高中数学 第1章 解三角形 1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）教学实录 苏教版必修5

高中数学第1章解三角形1.3正弦定理、余弦定理的应用（1）教学实录苏教版必修5学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课将引导学生运用正弦定理、余弦定理解决实际问题，通过典型例题的分析，帮助学生理解定理的应用方法，提升解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。教学过程注重理论与实践相结合，旨在提高学生对三角函数知识的综合运用能力。核心素养目标1.培养学生运用数学语言描述现实世界问题的能力，提高逻辑推理和数学建模的素养。

2.增强学生对数学与实际生活联系的认识，提升解决实际问题的策略和技巧。

3.培养学生严谨的数学思维习惯，提高运算能力和空间想象能力。学情分析本节课针对的是高中一年级的学生，他们在初中阶段已经学习了基本的三角函数和三角形的性质，具备一定的几何知识和解决问题的能力。然而，学生在以下几个方面存在差异：

1.学生层次：学生的数学基础参差不齐，部分学生在几何知识、三角函数的理解和运用上存在困难，而部分学生则表现出较强的自学能力和逻辑思维能力。

2.知识方面：学生在三角函数的图像和性质方面有一定了解，但对于正弦定理和余弦定理的理解和应用可能存在不足，尤其是定理在解决实际问题中的应用。

3.能力方面：学生的运算能力、逻辑推理能力和空间想象能力存在差异，部分学生能够熟练运用三角函数和几何知识解决问题，而部分学生在面对复杂问题时可能显得力不从心。

4.素质方面：学生的合作学习能力和沟通能力有待提高，部分学生在课堂上较为被动，缺乏主动思考和提问的意识。

5.行为习惯：部分学生存在拖延作业、依赖老师讲解等问题，影响了课程学习的积极性和效果。教学方法与策略1.采用讲授法结合讨论法，通过教师讲解正弦定理和余弦定理的基本概念和推导过程，引导学生理解定理的内涵。

2.设计小组合作学习活动，让学生通过讨论和协作解决实际问题，提高学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.利用多媒体教学手段，展示几何图形和三角函数图像，帮助学生直观理解定理的应用场景。

4.结合实际问题案例，引导学生运用正弦定理和余弦定理进行计算和推导，强化学生的实践操作能力。教学过程设计【用时：45分钟】

一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一幅描绘航海家在海上导航时使用三角测量的图片，引出三角形的测量问题。

