五年高考2024-2025高考数学真题分项详解专题17立体几何综合含解析文

专题17立体几何综合

【2024年】

L（2024•新课标I文）如图，。为圆锥的顶点，。是圆睢底面的圆心，.ABC是底

面的内接正三角形，尸为。。上一点，N4PC三90°.

（1）证明：平面川从1_平面必C；

（2）设如正,圆锥的侧面积为外兀，求三极锥/「/仍6•的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）旦.

8

【解析】

（1）Q。为圆徘顶点，O为底面圆心，「.O。，平面ABC,

•.•尸在。。上，OA=OB=OC*:.PA=PB=PC,

・.pABC是圆内接正三角形，「.ACuBC，XPAC三4PBC、

:.ZAPC=ZBPC=9O°,即P8_LPC,尸A_LPC,

PAflP8=P,APC_L平面PAB,PCu平面PAC，.二平面PAB_L平面PAC：

（2）设圆锥的母线为/,底面半径为r,圆锥的侧面积为;r"=G；r,〃=J5，

0。2=/2一，=2,解得/■=l,/=6，AC=2rsin60=6,

在等腰直角三角形APC中，AP=显AC=1，

22

在RfeBAO中，PO=yjAP2-OA2=

•••三棱锥P-ABC的体枳为匕,ARC=」2。•Sr”=LX也X走X3=迈.

pARC

-3八ABC3248

D

2.（2024•新课标II文）如图，已知三棱柱/心C-46G的底面是正三角形，侧面曲GC

是矩形，MN分别为6。，5G的中点，p为/例上一点.过氐G和尸的平面交力5于笈交力。

于F.

（1）证明：AV/业V；且平面44邮1_平面即CA

（2）设。为△484的中心，若力8.4庐6,力）/平面即G凡且上」仍宜白，求四棱锥

4-期G/的体积.

【答案】（1）证明见解析：（2）24，.

【解析】

（1）M,N分别为BC，4G的中点，

又心〃明

MNHAA

在等边AA6c中，M为8c中点，则8C_LAM

又••・侧面sqcc为矩形，

BC±BB1

•・•MN//BB,

MN1BC

由MNcAM=M,加乂八加匚平面人①"修

/.8C_1_平面AAMN

又•.B£"BC,且&C（z平面A5C,BCu平面ABC,

••.4G〃平面ABC

乂，Bi&u平面EB&F,且平面E4G尸c平面A8C=臂

:.B.CJ/EF

EF//BC

又•.8C_L平面AAMN

£F_L平面AAMN

・.・EFu平面EBCF

平面EBGFJ_平面A}AMN

（2）过M作PN垂线，交点为〃，

画出图形，如图

AO〃平面EBCF

AOu平面AAMN,平面AAMNc平面E4C尸二可尸

...AO//NP

又一NOHAP

A0=NP=6

。为的中心.

ON=1sin60°=1x6xsin60°=V5

故：ON=AP=0则4M=3AP=3X/5，

平面EBCF1平面AAMN,平而EB£Fc平面A.AMN=NP,

/W”u平面A|4MN

.・・加〃_1平面破97

FFAP

又二.在等边t.ABC中——=—

BCAM

,,,,rrAPBC石x6.

即EF=----------=——==2

AM3V3

由（1）知，四边形E8C尸为梯形

四边形•E807的面积为：S四边形叫GFJf附=号x6=24

VB-%GF=2$四边形邺/h，

h为M到PN的距离=26•sin60。=3，

V=lx24x3=24.

3

3.（2024•新课标III）如图，在长方体A8CO-A4C1A口，点E，尸分别在棱。A，

且

上，2DE=ED1,BF=2FBi.证明:

6R

(1)当=时，EFLAC.

（2）点G在平面A律内.

【答案】（I）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

(1)因为长方体ABCD-AqG所以•_L平面ABCD：.AC1BB.,

因为长方体ABC。-A4G乙，AB=BC,所以四边形A0C。为正方形AC皿）

因为BD=B,EB\、BOu平面因此AC_L平面Bq。1。，

因为EFu平面BBRD、所以ACLEF,

（2）在CG上取点历使得CM=2MG，连。

因为AE=2ED,DDJICC,,DD1=CC1,所以ED=MC^ED//MC},

所以四边形OMGE为平行四边形，/.DM//EC}

因为/=OA,所以四边形为平行四边形，EQ//AF

因此C在平面A防内

4.（2024•北京卷）如图，在正方体ABC。—A4GA中，g为的中点.

