现代控制系统第十二版课后习题8章频率响应法答案

第8章频率响应法

基础练习题

E8.1计算机磁盘磁道密度在持续增大，从而要求计算机磁盘驱动器更加精确地控制磁头的

K

位置。设磁头位置控制系统的开环传递函数为L（S）=G，（S）G（S）=1不当K=4时,

绘制系统的频率响应极坐标图，并在①=0.5,1,2,4和+8时，分别计算频率特性函数的幅值

和相角。

【解析】开环传递函数为则/（网卜£7,°（0）=-2tan芍，频

率响应如图所示。

-180

10*1。“10°101

Frequency(rad，tec)

。=0.5,1,2,4和+8时，频率特性函数的幅值和相角如下表所示：

0().512400

1仇讪）|10.940.800.500.2()0

6(deg)0-28.07-53.13-90-126.87-180

E8.2由肌腱驱动的机械手采用了气动执行机构，执行机构的传递函数为

G（s）=卜+7；；2500）绘制G（加）的频率响应极坐标图，并验证：当3=1。和200时,

其对数幅频特性分别为-17dB和-27.1dB；当。=700时，其相角为一138.7'。

【解析】传递函数为G（$）=声器电频率响应如图所示。

io11021O31O4

Frequency(radsec)

11

相角为-tan—-tan-^―3=10,100,700时相角如下

70500

310200700

幽3）|-16.99-27.17-41.66

6(deg)-9.28-92.51-138.75

300(5+100)

E8.3机械臂关节控制系统的开环传递函数为L（S）=G,（S）G（S）=

s(s+10)(s+40)

明，当£（/©）的相角为一180”时，其对应的频率为。=28.3rad/s。并计算此时心（/。）的幅

值。

【解析】环路传递函数为小人瑞搞r相角为

^)=-900-tan-^-tan-'^+tan-^

当0=28.3时。=-90-70.5°-35.3°+15.8°=180°,

300(100)1+3

|£(»|=r=().75。

2、弓

(0

㈤01+401+—

L(s)也可写作L(s)当3=28.3时,

201og10|L|=201ogIO(75)+101og101+急-101ogIO1+后

(/yA

—10los,n1+——20logs0=—2.5dB

E8.4某受控对象的传递函数具有如下形式G(s)=-——---------7其频率响应曲

'7(5+a)(52+205+100)

线如图E8.4所示，试据此确定K和。的取值。

图E8.4伯德图

【解析】传递函数为6(9=3——-——啰=3时。=()；而

(S+4)(S+1O)-

^=+90°-tan-,--2tan-1—,解得〃=2,K=400。

E8.5某传递函数G(s)=却黑需方;*6)对应的对数幅频特性渐近线如图E85

所示，试根据它确定K,。和8的值。

图E8.5伯德图

【解析】切＜2时201og—=0dB,3=8,因此当K=8时201og—=0dB。当3=2和

(08

3=4时有零点，由3=4时的零点解得a=0.25。3=8和3=24时有极点，由3=24

8(1+0.5，)。+0.25$)

时解得〃=1/24,因此G(s)=

s(l+08)(1+*24)(1+6/36)

E8.6多项研究报告建议开发一种具有超强机动性的机器人，使之能够围绕NASA的空间站

自主行走，并能够在不同的环境中完成操作。这种机器人的手臂控制采用了单位反馈控制,

_________K_________

相应的开环传递函数为L\s)=G(s)G(s)=当K=10时，试绘制手

(s(s/5+l)(s/100+l)

臂控制系统的伯德图，并求出使201og|L(/•①)|等于OdB时的频率。

(b)超调量为P。=35%,调节时间为7；kl6sec。

(c)阶跃响应如上图所示。

100(.9-1)

