高考数学二轮复习真题源讲义专题强化训练(二)

专题强化训练(二)

一、单项选择题

1.(2022•山东济南二模)已知In2=a,In3=b,那么log32用含a,b的

代数式表示为(B)

A.a-bB.-C.-D.a+b

ba

解析：由换底公式,得log，2二当二(故选B・

ln3b

2.(2021•江苏金陵中学高三模拟)函数f(x)=2乂+1。xT的零点所在

的区间为(D)

A.(1,|)B.(|,2)C.(0,D.(i1)

解析：函数f(x)=2'+lnx-1在(0,+8)上单调递增，由f(l)=l>0,

f(-)=V2-ln2-K--ln2-1--In2<--lnVe---=0,

222222

可得函数f(x)的零点所在的区间为(1,1).故选D.

ln2L,

3.(2022•湖北武汉二模)已知a=e,b=log34,c=2,则(B)

A.a>b>cB.c>a>b

C.a>c>bD.c>b>a

ln2l1=

解析：因为a=e=2,b=log34<log39=2=a,c=2'>2a,LUc>a>b.

故选B.

4.(2022•山东聊城一模)随着经济的发展和社会的进步,人们的环保

意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3,

排放前每过滤一次,该污染物的含量都会减少20猊当地环保部门要求

废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3,若要使该工厂的废气达

标排放，那么该污染物排放前至少过滤（参考数据：1g2^0.3,1g3弋

0.477）（C）

A.5次B.7次C.8次D.9次

解析：设该污染物排放前过滤的次数为n（nGN*）,由题意得

1.2X0.8"W0.2,即（三）=6,

4

两边同时取以10为底的对数可得lgg）n^lg6,

即nig（当）2lg2+lg3,

o

所以n2答写,因为1g2^0.3,1g3-0.477,

l-31g2

所以空迎光。3十。477二7.77

l-31g21-3X0.3

所以n27.77,又n£N*,所以nmin=8,即该污染物排放前至少过滤8次.

故选C.

5.（2022•河北石家庄模拟预测）若e』•X3=Tnx2-x3=-l,则下列不

等关系一定不成立的是（D）

A.xi<x3<x2B.x3<xi<x2

C.x3<x2<xiD.xi<x2<x3

解析:e~X1•x=-lnx•x=-l,得e』=Tnx=--.Etle~X1>0,得

3232心

0<x2<l,x3<0,

作出函数y二屋,y二Tnx,y=--(x<0)的图象，再作直线y二m.

X

变换m的值发现:x〈X3〈X2,x3<xi<x2,X3<X2<X]均能够成立,D不可能成立.

故选D.

6.(2021•浙江温州瑞安中学高三模拟)已知函数f(x)是定义在R上

的奇函数,满足f(x+2)=f(-x),且当xe[0,1]时,f(x)=log2(x+l),则

函数y=f(x)-x，的零点个数是(B)

A.2B.3C.4D.5

解析：由f(x+2)=f(-x)可得f(x)的图象关于直线x=l对称，由函数f(x)

是定义在R上的奇函数，所以f(x+2)=f(-x)=-f(x)=-[-f(x-2)]=

f(x-2),所以f(x)的周期为4.

函数y二f(x)-的零点问题，即函数尸f(x)和y=x：’的图象交点问题，

根据f(x)的性质结合y=x，的图象,可得大致图象如图所示，

由图象可得共有3个交点，故函数产f(x)-x，共有3个零点.故选B.