AiB,

（【）求证：8cl〃平面ARE；

（Il）求直线AM与平面AQE所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析：（II）

【解析】

:.AB〃CnRAB=Cin，所以，四边形A8CQ为平行四边形，则

8C］（Z平面A£）1E,4£）|u平面AO|E,BC"平面ARE；

（II）以点A为坐标原点，AD>AB>AA,所在直线分别为工、>\z轴建立如下图

所示的空间直角坐标系A-xyzf

设正方体48co-4瓦GQ的棱长为2,则A（（）,o,o）、A（0,0,2）,2（2,0,2）、

£（0,2,1）,AD,=（2,0,2）,AE=（0,2,1）,

设平面ADE的法向量为〃=（x,y,z）,由J〃'A"二°,得2x+2z=0

ri-AE=02y+z=0

令z=-2,则x=2,y=l,Wijn=（2,l,-2）.

一”.AA,42

cos<nAA,>=1—j-；——

yMW=-3^2=-3-

2

因此，直线4AH平面A"七所成角的正弦值为彳.

5.（2024•江苏卷）在三棱柱月砥中，ABLAC,4CL平面月/匕E,“分别是月。,

AC的中点.

（i）求证：",〃平面仍q：

（2）求证：平面仍C_L平面力硼.

【答案】（1）证明详见解析：（2）证明详见解析.

【解析】

（1）由于£〃分别是AC片。的中点，所以EF〃AB「

由于石/仁平面Agq,A旦u平面Agq,所以必〃平面ABC.

（2）由于gCJ.平面ABC,ABI平面ABC,所以8c_LA8.

由于A6_LAC,ACc4c=C,所以A6_L平面A。。，

由于A8i平面所以平面平面

6.（2024•江苏卷）在三棱锥4—8⑦中，已知小小石，陷2,〃为物的中点，AOL

平面比〃/仍2,£为月。的中点.

（1）求直线AB与场所成角的余弦值；

（2）若点?在加上，满意聆^BC,设二面角—田。的大小为夕，求sin0的值.

4

【答案】（I）巫（2）生2

1513

【解析】

(1)连COQBC=CD、BO=OD:.COLBD

以O8,OC,Q4为x,y,z地建立空间直角坐标系，则

4(0,0,2),B(l,0,0),C(0,2,0),D(T,0,0)/.E(0,IJ)

iimuiminunum-1_V15

AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1)/.cos<AB,DE>=6一

从而直线A3与力E所成角的余弦值为姮

15

(2)设平面QEC•个法向量为4=(x,y,z),

-0),卜"=°.•卜+2工。

〃1•£>£=()(A+y+z=0

U

令y=1x=-2,z=1n1=(-2,1,1)

设平面D石厂一个法向量为

UU

%=(%,)")，

71八

171nDF=0-x+-y.=0

•：DF=DB+BF=DB+-BC=(-,-,0)A2412-'

442

n2DE=0

x,+y,+zI=0

111

令yx=-7/.A*=2,z,=5...吗=(2,-7,5)

irm-6i

・,COS<,7b>=-7=~=-----

V6V78V13

因此如。=平=近

V1313

7.（2024•山东卷）如图，四棱锥八月伙》的底面为正方形，即_1_底面ABCD.设平面PAD

与平面/盯的交线为1.

（1）证明：/_!_平面板

（2）已知物，加=1,0为/上的点，求阳与平面仇力所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）证明见解析：（2）旦.

3

【解析】

（1）证明：

在正方形ABCD中,AD//BC,

因为平面尸3C，3Cu平面P3C,

所以4。〃平面P3C,

又因为4）u平面PA。.平面必。「平面尸AC=/,

所以AD//1,

因为在四棱锥P—A8C7?中，底面A8CD是正方形，所以AO_L_LOC,

且尸。，平面A8CQ，所以40_LPD,../_LPA

因为CD-PD=D

所以/_L平面尸DC；

（2）如图建立空间直角坐标系O-Ayz,

z

因为尸£>=AD=1，则有。(0,0,0),C(0,l,0)M(l,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),

