中考数学基础知识梳理及重难点讲解(学生用资料完整版)

1中考数学基础知识梳理及重难点讲解(学生用资料完整版)本资料内容简介本内容分为七章：第一章数与式第二章方程(组)与不等式(组)第三章函数第四章几何初步与几何图形第六章图像的变化第七章概率与统计2.重难点重点：整式和实数计算、方程与不等式的解法及应用、几何图形变化与证明、函数图像及性质、统计与概率、圆的相关性质难点：方程与不等式的应用、几何证明、函数图像及性质2第一节实数基础知识梳理实数的分类1.按定义分类实数实数温馨提示常见的几种无理数类型(2)最终结果含有π的数：如π,(3)有规律的无限不循环小数：如0.3030030003….(4)大多数三角函数(注意：cos60°,tan45°等是有理数).2.按正负分实数的相关概念定义性质相反数只有符号不同的两个数互为相反数数为0;②互为相反数的两个数的和为0,即a+b③互为相反数的两个数，非零情况下商为-④a-b的相反数为,a+b的相反数数轴的直线数轴上的点和实数对应3绝对值数轴上表示数a的点与原点的距离是a的绝对值，记作|a|正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即倒数乘积等于的两个数互为倒数非零数a的倒数是零没有倒数；若a,b温馨提示(1)a-b的相反数为b-a,a+b的相反数为-a-b(a-b,a+b的相反数在平时应用中出错率较高).科学记数法、近似数1.把一个数N表示成的形式，其中a的取值范围是,n是整数.当|N|≤1时，|n|等于原数最左边非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的那个零),n为负数.温馨提示含有单位的数用科学记数法表示时，先把计数单位去掉，去掉“亿”乘以108,去掉“万”乘以104,去掉“千”乘以10s,去掉“万亿”乘以10122.近似数：把一个数按要求四舍五入后得到的数.实数大小的比较正数零，负数零，正数负数；两个负数，绝对值大的反而数轴比较法4差值比较法设a,b是任意两个实数，则取特殊值法当O<a<b<1时，要比较a2和b₂的大小，可实数的运算1.常见运算知识点实数的运算1.常见运算运算法则0次幂负整数指数幂-=(a≠0,p为整数),特别地，去绝对值-1的奇数次幂为-1,-1的偶数次幂为1常见的开方32.四则运算法则①同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加.②异号两数相加：绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值较小的绝对值.③一个数加上,仍得这个数.5(4)除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.J异号得负3.实数混合运算的解题步骤(1)先乘方，再乘除，后加减.(2)有括号时先计算括号里面的.(3)同级运算按照从左到右的顺序进行计算.平方根、立方根、算术平方根名称定义性质就叫做a的平方根，记作±正数的平方根有两个，它们算术平方根如果x2=a(x≥0,a≥0),那么这个正数x就叫做a的0的算术平方根是0的立方根，记作3a正数有一个正的立方根；0的立方根是0;负数有一个负的立方根6第二节整式与因式分解基础知识梳理代数式及其求值1.代数法用把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式，特别地，单独一个数或一个字母也是代数式.(2)整体代入法①观察已知条件和所求代数式的关系；全平方公式；③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中.整式的有关概念单项式.单单-和叫做这个单项式的次数.式次数：多项式里，次数项的次数，2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项.整式的运算1.整式的加减运算(1)整式加减运算的实质：合并同类项.(2)合并同类项：几个同类项相加减，把它们的含7字母和字母的指数不变.(3)去括号法则：a+(b-c)=;a-(b-c)=.括号前边有系数，系数和括号里的每一项都相乘.2.幂的运算同底数幂相乘同底数幂相除(ab)n=(n为整数，a,b≠0)商的乘方整数，a,b≠0)温馨提示(-a)2和-a4底数不同.3.整式的乘法运算单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=;完全平方公式：(a±b)₂=温馨提示如(-2x-3y)2变成(2x+3y)2后再展开.4.整式的除法运算8(1)单项式除以单项式时，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则·44因式分解1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.2.因式分解的基本方法(1)提公因式法：ma+mb+mc=(2)公式法：①a₂-b₂=;3.