Lb

7.(2020•全国I卷)若2+log2a=4+21og4b,则(B)

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a<b2

解析：法一令f(x)=2*log2X,因为尸才在(0,+8)上单调递增，

y=log2x在(0,+8)上单调递增,所以f(x)=2、+log2X在(0,+°°)上单调

ab2b2b

递增.又2+log2a=4+21og.b=2+log2b<2+log2(2b),JjlfWf(a)<f(2b),

所以a〈2b,故选B.

abb

法二(取特值法)由2+log2a=4+21og.1b=4+log2b,取b=l,得

ax

2+log2a=4,令f(x)=2+log2x-4,则f(x)在(0,+8)上单调递增，且

x

f⑴<0,f⑵>0,所以f⑴f(2)<0,f(x)=2+log2x-4在(0,+8)上存在

唯一的零点,所以l<a<2,故a>2b=2,a<b?都不成立,排除A,D;取b=2,

x

得2'+log2a=17,令g(x)=2+log2x-17,则g(x)在(0,+8)上单调递增,

x

且g(3)<0,g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g(x)=2+log2x-17在(0,+8)上

存在唯一的零点,所以3<a<4,故a>b2=4不成立,排除C.故选B.

8.(2022•广东模拟预测)让・巴普蒂斯•约瑟夫•傅里叶,法国欧塞

尔人,著名数学家、物理学家.他发现任何周期函数都可以用正弦函数

和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的偶函数

2+°°z.xn

f(x)=—+4S——cosnx满足f(2冗-x)=f(x),且当x£[0,冗]时，有

3n=ln2

f(x)=x2,已知函数g(x)=f(x)-a(x+兀)有且仅有三个零点,则a的取值

范围是(A)

A.GTU(品)

B.G，?

D-GW)

解析:令h(x)=a(x+n),则11&)的图象是过点(-11,0),斜率为a的

直线.

由f(2冗-x)=f(x)可知f(x)的图象关于直线x=n对称.

又f(x)为偶函数,可画出f(x)和h(x)在同一平面直角坐标系下的图

象(下图为a>0时的情况).

g(x)有且仅有三个零点，则f(X)和h(x)的图象有且仅有三个交点.

h(n)=2an<n2,解得

当a=0时,显然不成立，当a>0时-，由图可得

h(3n)=4cm>n2,

-<a<-.

42

当a<0时，由对称性知乎所以a的取值范围是吁专UG，7)•

242442

故选A.

二、多项选择题

9.(2022•广东韶关二模)已知10=2,102b=5,则下列结论正确的是

(ABC)

A.a+2b=lB.ab<-

8

C.ab>(lg2)2D.a>b

解析：由题可知a=lg2,b=1lg5=lgV5,又通>2,所以a<b,D错误;

因为10a•102b=10a+2b=10,有a+2b=l,A正确;

由基本不等式得a+2b22短瓦所以ab^i当且仅当a=2b时,取等号,

8

又因为a=lg2,2b=lg5,所以aW2b,故ab<iB正确；

8

由于a=lg2>0,b=lgV5>lg2,所以ab>(lg2)；C正确.故选ABC.

g)匕函数

10.(2022•江苏南京模拟预测)已知函数f(x)=L

y=f(x)-a有四个不同的零点xbx2,x.3,x4,且Xi<x2<x3<X4,则(AC)

A.a的取值范围是(0,1)

B.X2-Xi的取值范围是(0,1)

C.X3+X产4

D.3=2

X3+X4

解析：函数y=f(x)-a有四个不同的零点Xi,x2,x3,x.i,即方程f(x)=a有

四个不同的解.

f(x)的图象如图所示,由图可知0<a<l,X1<0,0<x2<l,所以x2-X1>0,即

X2-X1的取值范围是(0,+8).

由二次函数的对称性,可得X3+Xk4.因为1-2右=2刈-1,所以2右+2*2=2,

11.(2022•湖北七市联考)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科

学家经过研究，已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量E(单位:

焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M,则下列说法正

确的是(ACD)

A.地震释放的能量为焦耳时,地震里氏震级约为七级

B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍

C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍

D.记地震里氏震级为n(n=l,2,…,9,10),地震释放的能量为an,则数

列色)是等比数列

解析:对于A,当E二析电3时,由题意得lg10153=4.8+1.5M,解得M=7,即

地震里氏震级约为七级，故A正确；

对于B,八级地震即M=8时,lgE尸4.8+1.5X8=16.8,解得E尸10?所

以*=*=1°">10工6.3,所以八级地震释放的能量约为七级地震释

放的能量的10'5倍，故B错误;

138

对于C,六级地震即M=6时，lgE2=4.8+1.5X6=13.8,解得E2=10,所

以含=黑=10Jl000,即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能

量的1000倍，故C正确；

4J}+L5n

对于D,由题意得lgan=4.8+1.5n(n=l,2,9,于)，所以an=10,

所以4,尸104・815(田)二106,弋所以％1二咒即数列瓜)是等

48+15n

anio--

比数列，故D正确.故选ACD.