设2(/77,0,1),则有DC=(0,1,0),DQ=(w,0,l),尸8=(11,T),

设平面QCD的法向量为〃=(x,y,z),

DCn=()y=0

则《,，即《♦

DQ-zi=0nix+z=0

令x=l,则2=一阳，所以平面QCO的一个法向量为〃=(1,0,-〃?)，则

n-PB1+0+ni

cos<〃，PB>=

,网―",痴+1

依据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的肯定直即为直线与平面所成角的

正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于

ruur11+/wI6

Icos<n,m>|=」/।=火1i2minr

5ylm?+\3nr+1

2m

,当且仅当加=1时取等号,

T-fin2+1

所以直线网与平面QC。所成角的正弦值的最大值为逅

3

8.(2024•天津卷)如图，在三棱柱ABC-AqG中，CG1平面

ABC,ACLBaAC=BC=2,CJ=3,点D,七分别在棱4A和棱cq上，且

AD=\CE=2,M为棱AG的中点.

(I)求证：C.MIB.D；

(ii)求二面角3-4七—。的正弦值：

(1H)求直线AB与平面DB、E所成角的正弦值.

【答案】(I)证明见解析：(II)叵；(III)亘

63

【解析】依题意，以c为原点，分别以CA、CB、cc；的方向为x轴、y轴、z轴的

正方向建立空间直角坐标系(如图)，

可得。(0,0,0)、A(2,Q0)、3(0,2,。)、0(0,0,3)、

4(2,0,3)、4(023)、。(2,0,1)、E(0,0,2),M(l,l,3).

(【)依题意，=(1,1,0),4。=(2,-2,-2),

从而。附由。=2-2+0=0，所以GM_L&。：

(II)依题意，C4=(2,0,0)足平面84后的一个法向量，

EB}=(0,2,1),ED=(2,0,-l).

设〃=(x,y,z)为平面E的法向量,

?

n-EBy-02>+z=0

则《即.

n-ED=02x-z=0

不妨设x=l,可得〃=(1,-1,2).

个人CAn2R

cos<CA,n>=---；~；~~7=---产=—

叫〃|2XV66，

/j30

sin<CAji>=vl-cos2<CAji>=----

v6

所以，二面角B-ME-D的正弦值为y”；

6

(HI)依题意，AB=(-2,2,0).

由（II）知〃=（1,—1,2）为平面。片£的个法向量，于是

A3〃_-4__>/3

cos<AB,n>=

/\B|.|n|-2V2xV6--T-

所以，直线AB与平面。与E所成角的正弦值为立.

3

9.（2024•浙江卷）如图，三极台DEJABC中,面月Z*C_L面月比；NA®NAC*45°,

DC=2BC.

（I）证明：EFLDB：

（II）求如与面〃叱所戊角的正弦值.

【答案】（【）证明见解析；（II）

3

【解析】

（I）作。"_1_4。交47于“，连接8”.

•••平面ADFC±平面人3C，而平面ADFC1平面ABC=AC,DHu平面AOFC，

.•・O"_L平面ABC，而5Cu平面A3C,即有。HJ.BC.

丁ZAC8=NACZ）=45。，

:・CD=yliCH=2BCnCH=6BC.

在ACB"中，BH2=CH2+BC2-2CH-BCcos450=BC2，即有

BH2+BC2=CH2^:•BH工BC.

由棱台的定义可知，EFIIBC,所以DH工EF，BH1EF,而=

••・石尸_1_平面W〃），而BDu平面BHD，；.EF工DB.

（ID因为OfV/C”,所以。产与平面04c所成角即为与C”平面OBC所成角.

作HG上BD于G，连接CG,由（1）可知，3C_L平面R/D，

因为所以平面BCD±平面BHD,而平面88。平面BHD=BD.

”Gu平面凶/D,平面BCQ.

即CH在平而DBC内的射影为CG,NHCG即为所求角.

BHDH41aa

则。”二扃，

在Rf/XHGC中,设=〃HGBD一瓜一耳”

sin/HCG二挺」=走

故OQ与平面Q8C所成角的正弦值为立

3

【2024年】

1.[2024•全国I卷文数】如图，直四棱柱力优〃-4/G4的底面是菱形，[4=4,/I分2,

N的场60°,瓦M网分别是a；B氏,4〃的中点.

（1）证明：楸〃平面。破

（2）求点C到平面CM的距离.

【答案】（1）见解析：（2）勺叵.

17

【解析】（1）连结片CME.