2.提出问题：如何测量海面上两艘船之间的距离，以及如何确定一个岛礁的精确位置？

3.引导学生思考：我们如何将几何知识应用到实际问题中？

二、讲授新课（20分钟）

1.正弦定理和余弦定理的基本概念

-讲解正弦定理和余弦定理的定义，以及它们在三角形中的应用。

-通过图形展示，让学生直观理解定理的意义。

2.定理的推导过程

-通过几何证明，推导出正弦定理和余弦定理的表达式。

-强调推导过程中的逻辑性和严谨性。

3.定理的应用实例

-举例说明定理在解决实际问题中的应用，如测量未知边长、角度等。

三、巩固练习（15分钟）

1.课堂练习

-出示几道应用正弦定理和余弦定理的练习题，让学生独立完成。

-教师巡视指导，及时解答学生的疑问。

2.小组讨论

-将学生分成小组，讨论解决以下问题：

a.如何利用正弦定理和余弦定理解决实际问题？

b.在解题过程中，需要注意哪些细节？

-各小组派代表分享讨论结果。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问环节

-针对练习题和讨论环节，教师提出相关问题，引导学生深入思考。

-鼓励学生积极回答，对回答正确的学生给予表扬。

2.知识拓展

-提出与正弦定理和余弦定理相关的高阶问题，如定理在解决空间几何问题中的应用。

-鼓励学生课后进一步探究。

五、师生互动环节（5分钟）

1.学生提问

-鼓励学生在课堂上提出问题，教师针对学生的问题进行解答。

-通过解答问题，帮助学生巩固新知识。

2.教师总结

-对本节课的内容进行总结，强调正弦定理和余弦定理的重要性和应用价值。

-鼓励学生在课后继续学习和探索相关知识点。

六、作业布置（5分钟）

1.布置作业

-布置与正弦定理和余弦定理相关的课后作业，要求学生独立完成。

-作业内容应涵盖定理的应用和拓展，以培养学生的综合能力。

2.作业要求

-强调作业的重要性，要求学生按时完成并提交。

-对作业提交时间、格式等方面提出具体要求。教学资源拓展一、拓展资源

1.几何证明技巧：介绍与正弦定理和余弦定理相关的几何证明技巧，如三角形的内角和定理、勾股定理等，帮助学生更好地理解和掌握定理的证明过程。

2.三角函数的图像与性质：回顾三角函数的基本图像和性质，如正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性等，加深学生对三角函数的理解。

3.应用案例：收集和整理与正弦定理和余弦定理相关的实际应用案例，如工程测量、航海定位、建筑制图等，让学生了解定理在实际生活中的应用。

4.空间几何问题：介绍一些涉及空间几何问题的例题，如球体、锥体、圆柱体的表面积和体积计算，让学生体会正弦定理和余弦定理在解决空间几何问题中的作用。

二、拓展建议

1.阅读相关书籍：推荐学生阅读《几何学原理》、《高等数学》等书籍，了解几何学的起源和发展，以及三角函数和三角形的性质。

2.参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国中学生数学奥林匹克竞赛等，提高学生的数学思维能力和解题技巧。

3.利用网络资源：引导学生利用网络资源，如数学教育网站、在线课程等，拓宽知识面，提高学习效果。

4.实践操作：组织学生进行实践活动，如实地测量、制作几何模型等，让学生在实践中加深对定理的理解和应用。

5.交流与合作：鼓励学生与同学、老师进行交流和合作，共同探讨问题，分享学习心得，提高学习兴趣和团队协作能力。

6.创新研究：鼓励学生针对正弦定理和余弦定理的应用，开展创新研究，如设计新的测量方法、解决实际问题等，培养学生的创新精神和实践能力。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：在讲解正弦定理和余弦定理的应用时，引入实际案例，让学生通过分析案例来理解定理的实际意义，提高学生的应用能力。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体展示几何图形和三角函数图像，帮助学生直观理解定理，增强教学的趣味性和直观性。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生参与度不高：在课堂讨论环节，部分学生积极性不高，参与度不够，需要进一步激发学生的学习兴趣。

2.教学深度不足：在讲解定理的推导和应用时，可能过于注重步骤的讲解，而忽略了学生对定理本质的理解。

3.作业反馈不及时：对学生作业的反馈不够及时，可能导致学生对知识点的掌握不够牢固。

反思改进措施（三）

1.提高课堂互动性：设计更多互动环节，如小组讨论、角色扮演等，鼓励学生积极参与课堂活动，提高学生的参与度和学习兴趣。

2.深化教学深度：在讲解定理时，不仅要讲解推导过程，还要引导学生思考定理背后的数学原理，培养学生的逻辑思维能力。

3.加强作业反馈：及时批改作业，并对学生的作业进行详细反馈，帮助学生查漏补缺，巩固知识点。

4.丰富教学手段：结合学生的反馈，不断调整和改进教学方法，如使用更多多媒体资源、引入实际问题等，使教学内容更加生动有趣。

5.加强与学生的沟通：定期与学生交流，了解学生的学习困难和需求，针对性地进行教学调整，提高教学效果。

6.注重评价方式：采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、项目成果等，全面评估学生的学习成果，激发学生的学习动力。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度是评价教学效果的重要指标。通过观察学生的提问、回答问题、参与讨论的情况，可以评价学生对新知识的理解和接受程度。