因式分解的步骤(1)一提：若有公因式，应先提取公因式；(2)二套：看是否可套用公式；(3)三查：检查各项因式是否分解彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.温馨提示(1)提公因式时，不要忘记数字因式，如9(a-b)₂-6(a-b)=(a-b)[9(a-b)-6]=3(a-b)[3(a-b)-2].(2)奇偶同式，变偶次数项.如2(a-b)3-(b-a)z=2(a-b)3-(a-b)2=(a-b)₂(2a-2b-1).9 基础知识梳理分式的概念1.分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有,那么式-做分式.分中，A叫做分子，B叫做分母.分式合为零，则-0,_≠0.3.最简分式：一个分式的分子与分母没有的分式.分式的性质及应用分式的性质性质于零的整式，分式的值不变.即：其中B≠0,M≠0)约分法则温馨提示(1)约分的关键是寻找公因式，其方法为①取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数；②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式；③如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式，然后寻找公因式.(2)通分的关键是寻找最简公分母，其方法为①取各个分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式；③如果分母是多项式，则应先把每个分母分解因式，然后再找最简公分母.知识点知识点分式的运算分式的同分母分式加减：分母不变，分子相加减分式的分式的(a为正整数)括号的，先算括号里面的1基础知识梳理二次根式的有关概念1.定义：形如√a()的式子叫二次根式.a≥0,√a≥0(双重非负性).二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.2.最简二次根式(1)被开方数不含·(2)被开方数中不含的因数或因式.2二次根式的性质性质1:(Na)2=(a≥0).性质4:3二次根式的运算加减：先将二次根式化成,再将的二次根式进行合并.乘法：Va·√6=√ab(a≥0,b≥0).除法：混合运算：类比实数混合运算.温馨提示二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，且分母中不含根号，因此，运算中常用式第二章方程(组)与不等式(组)第一节一次方程(组)及其应用基础知识梳理等式的性质在解方程中的应用2.若a=b(c≠0),则ac=bc对应—步_骤去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数).3.若a=b(c≠0),应一步_骤系数化为1.一元一次方程及其解法1.一元一次方程：只含有未知数(元),未知数的次数都是,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.2.解一元一次方程时，目标是把原方程化为x=c的形式，一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.3二元一次方程组及其解法1.概念：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.2.解二元一次方程(组)的基本思想是温馨提示当一个方程中某一个未知数的系数的绝对值是1或者其中一个方程的常数项为零时，代入消元法比较简单，否则加减消元法比较简单.一次方程(组)中常见题型及数量关系常见类型利润问题售价=标价×折扣利润=售价一进价=进价×利润率(折扣：商品购销中的让利打折，几折就是现价占原价的十分之几)工程问题工作量=工作效率×工作时间行程问题基本量间的关系：=速度×时间相遇问题：全路程=甲走的路程乙走的路程追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程十两地间(1)把握题意，搞清楚什么是条件，求什么;(2)设未知数：①直接设未知数；②间接设未知数；(3)找等量关系，列方程(组);(4)求出方程(组)的解；(5)验根(看是否符合题意，符合实际);(6)写出答案(包括单位).温馨提示在选择是列一元一次方程还是列方程组解题时，若题中两个未知量有比较简单的关系，如倍数关系、差一定或和一定时，可以很方便地用一个变量表示出另一个变量，我们既可以设一个未知数列一元一次方程求解，也可以设两个未知数列方程组求解.相反，若两个未知量比较独立，关系较复杂，难以简洁地用一个变量表示出另一个变量时，就设两个未知数列方程组求第二节一元二次方程及其应用基础知识梳理一元二次方程的相关概念1.一元二次方程必须具备三个条件时，不含有二次项，即不是(3)所含未知数的最高次数是2.