E8.8某反馈系统的开环传递函数为L(s)=G,(s)G(s)=

524-255+100

(a)确定伯德图上的转折频率；

(b)确定低频段和高频段渐近线的斜率；

(c)绘制伯德图。

【解析】(a)转折频率为助=1rad/sec,<w2=5rad/sec,d)3=20rad/sec0

(b)低频段渐近线的斜率为OdB/decade,高频段渐近线的斜率为-20dB/decade。

(c)伯德图如图所示。

Bgutagram

20

10**10°10*10*10*

Frequency(rad'seci

E8.9某系统的伯德图如图E8.9所示，试确定其传递函数G(s)。

图E8.9伯德图

【解析】G(s)的伯德图如下：

隹.N断出r/、5/5+15/20+1

传递函数为例加卜+1)(燧0+1)。

E8.10图E8.10(a)所示的动态分析仪可以分析给定系统的频率响应。图中还给出了利用信

号分析仪检测汽车驾驶室机械振动的情况。图E8.10(b)给出了某系统的实际频率响应，试

估算该系统的极点和零点，注意，第一个标记对应于X=1.37kHz,两个标记之间的频率差

为AX=1.257kHZo

图E8.10(a)分析汽车驾驶室机械振动情况的35670A信号分析仪；(b)频率响应

【解析】频率响应有两个峰值，第一个为1.8,第二个为/b3.1。

1

G（网=

（师+1）1+3

务=0.15,4=24（1.8x10）0=0/5,缥=2万（3.1X103）。

央其中中r=-2-万-(-0-.-2-)

E8.ll考虑图E8.ll所示的反馈控制系统。绘制G(s)的伯德图，并确定系统的OdB线穿越

频率，即201ogMG(*y)|=0dB时的频率。

图E8.ll单位反馈控制系统

【解析】伯德图如图所示，由201ogMG_G(m)|=0得口=9.9rad/sec。

E8.12考虑如下用状态变量模型表示的系统：

y=[\-l]x+[O]w

(a)确定系统的传递函数；

(b)绘制系统的伯德图。

【解析】⑶传递函数为G(s)=C(sI—A尸B+D=

(b)伯德图如图所示。

BodeDiagram

10

£

3

e

p

n

l-10

c

f•20

E

)270

e

£s

d180

90

10110'100io'10?

Frequency(rad/sec)

E8.13试确定图E8.13所示反馈控制系统的带宽。

【解析】闭环传递函数为r(s)=:+]1J：；。*]QT(s)的伯德图如图所示，其中

coB=4.9rad/seCo

BodeDiagram

50

S

考

三

6

殳

(

B

G

P

Q

E

d

E8.14考虑图E8.14所示的非单位反馈系统，其中控制器的增益选为K=2。试绘制开环传

递函数所对应的伯德图，并确定使开环幅频特性201og，（,〃y）|=0dB的相角。注意，开环

传递函数为L（s）=6（s）G（s）H（s）。

R⑹Y(s)

图E8.14控制器增益为K的非单位反馈系统

20

【解析】开环传递函数为L（s）=,L（s）的伯德图如图所示，当

(?+1.45+1)(5+10)

20log](，到=0时3=1.32rad/seco

BodeOagram

50

W*10w'io2io3

Frequency(rad-sec)

⑺其中

E8.15考虑如下模型描述的单输入■单输出系统

01

A=C=[53]当K=l,2和10时，确定系统的带宽。当K增

-6-K-1

加时，带宽是增大还是减小？

3s+5

【解析】闭环传递函数为小）=77T’带宽如图所示‘当长=।时”7-。,物皿

当K=2时例=7.9rad/sec0当K=10时例=14.7rad/sec。随着K增加带宽增大。

一般习题

P8.1绘制下列传递函数的频率响应极坐标图。

5(?+1.45+1)

(a)G(5)G($)=7-------r7-----r

八'''(1+0.255-)(1+35)(b)G,(s)G(s)=',J

「I

20(5+8)

（c）G，（〈G（S）=2：\区(d)G,(S)G(S)=

S十。S十？5s(s+2)(s+4)

_________1_________

【解析】（a）传递函数为G,（s）G（s）=

(l+O.255)(l+3s)

G」m）G（加卜百忌J+J3.256y

频率响应极坐标图如图所示。

①=0,0.5,1,2,5,8时的幅值和相位角如下表所示。

NyquutO&gram

08

06

o4

So

X2

4

A

eJ

om0

ue

-J

2

-O

-04

-°-1-08-06-04-02002040608

RealAxis

300.512500

|G心)G(M|(dB)1.000.550.31().15().0-10

(deg)0-63.4-85.6-107.1-137.51-180

5(52+1.4,y+1)5((1-疗)+1.4曲

(b)传递函数为G,(s)G(s)=4例G(网=汝

(v-1)2

频率响应极坐标图如图所示。口=0,0.25,0.51,2,8,16,8时的幅值和相位角如下表所示。

Nyq皿Diagfam

-156

RealAxi$

0；00.250.51281G00

|G/3)G(松)|(dB)5.004.714.103.504.104.924.985.00

。(deg)048.59G.1180.0-96.2-21.3•12.20

s—8

(c)传递函数为G(S)G(S)=T<--,频率响应极坐标图如图所示。

s+6s+o

。二0」,2,3,4,5,6,8时的幅值和相位角如下表所示。

30123l56

|GeO)GO)|(dB)1.000.870.650.170.350.270.220.0()