因为M吩别为84，8c的中点，所以ME〃4C,且A1E=；BC

又因为八为A。的中点，所以NO=；A。.

由题设知4与4DC、可得4C&A。，WME&ND、

因此四边形加注为平行四边形，MN//ED.

又平面。］。石，所以以〃平面GDE.

（2）过饰G国勺垂线，垂足为〃

由已知可得OE_L8C，DELC.C,所以〃反1平面GCE,故应一必

从而C7/1平面C.DE,故（那J长即为侬J平面CQE的距离，

由已知可得上1,Ge4,所以GE=J万，故677=生”.

从而点行“平面GOE的距离为士票.

A

2.12024•全国II卷文数】如图，长方体力伙力-力心G〃的底面力物是正方形，点£

在棱上，BE1EG.

（1）证明：阻L平面E8C；

（2）若力后4发力庐3,求四棱锥E-84GC的体积.

【答案】（1）见详解；（2）18.

【解析】（1）由已知得4G_1平面力微4,原u平面月微儿

故B£\工BE.

乂BE_LEG，所以跖J■平面EB©.

（2）由（1）知/跖％9。°.

由题设知Ri△月牍R14.4必反所以NAE8=NAE4=45",

故小心3,A%=2AE=6.

作EF工垂足为无则£71平面8/CC，W.EF=AB=3.

所以，四枝锥E-BB”的体积V=gx3x6x3=18.

3.[2024•全国HI卷文数】图1是由矩形力〃力况砥和菱形秘讹’组成的一个平

面图形，其中//任1,BE=B42.

/小60°.将其沿/区应、折起使得跖与“重合，连结施，如图2.

(1)讦明：图2中的4C,G,〃四点共面.日平面力应、平面BCGF：

(2)求图2中的四边形4a；〃的面积.

【答案】(1)见解析：(2)4.

【解析】(1)由已知得4羽跖，C'G”跖，所以，仞，故W，C6确定一个平面，从而力,

C,G,那I点共面.

由已知得仍_|_/步，仍优，故/0J_平面及汇£.

乂因为,出u平面71成；所以平面/仪J.平面伙上万.

(2)取。的中点J/,连结为MDM

因为AB〃DE,//J_平面优值；所以〃少_L平面庞U7:；故〃G：

由己知，四边形应是菱形，且N/:比三60"得川小①，故访L平面"湖

因此〃归.CG.

在RtZ\a?仲，般1，£「退，故为六2.

所以四边形力。切的面积为4.

4.12024•北京卷文数】如图，在四棱锥P—A8C。中，月4_1平面/心⑺，底部/IZO

为菱形，夕为⑺的中点.

(1)求证：M_L平面PAC,

(2)若/力砥60°,求证：平面必反L平面为展

(3)棱阳上是否存在点“使得6F〃平面必以说明理日.

【答案】(1)见解析：(2)见解析：(3)存在，理由见解圻.

【解析】(1)因为24_1_平面力/》，

所以P4J_8D.

又因为底面月坑》为菱形，

所以3D1AC.

所以8£>_1,平而阳0.

(2)因为*_1_平面力加"A£u平面力比〃

所以为_L力反

因为底而应兀妫菱形，/力吐60°,且£为以的中点，

所以力£LS

所以力反L力反

所以力£1平面片历.

所以平面EIZLL平面如£.

（3）棱阳上存在点£使得"'〃平面处反

取防阳的中点，取效用的中点，连结硒FG,EG.

则收7〃/必\\.F（｝=-AB.

2

因为底面4%汹菱形，且阴成的中点，

所以四〃仍且公L历

2

所以FG〃CE,且FG=CE.

所以四边形阳花为平行四边形.

所以CF〃EG.

因为用《平面四£/％u平面为£

所以华〃平面月1£

5.12024•天津卷文数】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为平行四边形,

△PCD为等边三角形,平面B4C_L平而尸CO,PA1CD,CD=2,AD=3.

（1）设G,〃分别为外，力。的中点，求证：G“〃平面B4O；

（2）求证；/%_!_平面PC。；

（3）求直线力〃与平面尸AC所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3）正.

3

【解析】(1)连接8£>,易知力C「BD=H,BH=DH.

又由BG二尸G,故GH!/PD.

又因为GH<Z平面PAD,PDu平面PAD,

所以GH〃平而PAD.