一般形式3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解法(1)当方程缺少一次项时，即方程ar³+c-0(a≠0,ac<0),如：2x³-4=0(2)形如(x+m)²-n(n≥0)的方程，如：(x+2)²-4因式法(1)当方程缺少常数项，即方程ax²+bx=0(a≠0),如：2x²+3x=0(2)一元二次方程等号的一边为0.而另一边是易于分解成两个一次因式乘积的式子.如：2(x+1)²-3(x+1)=0④公式法法(1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程，如：x³+4x-3=0(2)各项的系数比较小且便于配方的情况温馨提示(1)用配方法解一元二次方程的步骤①变形：将二次项系数化为1;②移项：将常数项移到方程的右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④求解：用直接开平方法求解.(2)用因式分解法解一元二次方程时，方程两边不能同时除以含未知数的因式.知识点一元二次方程根的判别式一元二次方程ax₂+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b₂-4ac.(2)b₂-4ac0⇔方程有两个相等的实数根；(3)b₂-4ac0⇔方程没有实数根.知识点4一元二次方程实际应用的常见类型1.增长率(下降率)问题a为原来量，b为增长后量，x为增长率，2为变化次数.a为原来量，b为下降后量，x为下降率，2为变化次数.2.类似于“握手问题”(签合同，单循环赛……)n个人，每两人都握一次手，则共握手次.3.类似于“互赠照片”(互送礼物……)n个人，每两个人之间都互赠一张照片，则共赠照片4.常见图形面积问题(1)如图①,设空白部分的宽为x,则S=①②③(2)如图②,设阴影部分的宽为x,则S=(3)如图③,设阴影部分的宽为x,则S=(4)如图④,围栏总长为a,BC的长为b,则S=5.利润问题中的“每每模型”如：每件商品进价c元，售价a元时，每天可卖出m件，每涨1元，少卖n件，售价涨到第三节分式方程及其应用分式方程及其解法1.分式方程的概念：分母中含有的方程2.解分式方程的基本思路把分式方程转化为_,即通过去分母把分式方程转化为3.解分式方程的步骤去分母解整式方程检验解分式方程的一般步骤：分式方程——→整式方程—→x=a——→〔分式方程的分母不为0,则a是分式方程的根，1分式方程的分母为0,则原分式方程无解.温馨提示(1)去分母时，公分母不要漏乘常数项(2)分式方程中(a-b)和(b-a)同时出现在分母上，可统一为一种形式.(3)去分母时，若分式前边是减号，去掉分母后，分子应加括号.4.分式方程的增根及分式方程无解(1)分式方程的增根是在去分母时产生的，它有两个特点：①增根是去分母后所得整式方程的根；②增根是使原方程中各分式的最简公分母为Q4零的未知数的值；(2)分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.知识点分式方程的实际应用1.列分式方程解应用题的一般步骤跟列整式方程解应用题的一般步骤一样：审题、设未2.常见数量关系见本章第一节一次方程(组)及其应用知识点4常用关系式：(1)在工程问题中，有时工作总量看作单位“1”,这时，第四节一元一次不等式(组)及其应用不等式的性质性质1:若a>b,则a±cb±c.一元一次不等式的解法及解集表示1.解一元一次不等式的步骤去分母、去括号、移项、系数化1(ax>b,ax<b系数化1时，不等号的方向只和a的正负相关，和b无关).2.解集表示①画数轴②定边界③定方向温馨一元一次不等式(组)的解法图示口诀同大取大同小取小解集x≤1中间找小小，大大找不到知识点一元一次不等式(组)的应用1.步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等关系；(4)列出不等式(组);(5)解不等式(组);(6)检验并写出答案.2.关于关键词常用关键词>小于，少于，不足，低于<第一节平面直角坐标系与函数基础知识梳理知识点平面直角坐标系中点的坐标特征1.各象限内点P(x,y)的坐标特征(3)在第三象限→(1)点P(x,y)在x轴上⇔.如P(a+2,a-2)在x轴上，则(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标如P(x+1,x5.点的对称(简记为关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号)点P的坐标向右平移a个单位向左平移a个单位向上平移b个单位向下平移b个单位7.点到坐标轴、点到原点的距离(1)点P(a,b)到x轴的距离为;(2)点P(a,b)到y轴的距离为;(3)点P(a,b)到原点的距离为√az+b2温馨提示(1)中点公式：已知P(x,y),Q(x₂,y)为平面直角坐标系中任意两点，则PQ的中点坐(2)两点间距离公式②若PQ//y轴⇔x=x,PQ=lv-y₂I;③坐标平面内任意两点间距离公式：PQ=√(x₂-x,)2+(y₂-y,)2.