-课堂表现评价包括学生的积极性、专注度、对问题的反应速度和准确性。例如，如果学生在课堂讨论中能够积极提出问题并正确回答，这表明他们对新知识有较好的掌握。

2.小组讨论成果展示：

-通过小组讨论，可以评价学生之间的合作能力和团队精神。评价标准包括小组成员的参与度、讨论的深度、解决问题的能力以及最终成果的展示。

-例如，如果小组成员能够共同完成一个复杂的几何问题，并在展示时清晰、有条理地阐述解题思路，这表明他们在合作学习和问题解决方面有显著进步。

3.随堂测试：

-随堂测试是即时评价学生学习效果的有效手段。测试可以包括选择题、填空题和简答题，旨在检验学生对基本概念、定理和公式的掌握程度。

-测试结果可以反映学生对正弦定理和余弦定理的理解是否到位，以及他们在应用这些定理解决实际问题时是否存在困难。

4.学生自评与互评：

-鼓励学生进行自我评价和相互评价，这有助于学生反思自己的学习过程和学习成果。

-学生可以通过填写自评表或参与互评小组，来评价自己在课堂参与、小组讨论、作业完成等方面的表现。

5.教师评价与反馈：

-教师的评价应该基于学生的整体表现，包括课堂表现、作业质量、测试成绩等。

-针对学生的具体表现，教师应提供具体的反馈，如“你的解题方法很创新，但在计算细节上需要更加注意”或“你在小组讨论中非常积极，但可以尝试提出更多的建设性意见”。

-教师的反馈应该是建设性的，旨在帮助学生识别自己的强项和需要改进的地方，从而促进学生的持续进步。

教学评价与反馈的目的是为了更好地指导学生的学习，教师应该根据评价结果调整教学策略，确保每个学生都能在数学学习上取得进步。重点题型整理1.**已知三角形两边和夹角，求第三边和两角**

-**题型示例**：在三角形ABC中，已知AB=5，BC=7，∠ABC=30°，求AC的长度和∠BAC、∠ACB的大小。

-**解题步骤**：

-利用正弦定理求AC的长度：AC/sin∠ABC=AB/sin∠BAC。

-利用余弦定理求∠BAC：cos∠BAC=(AB²+AC²-BC²)/(2*AB*AC)。

-利用正弦定理或余弦定理求∠ACB。

2.**已知三角形两边和其中一边的对角，求第三边和两角**

-**题型示例**：在三角形ABC中，已知AB=8，BC=10，∠C=45°，求AC的长度和∠BAC、∠ACB的大小。

-**解题步骤**：

-利用余弦定理求AC的长度：AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos∠C。

-利用正弦定理求∠BAC：sin∠BAC=(BC*sin∠C)/AB。

-利用正弦定理或余弦定理求∠ACB。

3.**已知三角形两角和其中一角的对边，求第三角和两边的长度**

-**题型示例**：在三角形ABC中，已知∠A=40°，∠B=60°，AC=12，求∠C和AB、BC的长度。

-**解题步骤**：

-求∠C：∠C=180°-∠A-∠B。

-利用正弦定理求AB：AB/sin∠A=AC/sin∠C。

-利用正弦定理求BC：BC/sin∠B=AC/sin∠C。

4.**已知三角形两边和其中一边的邻角，求第三边和两角**

-**题型示例**：在三角形ABC中，已知AB=6，BC=8，∠B=75°，求AC的长度和∠A、∠C的大小。

-**解题步骤**：

-利用余弦定理求AC：AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos∠B。

-利用正弦定理求∠A：sin∠A=(AB*sin∠B)/BC。

-利用正弦定理或余弦定理求∠C。

5.**已知三角形两角和其中一角的对边，求第三边和另一角**

-**题型示例**：在三角形ABC中，已知∠A=50°，∠B=70°，AC=15，求∠C和BC的长度。

-**解题步骤**：

-求∠C：∠C=180°-∠A-∠B。

-利用正弦定理求BC：BC/sin∠B=A