_______6(deg)_______180.0132.394.466.345.028.515.3-90.0

20(s+8)

(d)传递函数为G,G)G(S)频率响应极坐标图如图所示。

s(s+2)(s+4)

1,0.1,0.8』.6,3212.8,8时的幅值和相位角如下表所示。

NyquistDiagram

201-----------------------------------------£---------------------

15\

RealAxo

U)0().1「、1.63.212.8oc

|GCW)|(dB)00199.7022.879.242.790.140.00

0(deg)0-93.6-117.1-139.1-1G1.8174.3180.0

P8.2绘制习题P8.1中所有传递函数的伯德图。

【解析】（a）伯德图如图所示，勿=0.25,（）.5,1,2,4,8,16时的幅值和相位角如下表所示

30.250.51.02.04.0H.O16.0

IGGMGGMI(dB)-1.95-5.19-10.26-16.65-24.62•34.60-45.93

。(deg)-10.5-63.4-85.6-107.1-130.2-151.()-1GI.8

51~+1.4s+1)

（b）传递函数为G（5）G（5）=伯德图如图所示，

C(if

①=0.25,0.5,1,2,4,8,16时的幅值和相位角如下表所示

30.25().51.()2.04.08.016.0

|GcO)GO)|(dB)13.4612.2G10.8812.2613.4613.8413.95

。（deg）1、，96.2180.0-96.2-48.5-24.342.2

c-8

（c）传递函数为G，（s）G（s）二十7~^伯德图如图所示，G=（）.6,1,2,3,4,5,6,8时

5-4-65+8

的幅值和相位角如下表所示

Bode0,01所

m

)p

s

皆

3)

a

x

a

10010110210a

Frequency(radsec)

s0.612345G00

|Gc(j3)G(j3)|(dB)-0.45-1.17-3.72-6.49-9.03-11.26-13.18-120.00

「(deg)150.5132.394.466.345.028.515.3-90.0

（d）伯德图如图所示，"=0.2,0.8,3.2,6.412.&25.6,51.2时的幅值和相位角如下表所示

BodeDiagram

m

)p

a

np

5-

S

10’

Frequency(fadsee)

30.2OR3.2I12.825.651.2

|G心)G3)|(dB)39.9527.198.90-3.98-17.35-30.0355-42.28

。（deg）-97.1-117.4-164.8178.0174.2176.0177.8

P8.3一种不常用的T型电桥网络如图P8.3所示，它可以用来替代例8.4中的双T网络。T型

电桥网络的传递函数为G（s）=飞——r（你能证明吗？）。其中，。；=2/LC,

s,-+2J（4/*Q）s+s；

Q=0〃4，&的值可以调整为（@£）746。

(a)确定其零-极点分布图，并用s平面向量法，估算系统的频率响应。

(b)当Q=10时，比较双T型网络和T型电桥网络的频率响应。

时频率响应如图所示。

•

10

2■0

30

•

10«10,

w/wn

IS

w/wn

(b)对于双T型网络0=1.1。”,则|G上2.1x七Xl.1=0.05,类似地，对于TQ桥网

络同=2」得)

x0.14=0.707,T型电桥网络比双T型网络窄。

P8.4控制密闭舱内压力的控制系统如图P8.4所示，其测量环节的传递函数为

“($)=，?)一、调节阀的传递函数为G(S)=R-控制器的传递函

、75-+155+15()7(0.15+1)(5/20+1)

数为G,.(s)=2s+L试绘制系统开环传递函数G.(s)a(s)”(s)-[l/s]的频率响应伯德图。

Qo(s)

控制器阀门

Gc（s）Gi(s)

测量

HG)

图P8.4框图模型

30000(2$+1)

【解析】传递函数为G（S）=G，（S）G（$）H（S）[1/S]

s(s+10)($+20)(52+155+150),

伯德图如下，幅值和相位角如下表。

BodeDiagram

B

p

)

