设点P的坐标为（p，0）（p＞0），则AP＝|p﹣2|，再根据△APB的面积等于4求得p＝6，即P（6，0）；然后运用待定系数法求解即可．【解答】解：由条件可知A（2，0），5），设点P的坐标为（p，0）（p＞0），∵△APB的面积等于7，∴，解得：p＝3或﹣2（不合题意，∴P（6，2），设直线PB的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线PB的表达式为．故答案为：．14．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，DE⊥AC，则∠DAC的大小为25°．【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，∠E＝∠C＝40°、AB＝AD，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE＝50°，进而得到∠BAD＝∠CAE＝50°，然后根据等腰三角形的性质进而得∠ADB＝∠ABC＝65°，最后根据三角形外角的性质求解即可．【解答】解：由题意可得：∠BAC＝∠DAE，∠E＝∠C＝40°，∵DE⊥AC，∴∠CAE＝90°﹣∠E＝50°，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE＝50°，∵AB＝AD，∴，∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∴65°＝40°+∠DAC，解得：∠DAC＝25°．故答案为：25°．15．（3分）在平面直角坐标系中，若a，b均为整数（a，b），规定：当a为奇数时，将其减1后除以2作为点B的横坐标，当a为偶数时；同时对b进行和a同样的处理作为点B的纵坐标．由点A到点B这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（0，﹣1），（0，0）中的一个．当a，b均为整数且|a|≥20，|b|≥20时（﹣1，0）的（a，b）是（﹣20，20）（答案不唯一）．（写出一个满足题意的点即可）【分析】根据“归一变换”的定义求解即可．【解答】解：∵a，b均为整数且|a|≥20，∴（a，b）可以为（20，（20，（﹣20，（﹣20，选取（﹣20，20），对（﹣20，20）进行“归一变换”可得：（﹣10，对（﹣10，10）进行“归一变换”可得：（﹣5，对（﹣5，2）进行“归一变换”可得：（﹣3，对（﹣3，8）进行“归一变换”可得：（﹣2，对（﹣2，4）进行“归一变换”可得：（﹣1，∴经过数次“归一变换”后最终变换为（﹣1，3）的（a，20）（答案不唯一）．故答案为：（﹣20，20）（答案不唯一）．三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤。16．（8分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝3．【分析】（1）先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值化简，然后再计算即可；（2）直接运用分式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝＝＝；当x＝3时，原式＝．17．（8分）如图1，AC＝2AB＝4．以点A为圆心，适当长为半径画弧，AC于点M，N．分别以点M，以大于的长为半径画弧，交AE于点D．（1）求CD的长；（2）如图2，连接BD．分别以点A，C为圆心的长为半径画弧，两弧交于点P，交AB的延长线于点F．连接CF，交BD于点G．当∠BAC＝60°时，求【分析】（1）根据角平分线和平行线证明DC＝AC即可；（2）先证明△AFC是等边三角形，然后求出BF的长，再证△BFG∽△DCG即可求出的值．【解答】解：（1）由作图可知：AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵CD∥AB，∴∠ADC＝∠BAD．∴∠ADC＝∠CAD．∴CA＝CD．∵AC＝4，∴CD＝4．（2）由作图可知：PQ垂直平分AC，∴FA＝FC．∵∠BAC＝60°，∴△ACF为等边三角形．∴AF＝AC＝7．∵AC＝2AB，∴AB＝2．∴BF＝AF﹣AB＝6﹣2＝2．由（1）知，CD＝6，∴∠BFG＝∠DCG，∠FBG＝∠CDG．∴△BFG∽△DCG．∴．18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3）．（1）当反比例函数的图象和矩形OABC有交点时，k的最大值为12．（请直接写出结果）（2）如图，反比例函数的图象与AB，E，连接DE．①当k＝6时，求△ODE的面积；②连接AC，判断DE与AC是否平行？并说明理由．【分析】（1）由反比例函数的性质可得k＝xy，再根据反比例函数图矩形有交点，即0≤x≤4，0≤y≤3，进而得到x＝4，y＝3时，求出k有最大值即可；（2）①根据题意可得、；①如图：连接OD，OE．根据k＝6可得、E（2，3），即、CE＝2、，然后运用割补法即可解答；②先分别求出直线AC、DE解析式，然后根据一次项系数即可判定．【解答】解：（1）k的最大值为12；理由如下：由反比例函数，得：k＝xy，当反比例函数的图象和矩形OABC有交点时，2≤y≤3，∴当x＝4，y＝6时，故答案为：12；（2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，0），3），∴B（4，3），∴AB＝OC＝3，BC＝AO＝7，∵反比例函数的图象与AB，E，∴，，①如图1：连接OD，OE．∵k＝8，∴，E（2，∴，CE＝2，．∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OCE﹣S△ODA﹣S△BED＝＝＝；②DE与AC相互平行；理由如下：如图2，连接AC．设直线AC的表达式为y＝mx+n，将A（5，C（0，解得：，∴直线AC的表达式为，设直线DE的表达式为y＝px+q，将，分别代入得：，解得：，∴直线DE的表达式为，∵，∴直线DE可以由直线AC经过平移得到．∴DE∥AC．19．（9分）某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息．信息一每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用x表示（x≥60），将满意度数据分成如下四组：第1组60≤x＜70，第3组80≤x＜90，第4组90≤x≤100．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息．