(2)取棱％的中点A；连接〃M依题意，得〃归

又因为平面R4C_L平面打为，平面PAC。平面PC。=PC，

所以DN±平面PAC,

又尸Au平面力。，故DV_L24.

又已知PAJ_C。，CD(}DN=D,

所以R4_L平面也Z

(3)连接/LM由(2)中ON_L平面四。，可知/DAN为直线40与平面川。所成的

角，

因为△尸CQ为等边三角形，。次2且内为％的中点，

所以QN=JL

又DNA.AN,

在Rt^ANO中，sinZDAN=—=—.

AD3

所以，直线/I。与平而月匕所成角的正弦值为且.

3

6.12024・江苏卷】如图，在直三棱柱4%一/山G中，&,£'分别为必，47的中点,

力庐比.

求证：(1)/园〃平面%G；

(2)BEIGE.

W8

c

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（I）因为〃，£分别为应；/1C的中点，

所以EI）//AB.

在直三棱柱4加HAG中，/仍〃力出，

所以/I归〃

乂因为£7七平面〃匹C.AR①平面DEG,

所以/I右〃平面DE&.

（2）因为A和BC,夕为力。的中点，所以做14£

因为三棱柱力成T心G是直棱柱，所以缁平面袱C：

又因为比'u平面4%；所以CGJL应：

因为G位平面/MS,“z平面44Z；,GCnAC=C,

所以8EL平面AM.

因为6所平面AyACCx,所以BE工C、E.

7.12024•浙江卷】如图，已知三棱柱48。一446，平面44。6_1平面48。,

ZABC=90°,/期。=30。，4A=4。=4。,£尸分别是月。，48的中点.

（1）证明：EFtBC：

（2）求直线"'与平而力回所成角的余弦值.

【解析】方法一：

（1）连接4月，因为4片/1£夕是/16的中点，所以4层L/fC.

又平面A4X；J_平面/8C,A£u平面44a；,

平面4/久n平面/哈力仁

所以，4£1平面4%；则4八比、.

又因为况/力HC三9。°,故BC1AF

所以成工平面4分：

因此例」成：

（-2）取比中点6,连接防GF,则附琳是平行四边形.

由于4区L平面月4G故/心EG,所以平行四边形的%为矩形.

由（1）得8C_L平面庞则平面48C_L平面戈加九

所以厅在平面4a上的射影在直线4G上.

连接4皎牙于0,则/故是直线"与平面4a所成的角（或其补角）.

不妨设力e4,则在RtZ\4绮卜，A、E=26,EG=j3.

由于妫40KJ中点，故后。=06=4叵=虫，

22

FO2-OG2-FG13

所以cosNEOG=―—―—.

2E00G5

3

因此，直线夕电平面4a所成角的余弦值是

方法二：

（1）连接4区因为4片/1£6是46的中点，所以4层L”：

乂平面4/①_1_平面/仍。，4£u平面4/缁，

平面44冤n平面力除〃；所以，平面/比：

如图，以点£为原点，分别以射线比,朗为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系夕-灯z.

不妨设月小4,则

4(0,0,26),6(6，1,0),尔石,3,26)，等,|,2百)，C(0,2,

0).

因此，EF=(W~，B，26)，BC=(-73,1,0).

由E尸ICMO得以7_LBC

（2）设直线标与平面4a所成角为0.

由⑴可得30（—6，1，0），4。=（0,2,—26）.

设平面4a的法向量为A=（x，y,z）,

RCn=O\-\/3x+y=0

由《，得，/-，

AiC-n=Oy—yj^z=0

\EFn\^4

取〃=(i,61),故sin6=|cos,EF,知二

•H〃「于

3

因此，直线杼与平面4a所成的角的余弦值为《.

【2024年】

1.12024•全国I卷文数】如图，在平行四边形"CM中，AB=AC=3,

NACM=90。，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点。的位置，且A3_LD4.

（1）证明：平面ACD_L平面A8C；

9

（2）。为线段A。上一点，P为线段8C上一点，且8尸=OQ=§OA,求三棱锥

Q-AB尸的体枳.

【答案】（1）见解析；（2）1.

【解析】（1）由已知可得，ZBAC=90°,BALAC.

又班U。,所以4?_1_平面水力.

又月〃u平面ABC,

(2)由已知可得，DC=C-DA=3日

2

乂BP=DQ=^DA,所以BP=2JJ.