B

p-50

m

c-130

6

2-150

5

{

6①-90

p

】

-130

<sD

£

d-270

360

10210

10101010

Frequency(rad/seci

31358101524

\G(jcv\<1B6.955.785.083.381.59-5.01-17.56

0(deg)-40.89°-52.39°-77.28°-118.41°-145.99°-203.52°-258.57°

P8.5美国的机器人工业每年以30驰的速度增长。典型的工业机器人有6个关节（或称6个自

由度）。配有力敏感功能的关节采用了单位反馈位置控制系统，其开环传递函数为

K

O（S）G（S）=具中，K=10。试绘制该系统的开环伯

(I+5/4)(1+5')(1+5/20)(1+5/80)

德图。

10

【解析】传递函数为G,（s）G（s）=，伯德图如下。

(l+s/4)(l+s)(l+s/20)(l+s/80)

BodeOagram

>360

10110*10°101l(f10aio4

Frequency(rad*,$«C)

P8.6图P8.6给出了两个传递函数的对数幅频渐近线。假设这两个系统都有最小相位传递函

数，试绘制相应的相频特性渐近线，并确定每个系统的传递函数0

201og]Lj(dB)201皿Bd)

图P8.6对数幅频渐近线

3.98(1+5/1)

【解析】(a)传递函数为G"(s)=,啰二1时有一个零点，刃=10.0时有两

s(l+s/10『

个极点，低频近似值为3=1附有2()log=12dB,因此K=3.98。相位氐如图

所示。

⑹传递函数为G"(s)=E六两斜率为±20dB/dec。低频值近似为Kj

则2OlogK0=O。。=1时K=l。相位图如图所示。

Ibi

100

P8.7无人小车广泛应用于仓库、机场和很多其他场合。如图P8.7(a)所示，这种小车能够

沿着嵌在地面上的线路自动调节前轮，从而保持小车行驶的方向。安装在前轮上的感应线圈

可以检测到小车的方向偏差，并据此来调节行驶方向。小车车轮控制系统的框图如图P8.7

K

(b)所示，其开环传递函数为L(s)=并要求其闭环系统带宽大于

+S（5/\T+1）2

2〃rad/So

(a)当K「二2乃时，绘制对应的伯德图；

(b)利用伯德图，绘制相应的对数幅相图。

参考输入预期方向

感应线圈

图P8.7无人小车车轮控制系统

【解析】开环传递函数为“$)=’&、2

(a)令(,=2%，伯德图如图所示。

B

P

U

3

(b)对数幅相图如图所示。

40

-10--

11III1I

V170-160>150-140-130・120-110-100-90

Phasedeg

P8.8某反馈控制系统如图P8.8所示。若要求闭环系统阶跃响应的超调量小于5%,

(a)确定闭环传递函数丫(/&)〃？0④)=7(/@)的频域谐振峰值加网…

(b)确定谐振频率0,0

(a)当PQ=15%时由IS^lOOe-M/G7解得[=0.517,故2G9,二10,即3”=9.67,

因此K=o：=93.53,产(2却―$)1=]

(b)对于二阶系统有”=—2G2=6.59,当6=0.517时q=9.67。

(c)估算带宽〃与*(—=1L94rad/s。

P8.9考虑习题P8.1给出的(a)和(b)两个传递函数，绘制它们的对数幅相图。

【解析】对数幅相图如下，

(a)(b)

P8.10在图P8.10所示的系统中，采用线性执行机构来控制质量块M的位置。该机构用一个

滑动电阻来测量质量块的实际位置，并且有〃(s)=1.0<>选择放大器增益可以使系统的稳

态误差小于位置参考信号R(s)幅值的现。执行机构中的感应线圈的电阻为=0.1。，电

感为Lf=0.2H,此外,负载质量块为0.1kg,摩擦系数为0.2N・s/m,弹性系数为0.4N/mo

在上述条件下，

(a)确定增益K的取值，使系统对阶跃输入的稳态误差小于1%,即位置误差常数

->99;

(b)绘制开环传递函数L(s)=G(s)”(s)的伯德图；

(c)绘制〃加)的对数幅相图“

(d)绘制闭环传递函数丫0&)/冗(1&)的伯德图，并确定A/小，0和带宽3-

H(s)

