2024-2025学年河北省省级示范性高中联合测评高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省省级示范性高中联合测评高一下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，x,y∈R，若x−ii=y−2i，则(

)A.x=−2,y=−1 B.x=2,y=−1 C.x=−2,y=1 D.x=2,y=12.在▵ABC中，设AB=a,AC=b，若A.14a+34b B.33.已知复数z的实部与虚部互为相反数，且z⋅z=2，则满足条件的复数z的个数为(

)A.0 B.2 C.4 D.无数个4.已知向量a,b满足a=−2,1,b=−1,3A.−2,1 B.−2,3 C.−25,5.在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sin2BcosA=sinCcosA.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形6.在▵ABC中，已知AC=λMC，点P在线段BM上，若AP=25A.2 B.32 C.3 D.7.某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在B､C处测得雕像最高点的仰角分别为π4和π6，且A=π2，BC=2.92m，则该雕像的高度AD约为(

A.4.0m B.4.6m C.5.2m D.6.2m8.已知向量a=−cosx4,A.2 B.32 C.1 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a,b满足a=1,b=2，它们的夹角为π3A.3a B.b−2a C.10.已知复数z=3−4i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是(

)A.z=5

B.复数1z的虚部为−425

C.若z对应的向量为OA,1+i对应的向量为OB，则向量AB对应的复数为−2+5i

D.若复数z是关于11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知M是▵ABC内一点，△BMC、▵AMC、▵AMB的面积分别为SA、SB、SC，且SAA.若SA:SB:SC=1:1:1，则M为▵ABC的重心

B.若SA:SB:SC=1:2:3，则AM三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足1+iz=1−i，则z2025=

13.定义向量a,b的一种新运算：a×b=absinθ，其中θ是向量a,b14.已知点P为等腰▵ABC外接圆⊙M上的一个动点，AC=2BC=4，则PB⋅PC的取值范围为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(1)当a+b⊥(2)当b//a+c时，求向量a16.(本小题15分)已知复数z=2+ai(a∈R,i为虚数单位)，其共轭复数为z．(1)若复数3+i⋅z为纯虚数，求实数a(2)若复数3+i⋅z是实数，求实数(3)若z1=z1−i，且复数z17.(本小题15分)在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3b(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，求BD的长度．18.(本小题17分)某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形ABCD划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，AD=300m,BA⊥AD，∠CBA=3π4,∠ACD=(1)用α表示▵ACD的面积S，并求S的最大值；(2)为了提高观赏效果，计划在AB和BC边上安装护栏，其中BC边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为AB+2BC的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值19.(本小题17分)在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=x1,y1,(1)已知向量a=5(2)(i)设向量a,b的夹角为θ，证明：(ii)在▵ABC中，AB=4,AC=8,D为BC的中点，且AD=27，若AD=2PD，求参考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.D

6.C

7.A

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.−i

13.1414.−1415.(1)由题意可得a+因为a+b⊥(2)a因为b//a+所以c=所以cosa即向量a与c的夹角的余弦值为−

16.(1)易知3+i⋅z=若复数3+i⋅z为纯虚数，可得解得a=6；(2)由z=2+ai可得z=2−ai所以3+i⋅若复数3+i⋅z是实数，可得解得a=2(3)易知z1易知复数z1在复平面内所对应的点坐标为2−a又复数z1在复平面内所对应的点位于第二象限，可得解得a>2．即实数a的取值范围为2,+∞．

17.(1)在▵ABC中，由3bcos则3即−sinCsinB=3cos所以B=2π(2)由(1)知，B=2π3，又a=4，▵ABC的面积为则12acsinB=7由S▵ABD+S▵CBD=所以BD=28

18.(1)在▵ACD中，∠CAD=π2−α，∠ACD=由正弦定理，ADsinπ4解得AC=300∴S==22500=22500∵α∈π24,5π24所以当2α+π4=π2，即α=(2)在▵ABC中，由正弦定理ACsin3π4同理可得AB=∴AB+=600=600=3001−∵α∈π24,因为y=sinx在π12∴AB+所以建造护栏所需费用的最小值为378×200=75600元.

19.