作L”；垂足为区则

-3

由已知及(1)可得加工平面4%,所以Q«_L平面4%;Q&1.

因此，三极锥Q-A8P的体积为

0

VQ_ABP=-xQExSAABP=-xlx-x3x2>/2sin45=l.

332

2.12024•全国II卷文数】如图，在三棱锥P—A8C中，AB=BC=26,

PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面A8C；

(2)若点M在棱8c上，且MC=2M8,求点C到平面PQM的距离.

【解析】(1)因为力片。。为”的中点，所以。且0片26.

[Q1

连结我因为A&BO—AC，所以△/%、为等腰直角三角形，且OBLAC,0和一AC:2.

22

由OP?+042=252知，OPLOB.

由OPA.OB,知ZUL平面ABC.

（2）作。垂足为〃又由（1）可得02L。/,所以。/_L平面/预/.

故（7/的长为点。到平面P0M的距离.

由题设可知妗，AC=2,以上2BC=逑，ZJ6^45°.

233

所以神辿,小"心必风任

3OM5

所以点C到平面内必的距离为处.

5

3.[2024•全国III卷文数】如图，矩形A8CO所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M

是C。上异于C，。的点.

（1）证明：平面平面8WC：

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC〃平面/>80?说明理由.

【答案】（1）见解析：（2）存在，理由见解析.

【解析】（1）由题设知，平面G/Z〃•平面月空9,交线为⑦.

因为比工勿，BCu平面RBCD,所以比工平面CM9,故BCIDM.

因为."为C。上异于GD的点，且正为直径，所以//_!_0£

又BCCC的C,所以〃归_平面冽依

而〃"<=平面AMD,故平面4M平面BMC.

（2）当/）为月必的中点时，<”平面做.

证明如下：连结力。交做于。因为月ZO为矩形，所以。为力。中点.

连结因为夕为/例中点，斫以MC〃0P.

JfC<ZT<PBD,平面脸，所以眈〃平面依〃

V

4.12024•北京卷文数】如图，在四棱锥中，底而用TO为矩形，平面力平

面力及力，PALPD,P归PD,E,少分别为月〃，%的中点.

（I）求证：PELBCx

（2）求证：平面为8L平面门力：

（3）求证：EF〃平面P0）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】（1）,:PA=PD、且E为AO的中点，，在;J.AD.

•・•底面ABCD为矩形，，BC//AD,

•••PE1BC.

（2）•.•底面A8co为矩形，•••A3_L4X

;平面PADJ_平面ABCD,，A8_L平面/X。.

・•・又F4_L/¥），

・•・PD_L平面PAB・••・立面PAB_L平面PC。.

（3）如图，取PC中点G,连接/GGD.

•・•RG分别为总和PC的中点，.・.FG〃8C,RFG二一BC.

2

;四边形A8s为矩形，且E为的中点，

:.ED〃BC,DE=、BC,

2

:,ED〃FG,且匹=FG,.••四边形七FGO为平行四边形，

:.EF//GD.

又所0平面尸CO,GDu平面PCD,

•\族〃平面PCD.

5.12024•天津卷文数】如图，在四面体/仍切中，△?1%是等边三角形，平面平

而月弧点"为极月4的中点，力庐2,力犷2石，NBA庐90".

（1）求证：ADLBCx

（2）求异面直线欧与勉所成角的余弦值；

【答案】（1）见解析；（2）巫；（3）巫.

264

【解析】（1）由平面月必L平面月劭，平面月比ri平面43gl8,AD工AB,可得业〃"平

面月84报ADLBC

（2）取枝"的中点M连接曲M屹又因为J/为棱/伤的中点，故.MV〃式：所以N〃MV

（或其补角）为异面直线勿与所成的角.

在RtZXZMW中，力加1,故D宙J。。2+AM、9.因为月月■平面月勿，故力反1_力£

在Rl△/内中，A¥=l,故.3JAD2+⑷V2=旧.

_MN

在等腰三角形刎V,中，吩1,可得/AA.9V13.

cosNDMN=-....=----

DM26

所以，异面直线弦与血所成角的余弦值为巫.

26

（3）连接a/.因为△力欧为等边三角形，必为边/心的中点，故以/L佃。户6.又

因为平面/出C_L平面力劭，而平面4%故C/L平面/出〃.所以，N6ZW为直线。与平

面力8〃所成的角.