结合信息一解决下列问题：（1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第三组；（2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是72°；（3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80图分的人数；信息二100名游客对本市历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务打分的平均分和方差如表：项目统计量历史文化自然景观地域特色旅游产品旅游服务平均分18.317.616.115.116.8方差2.12.31.81.93.4（4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二【分析】（1）先用样本容量乘以第二组所占的百分比求出第二组的频数，然后再求出第四组的频数，再补全条形统计图即可；再根据中位数的定义即可确定其所在的组；（2）用360°乘以第四组所占的频率即可解答；（3）用样本估计整体即可解答；（4）根据平均数和方差进行分析即可解答．【解答】解：（1）第二组的频数为：100×36%＝36，第四组的频数为：100﹣12﹣36﹣32＝20，故补全频数分布直方图如下：由于有100个数据，则中位数为数据从大到小排列后的第50和51个数的平均数、二两组的数量总和为12+36＝48＜50，一、二，则这100个满意度分数的中位数位于第3组．故答案为：三．（2）．故答案为：72°；（3）（万人）．答：不低于80分的人数为3.536万人．（4）旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求，所以服务质量良莠不齐，切实提升游客的体验感．20．（9分）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究．动手操作：第一步，画出等腰△ABC，使得AB＝AC＝3．第二步，作出△ABC关于AC对称的△AB′C．第三步，过点A作BC的平行线，交直线B′C于点D．第四步，分别以AB，AD为边作▱ABED．根据以上操作，甲、乙、丙三位同学各自作出了如图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题．（1）直接写出图1中∠BAC的度数；（2）图2、图3中均有△AB′D≌△DEC．请就图2给出证明；（3）图3中BC＝4．求出AD的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质，则∠B+∠BAB′＝180°，∠B′AC＝∠ACB，根据对称的性质，等边对等角，则∠B′AC＝∠ACB＝∠ABC＝∠BAC，根据平行线的性质，即可；（2）根据平行四边形的性质，则AB＝DE，∠B+∠E＝180°，根据对称的性质，可得AB＝AB′，∠B＝∠AB′C，等量代换，则AB′＝DE，∠AB′C+∠E＝180°，最后根据全等三角形的判定定理即可证明；（3）过点A作AF⊥BC，垂足为点F，根据勾股定理，求出AF，根据平行四边形的性质，对称的性质，可得∠B＝∠B′，∠ACB＝∠ACB′，根据等边对等角，求出AD＝CD，根据矩形的判定和性质，可得四边形AFGD是矩形，根据勾股定理，即可求解．【解答】（1）解：由题意可得，四边形ABDC是平行四边形，∴BC∥AB′，AB∥B′C，∴∠B+∠BAB′＝180°，∠B′AC＝∠ACB，∵AB＝AC＝3，△ABC关于AC对称的△AB′C，∴∠ABC＝∠ACB，∠BAC＝∠B′AC，∴∠B′AC＝∠ACB＝∠ABC＝∠BAC，∴∠B+∠BAB′＝3∠BAC＝180°，∴∠BAC＝60°；（2）证明：∵四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE，∠B+∠E＝180°，由对称可得，AB＝AB′，∴AB′＝DE，∠AB′C+∠E＝180°，∵∠AB′C+∠AB′D＝180°，∴∠E＝∠AB′D，∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，在△AB′D和△DEC中，，∴△AB′D≌△DEC（ASA）；（3）解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F，∵AB＝AC＝8，BC＝4，∴∠B＝∠ACB，BF＝FC＝2，∴，由对称可得，∠B＝∠B′，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，∴AF∥DG，∵AD∥EG，∴四边形AFGD是平行四边形，∴四边形AFGD是矩形，∴，设AD＝CD＝x，∴FG＝x，CG＝FG﹣FC＝x﹣2，∴CG6+DG2＝CD2，∴，∴，即．21．（10分）如图，等腰Rt△ABC内接于⊙O，点D是线段OB上异于O，点P在AB的延长线上，PD＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若BD＝3OD，求的值．【分析】（1）连接OC，OE，由题意易得∠COB＝90°，∠OED＝∠OCD，则有∠PED＝∠ODC，然后可得OE⊥PE，进而问题可求证；（2）设OD＝a，则BD＝3OD＝3a，则有OE＝OB＝4a，然后根据勾股定理可得（PB+3a）2+（4a）2＝（PB+4a）2，则有，进而问题可求解．【解答】（1）证明：连接OC，OE．∵⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，O为AB的中点，∴OC＝OE，∠COB＝90°，∴∠OED＝∠OCD，∵PD＝PE，∴∠PED＝∠PDE，∵∠PDE＝∠ODC，∴∠PED＝∠ODC，∵∠OCD+∠ODC＝90°，∴∠OED+∠PED＝∠OCD+∠ODC＝90°，∴OE⊥PE，∴PE是⊙O的切线；（2）解：设OD＝a，则BD＝3OD＝3a，此时OE＝OB＝6a，∵△POE是直角三角形，∴PE2+OE2＝PO5，∵PE＝PD＝PB+BD，∴（PB+BD）2+OE2＝（PB+OB）8，即（PB+3a）2+（5a）2＝（PB+4a）8，解得，所以，所以．22．（10分）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具．【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，休闲步道分别是AB，BC，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，CD＝5km，∠ABC＝106.4°【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以AD为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）．（1）求A，C两点间的距离；（2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin73.6°≈0.96，cos73.6°≈0.28）【分析】（1）如图：连接AC．过点B作BE⊥AC，垂足为点E．由等腰三角形的三线合一的性质可得、，再解直角三角形可得AE＝6（km），进而求得