2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.6微积分基本定理（教师用书）教学实录新人教A版选修2-2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课将学习微积分基本定理，包括其概念、证明及其应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的教学内容与学生在前几节课所学的导数概念、极限概念和微分学的基本定理等知识紧密相关。教材章节为第1章，具体内容涉及导数及其应用部分，特别是1.6节微积分基本定理。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过学习微积分基本定理，学生能够理解导数与积分之间的关系，提升抽象思维能力；通过证明过程，增强逻辑推理能力；通过实际应用，锻炼数学建模和直观想象能力；同时，通过计算和推导，提高数学运算的准确性和效率。三、重点难点及解决办法重点：

1.微积分基本定理的理解与应用：重点在于学生能够准确把握定理的含义，并能够应用于解决实际问题。

2.定理的证明：理解并掌握定理的证明过程，包括极限的运算和逻辑推理。

难点：

1.极限思想的应用：在证明过程中，学生可能难以理解如何将导数的定义转化为极限的形式。

2.逻辑推理的复杂性：定理的证明需要复杂的逻辑推理，学生可能难以跟随证明的思路。

解决办法：

1.通过实例讲解和练习，帮助学生建立微积分基本定理的直观理解。

2.逐步引导，从简单到复杂，让学生逐步掌握极限的应用技巧。

3.在证明过程中，采用分步骤讲解，突出关键步骤，帮助学生理解证明的逻辑。

4.鼓励学生参与讨论和合作学习，共同解决难题，提升逻辑推理能力。四、教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过清晰讲解微积分基本定理的定义和证明，为学生提供系统的知识框架。

2.讨论法：组织学生围绕定理的应用进行小组讨论，激发学生的思维活跃性。

3.实例分析法：通过具体实例分析，帮助学生理解定理在实际问题中的应用。

教学手段：

1.多媒体教学：使用PPT展示定理的证明步骤和实例，直观展示数学过程。

2.互动软件：利用数学教学软件进行动态演示，帮助学生直观理解极限和导数的关系。

3.网络资源：引导学生利用网络资源查找相关资料，扩展知识视野。五、教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-首先通过回顾学生已学过的导数概念，提出问题：“我们学习了导数，那么导数和原函数之间有什么关系呢？”

-展示一些简单的函数图像，引导学生思考导数与函数图像之间的关系。

-引入微积分基本定理的概念，提出本节课的学习目标。

2.新课讲授（用时15分钟）

-第一条：讲解微积分基本定理的定义，通过实例说明定理的含义。

-第二条：分析定理的证明思路，重点讲解如何将导数的定义转化为极限的形式。

-第三条：通过几何直观和物理意义来帮助学生理解定理的重要性。

3.实践活动（用时10分钟）

-第一条：让学生独立完成定理的应用练习，如计算一个给定函数的原函数。

-第二条：分组进行小练习，每组选取一个函数，运用微积分基本定理进行积分计算。

-第三条：展示学生的计算过程，讨论可能出现的错误和解决方案。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-第一方面：讨论定理在不同类型函数中的应用，如幂函数、指数函数和三角函数。

-第二方面：探讨如何利用微积分基本定理解决实际问题，如求曲线下的面积或物理问题中的位移。

-第三方面：分析定理在数学研究中的应用，如微分方程的解法。

5.总结回顾（用时5分钟）

-回顾本节课所学内容，强调微积分基本定理的核心概念和证明过程。

-通过提问学生，检查他们对定理的理解程度，如“微积分基本定理告诉我们什么？”

-鼓励学生思考定理在实际问题中的应用，如“你能举一个例子说明微积分基本定理在物理学中的应用吗？”

-最后，对学生的表现给予肯定，并对下一步学习提出期望。

整个教学流程如下：

1.导入新课（用时5分钟）

2.新课讲授

-定义微积分基本定理（用时3分钟）

-证明思路分析（用时5分钟）

-定理的几何与物理意义（用时7分钟）

3.实践活动

-独立练习（用时5分钟）

-小组练习（用时5分钟）

-展示与讨论（用时5分钟）

4.学生小组讨论

-函数类型应用（用时3分钟）

-实际问题解决（用时3分钟）

-数学研究应用（用时4分钟）

5.总结回顾（用时5分钟）

总计用时：35分钟。六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解微积分基本定理的核心概念：通过本节课的学习，学生能够理解微积分基本定理的含义，即导数和原函数之间的关系。他们能够解释为什么导数的积分等于原函数，以及这个定理在数学和物理学中的重要性。

2.掌握定理的证明方法：学生在学习过程中，不仅理解了定理的内容，还学会了如何证明这个定理。他们能够跟随证明的步骤，理解极限在证明中的作用，以及如何从导数的定义推导出积分的定义。

3.提高逻辑推理能力：在证明微积分基本定理的过程中，学生需要运用逻辑推理来分析问题。通过这个过程，学生的逻辑思维能力得到了锻炼，他们能够更加清晰地表达自己的思考过程。