在RtZk。〃中，gACAD?=4.

在RtZ\a7中，sinZCDM=—=—

CD4

所以，直线（〃马平面加W所成角的正弦值为立

4

6.12024•江苏卷】在平行六面体ABCO-AMGA中，AA]=AB,AB}1.

求证：（1）44〃平面Age：

(2)平面ABLAJ■平面ABC.

【答案】<1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）在平行六面体力及中，AB"A\B\.

因为ABJ平面A必a46<Z平面AM,

所以的〃平面力由c.

（2）在平行六面体力及力■力心G〃中，四边形力跖4为平行四边形.

又因为AAX=AB,所以四边形ABBxAx为菱形，

因此月3_1_4氏

又因为BC"BG、

所以力台_LH7.

又因为1/n於反力/u平面力由。，6Cu平面48C,

所以4?」平面A.BC.

因为/13u平面A8BA，

所以平面/以44_L平面AiBC.

7.【2024•浙江卷】如图，已知多面体/版“5G，/M,BBG。均垂直于平面加。,

N/1於120°,,仍=於8岳2.

A

B

（1）证明：月4_1_平面力£4；

（2）求直线/G与平面期所成的角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）叵.

13

【解析】（1）由A8=2,A4,=4,8g=2,/141_148,8q_48得/14=44=2公，

所以AB：+A8：=A4：.・

故Ag_LA4.

由BC=2，=2,CC,=1,BBi上BC,CG人BC得BCi=6

由66=AC=2,NA5C=I2O〃^AC=2>/L

由CR_LAC,得AG=A，所以48；+&G2=AC：,故A^_14G.

因此AgJL平面4局6.

（2）如图，过点G作C|O_LA/,交直线A4于点。，连结AO.

由A片1平面A瓦G得平而A4GJ•平而ABB],

由G。，A4得COJ■平面，

所以ZC.AD是AC｝与平面ABB,所成的角.

*sin4A41

由4G=后,A4=20,AG=万得cosNGA4=F

所以GD=J5,

…心亲噜.

因此，直线AG与平面A84所成的角的正弦值是叵.

13

【2024年】

1.12024•全国I文数】如图，在四极锥〃T6G9中，AB//CD,目./R4P=/CDP=90.

Q

（2）若PA=PIAAFDC,NAP/）=90，旦四棱锥〃乂优〃的体积为屋求该四棱锥的侧

面积.

【答案】（1）见解析；（2）6+26.

【解析】（I）由已知NA4P=NC£>P=90。，得CD1PD.

由于A8〃CD,故ABLPD,从而人B_L平面PAD.

又43u平面248，所以平面抬4_1_平面尸/1。.

（2）在平面P4Z）内作PEJ.4），垂足为E.

由（1）知I,A3J_平面PAO，故AB_LPE.可得PE_L平面A8CQ.

设4B二X,则由已知可得4。=Jir，PE=—x.

2

3

故四棱锥P-ABCD的体枳VP_ABCD=^ABADPE=^-X.

JJ

I8

由题设得；V=7,故x=2.

33

从而处=?。=2，AD=BC=272-PB=PC=272.

可得四棱锥P—A3CO的侧面积为

-PAPD+-PAAB+-PDDC+-BC2sin60°=6+2x/3.

2222

2.12024•全国U卷文数】如图，四棱锥尸一448中，侧面PAD为等边三角形且

垂直于底面ABCD,AB=BC=-4。,NBAD=ZABC=90°.

2

（1）证明：直线8（7〃平面Q4O;

（2）若△PCO的面积为25，求四棱锥尸—ABC。的体积.

【答案】⑴见解析；（2）4G.

【解析】（I）在平面力磔内，因为N"1P=N月叱90°,所以8%/以

又8C（Z平面PA。，4）匚平面24。，

故607平面PAD.

（2）取初的中点也连结〃M,□/,

由AB=BC=>AD及BC〃八D,//叱90°得四边形/吃必为正方形，则4/1.力〃

2

因为侧而〃为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD。平面ABCD=AD,

所以〃归_/[〃，网J_底面々O,

因为CMu底面ABC。.所以9

设BOx,则。上*,C伉旧,f眸瓜,PC=Pl）=2x.

取。的中点M连结AV,则月归_b所以PN=X^x.

2

因为的