12.(2022•福建莆田二中模拟预测)

已知函数g(x)=loga(x+k)(a>0且aWl)的图象如图所示.函数

x-x

f(x)=(k-l)a-a的图象上有两个不同的点A(xbyj,B(x2,y2),则

(BCD)

A.a>l,k>2

B.f(x)在R上是奇函数

C.f(x)在R上是增函数

D.当x20时,2f(x)近f(2x)

解析：对于A,由题图可知，函数g(x)=loga(x+k)(a>0且aWl)在

(-2,+8)上单调递增，所以a>l,因为g(x)经过(-1,0),所以

g(-l)=loga(-l+k)=0,所以a°=-l+k,k=2,故A错误;对于B,f(x)=ax-a-x,

定义域R关于原点对称,f(-X)=2-匚@'=-f(x),所以f(x)在R上是奇函

数，故B正确;

x-x

对于C,对于f(x)=a-a,由题意不妨设xi>x2,x£R,x2^R,则f(X))-

f3)二(Q/去)-(公七)二⑹廿人胃冬…紫…因

xxx+x

aia2a%i+x2ai2

X1+X2X1X2

为xi>x2,X]£R,X2^R,a>l,所以a*i+%2+i>o,a>0,a-a>0,即

f(x.)>f(x2)，所以f(x)在R上是增函数，故C正确；

对于D,2f(x)-f(2x)=2(a-ax)-(a2x-a_2x)=2(ax-ax)-(ax-ax)(ax+ax)=

(af(2-ax-a-x)~(q2y~1)•产-洛-1尸d-j)2:(。旺1)(0口了

一axaxa2xa2x

因为a>l,xN0,所以a+l>0,(引-1)320,心>0,所以■**9Wo,

a2x

当且仅当x=0时,等号成立，即当x20时,2f(x)Wf(2x)成立，故D正

确.故选BCD.

三、填空题

13.(2022•四川成都七中三模)已知函数即

则函数y=f(x)-ln(x-l)的零点个数为.

解析:函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数等价于函数f(x)与y=ln(x-1)

的图象的交点个数，

作出函数f(x)与y=ln(x-l)的图象,如图.

由图可知，函数f(x)与y=ln(x-l)的图象有3个交点，故函数

y=f(x)-ln(x-1)的零点个数为3.

答案：3

14.(2022•福建龙岩一模)已知函数f(x)=9-m-3x+m+6,若方程

f(-x)+f(x)=0有解,则实数m的取值范围是.

解析：由题意得9x+9x-m(3x+3x)+2m+12=0有解，令343=t(t22),则

9x+9x=t-2,

所以t2-mt+2m+10=0有解,即m(t-2)=t2+10有解,显然t=2无意义,所

以t>2,令t-2=y(y>0),

所以|『》2)2+1。=丫+为422旧+4,当且仅当y上,即尸旧时取等号,

yyy

所以[2\/14+4,+8).

答案：[2旧+4,+8)

flog(x+l),x>3,

15.(2022•湖南岳阳一模)已知函数f(x)=J2­八若

H1%4-3|,-9<%<3,

X〈X2且f(Xi)=f(x2),f(Xi)+f(x3)=4,则」一的取值范围是.

%1+%2

解析:画出f(x)的图象如图所示，

由图可知XI+X2=-6,0<f（Xi）W2.当X3WX2时，2<f区）<4且f（x3）=

l