4.增强数学建模能力：学生通过将实际问题转化为数学问题，并运用微积分基本定理来解决这些问题，提高了他们的数学建模能力。他们能够从实际问题中提取关键信息，建立数学模型，并使用定理进行求解。

5.提升解决问题的能力：学生通过本节课的学习，能够将微积分基本定理应用于解决实际问题，如计算函数的面积、求解微分方程等。这有助于提高他们在数学问题解决方面的能力。

6.培养团队合作精神：在小组讨论和实践活动环节，学生需要与他人合作，共同解决问题。这有助于培养学生的团队合作精神，提高他们在团队中的沟通和协作能力。

7.增强自主学习能力：学生在本节课中，通过查阅资料、独立完成练习等方式，提高了自主学习的能力。他们能够独立思考问题，主动寻找解决问题的方法。

8.提高数学运算的准确性：在计算过程中，学生需要准确地进行数学运算。通过本节课的学习，学生的数学运算能力得到了提高，他们在进行积分计算时能够更加准确。

9.激发学习兴趣：通过实际应用和实践活动，学生能够感受到数学的实用性和趣味性，从而激发他们的学习兴趣。

10.培养批判性思维：在讨论和实践活动环节，学生需要批判性地思考问题，提出自己的观点。这有助于培养学生的批判性思维能力，使他们能够从不同的角度分析问题。七、典型例题讲解1.例题1：求函数\(f(x)=x^2-3x+2\)的原函数。

解答：根据微积分基本定理，函数\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)满足\(F'(x)=f(x)\)。对\(f(x)\)进行不定积分，得到：

\[F(x)=\int(x^2-3x+2)\,dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x+C\]

其中\(C\)为积分常数。

2.例题2：求函数\(g(x)=e^x\sin(x)\)在区间\([0,\pi]\)上的定积分。

解答：由于\(g(x)\)是两个函数的乘积，我们可以使用分部积分法。设\(u=e^x\)和\(dv=\sin(x)\,dx\)，则\(du=e^x\,dx\)和\(v=-\cos(x)\)。应用分部积分公式：

\[\intu\,dv=uv-\intv\,du\]

得到：

\[\inte^x\sin(x)\,dx=-e^x\cos(x)-\int(-\cos(x))e^x\,dx\]

再次使用分部积分法，得到最终结果。

3.例题3：求由曲线\(y=x^2\)和直线\(y=x+1\)所围成的平面区域的面积。

解答：首先，我们需要找到曲线和直线的交点。解方程\(x^2=x+1\)得到\(x=-1\)和\(x=1\)。因此，所求面积\(A\)为：

\[A=\int_{-1}^{1}(x+1-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{2}-1+\frac{1}{3}\right)=1\]

4.例题4：求函数\(h(x)=\ln(x)\)在区间\([1,e^2]\)上的平均值。

解答：函数\(h(x)\)的平均值\(\bar{h}\)可以通过以下公式计算：

\[\bar{h}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}h(x)\,dx\]

其中\(a=1\)，\(b=e^2\)，\(h(x)=\ln(x)\)。计算得到：

\[\bar{h}=\frac{1}{e^2-1}\int_{1}^{e^2}\ln(x)\,dx\]

使用分部积分法求解这个积分。

5.例题5：求由曲线\(y=\sqrt{x}\)和直线\(y=x\)所围成的平面区域的面积。

解答：首先，找到曲线和直线的交点。解方程\(\sqrt{x}=x\)得到\(x=0\)和\(x=1\)。因此，所求面积\(A\)为：

\[A=\int_{0}^{1}(x-\sqrt{x})\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{2x^{3/2}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\]八、教学反思与改进教学反思是教学过程中不可或缺的一环，它帮助我们总结经验，发现问题，不断改进教学方法，提高教学效果。以下是我对本次微积分基本定理教学的反思与改进计划。

1.设计反思活动

在教学结束后，我将进行以下反思活动：

-**学生反馈调查**：通过问卷调查或面对面交流，了解学生对微积分基本定理的理解程度、学习过程中的难点以及他们对教学方法的评价。

-**课堂观察记录**：回顾课堂上的互动情况，观察学生的参与度和对知识的掌握情况，记录下学生的疑问和错误。

-**自我评价**：反思自己在教学过程中的表现，包括对知识的讲解、教学方法的运用、课堂管理等方面。

2.制定改进措施

基于上述反思活动，我计划采取以下改进措施：

-**强化基础知识**：针对学生在基础知识上的薄弱环节，如极限概念的理解，我将增加基础知识的复习和巩固环节，确保学生能够牢固掌握微积分的基本概念。

-**多样化教学方法**：为了提高学生的学习兴趣和主动性，我计划在教学中引入更多互动环节，如小组讨论、问题解决游戏等，让学生在合作中学习。

-**个性化辅导**：针对学生在学习过程中遇到的具体问题，我将提供个性化的辅导，帮助他们克服学习障碍。

-**案例教学**：通过实际案例的讲解，让学生理解微积分基本定理在实际问题中的应用，提高他们的解决实际问题的能力。

-**反馈与调整