图P8,10采用线性执行机构的控制系统

【解析】运动的控制方程为/(s)=KJ/,〃(s)=J；,。令K/=1.0,有

K£+LfS

/(s)=(Md+加+K)y(s),因此传递函数为

/\KKf50K

GH5=7--------h=--------r=-------「--------r,这是一个。型系统，因此

7

(均+7Vs)(〃/+加+K)(5+0.5)(?+25+4)

Kp=25K°

(a)若允许1%的误差，则@=|R|/(l+K/,)=0.01|R|,Kp=25K=99,选择K=40

(b)伯德图如图所示。

20

0

Frequency(rad/sec)

6

pd

so

d2

10-113

Frequency(rad/sec)

(c)对数幅值相位图如图所示。

(d)闭环传递函数的伯德图如图所示，M=1.6,cor=4.4,coB—6.80

Frequency(rad/$ecj

101

Frequency(ra4/M<)

P8.ll航船的自动驾驶系统是反馈控制理论的典型应用。在交通拥挤的海域，保持航船的正

确航向是至关重要的。和人工驾驶需要频繁修正航向相比较，自动驾驶系统产生的偏差较小。

在航船以小的偏差匀速运行时，可以得到自动驾驶系统的数学模型。以大型油轮为例，其传

递函数为G(s)=需二竿端瑞其中，E⑸是油轮偏航角的拉普拉

斯变换，S(s)是舵机纠偏角的拉普拉斯变换。试验证，该系统的频率响应

如图P8.ll所示。

图P8.ll油轮航向控制系统的频率响应

【解析】伯德图如图所示，

1

8oo

P、

C

3

6

33

P

100

Frequency(rad/sec)

P8.12某反馈控制系统的程图如图P8.12(a)所示，其传递函数的频域响应曲线如图P8.12

(b)所示。假设系统具有最小相位传递函数，

(a)当G,断开时，计算系统的阻尼比

(b)当闭合时，计算系统的阻尼比

(a)

Im

极坐标图

G)(jw)

10

dB

tni)

对数幅相图

递增

G3(j(o)

(0=1(>------------9.54

-360°-270°-180°

图P8.12反馈控制系统

【解析】3个传递函数为G"s)=l(),G2(S)=JG(s)=3s

S(5/().0+1I

10

(a)当G,断开时,特征方程为1+G0(s)=1=0,即/+0.65+6=0,

s(s/0.6+l)

贝|JG=O矶2旬=0.12。

(b)当Ga闭合时，特征方程为l+GQ?(5)+6263(5)=1+—^―6+J'：=0,

s($+0.6)5(5-1-O.6)

即52+2.4s+6=0,则；=2."(26)=0.49°

P8.13如图P8.13所示，某位置控制系统由交流电机和交流元器件构成。其中，同步发生器

和控制变压器都可以看成带有转动绕组的变换器，同步位置检测器的转子随着负载转动，转

动角为％。同步电机由U5V的60Hz交流参考电压驱动，而输入信号R(s)=Q,(s)则用

于驱动控制变压器的转子转动。交流两相电机起着放大偏差信号的作用。采用交流控制系统

的优点在于：(1)避免了直流漂移的影响；(2)元器件组成简单。为了测量系统的开环频率

响应，我们只需要分别将x-y和断开，而在丫-丫'上施加正弦激励信号，然后测

量x-x'间的响应［在施加激励信号之前，必须使偏差(〃-舟)为零］。假设系统是最小相

位系统，实际测量的开环传递函数=的频率响应如图P8.13

(b)所示，试确定传递函数乙03)。

图P8.13(a)交流电机控制；(b)频率响应

【解析】通过检查频率响应，可以确定

“s)=G,(s)G(s)"(s)=当3=10时20logK//=40,故

(V100+l)(5/1000+l)2'

K=1000,

P8.14图P8.14所给的电路是一种带通放大器。当用=叫=次。，G=100pF,C2=1//F,

109s

K=100时，试验证电路的传递函数为G(s)=并完成下列任务：

(5+10(X))(.y+107)

(a)绘制G(/0)的伯德图.

(b)计算系统在中频带的增益(以dB为单位)。

(c)在高频带和低频带，找出增益为-3dB的频率。

【解析】R=R、=mC,=100pF,=\/LIF,控制方程为黑?=

故处):KRgs=10G

KG)KR2

=取乂(s)一(6Gs+1)(&$+1)-(s+107)(s+100())

(a)伯德图如图所示。

,5

某。当2

为.

设位点00

。相极7=

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