函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围函数表达式的形式分式型式型分式+二次根式型自变量取值范围使分母不为零的实数使被开方数大于举例函数的自变量使被开方数大于或等于零且分母不为零的实数函数的自变2基础知识梳理一次函数的定义及相关概念1.一次函数：一般地，形如y=._(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx(k≠0)为正比例函数.小编说2.一次函数与坐标轴的交点坐标一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点A的坐标为,与y轴交点B的坐标为如y=2x+1的图象与x轴交点坐标,与y轴交点坐标B两直线交点坐标解方程组可得.3.常见的相关三角形的面积一条直线与坐标轴两条直线与x轴围两条直线与y轴围围成三角形的面积成三角形的面积成三角形的面积BBAA0D忙A—一次函数的图象与性质1.k的正负决定直线的倾斜方向.k>0,直线向上的方向与x轴正方向夹角为锐角，k<0,直线向上的方向与x轴正方向夹角为钝角特别地， 2.b表示直线与y轴交点的纵坐标，b>0,直线与y轴交于l04正半轴，b<0,直线与y轴 交于LJ05负半轴，b=0,直线过原点.3.一次函数的图象及其性质函数图象-kx+bk.b为常数，且k40)00性质经过单限象限象限第象限_象限象限变化规律确定一次函数的解析式1.直接确定一次函数解析式的方法待定系数法，即设y=kx+b(k≠0)找出函数图象上的两个点，代入得关于k,b的二元一次方程组，解之求k,b.2.根据平移确定(x左加右减，函数式上加下减)一次函数y=kx+b(k≠0)图象的平移向左平移m个单位长度直线y=k(x+m)+b向右平移m个单位长度→向上平移m个单位长度→直线y=kx+b+m向下平移m个单位长度→已知直线y=k,x+b,(k₁≠0),直线y=k₂x+A一次函数与方程(组)、一元一次不等式的关系1.一次函数与方程的关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即方程kx+b=0的解.2.一次函数与方程组的关系一次函数y=kx+b,(k,≠0)与y=kx+b₂(k,≠0)的图象交点的横、纵坐标即方程组的解.3.不等式kx+b>0的解集，即函数y=kx+b的图象位于x轴部分对应的自变量x的取值范围.kx+b<0的解集，即函数y=kx+b的图象位于x轴部分对应的自变量x的取值范围.第三节反比例函数基础知识梳理反比例函数的定义形如k为常数，注意：反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值.反比例函数的图象和性质k图象0000所在象限随x的增大而原点对称反比例函数中比例系数k的几何意义1.k的几何意义：在反比例函数(k≠0)上任取一点P(x,y),过这一点分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,与坐标轴围成的矩形PMON的面积S=|xy|=2.计算与双曲线上的点有关的图形面积A0A00P什A(P,P,关于原点对称)面积和k值大小直接互求.若三角形为不方法来求反比例函数解析式的求法知识点反比例函数解析式的求法知识点41.待定系数法.2.利用k的几何意义求解.第四节二次函数的图象与性质基础知识梳理知识点二次函数的定义一般地，形如Q1y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.二次函数的图象及其性质图象y0y0开口方向开口向开口向对称轴直线直线顶点随x的增大面 时，y随x的增大而时，y随x的增大而最值 值为二次函数y=ax₂+bx+c(a≠0)的图象与系数a,b,c及一些式子的关系字母字母符号图象特征a|a|越大la|越小b对称轴为ab>0(a,b同号)对称轴在y轴侧ab<0(a.b异号)对称轴在y轴侧c抛物线经过原点与x轴有个交点与x轴有个交点与x轴有_个交点关系(1,a+b+c),由横坐标为1的点在图象上的位置确定a+b+c的正负(-1,a-b+c),由横坐标为-1的点在图象上的位置来确定a-b+c的正负2a+b.2a-b两个式子的正负由对称轴的位置来确定温馨提示(1)对于a,b的符号，对称轴有口诀"左同右异";两侧纵坐标相同的两个点，与对称轴等距离，且二次函数解析式的确定1.一般式：y=ax₂+bx+c.当已知抛物线上任意三点坐标时，常用一般式.2.顶点式：y=a(x-h)2+k.当已知抛物线的顶点坐标(h,k)和抛物线上另一点时，常设顶点式.3.交点式：y=a(x-x)(x-x).当已知抛物线与x轴交点坐标(x0)和(x₂0)时，通常设交点式.二次函数图象的平移二次函数图象的平移1.顶点式：y=a(x-h)2+k,向上平移m个单位得y=a(x-h)₂+k+m;向下平移m个单位得.向左平移m个单位得y=a(x-h+m)2+k;向右平移m个单位得2.一般式：y=ax₂+bx+c(a≠0).向上、下平移m个单位得y=ax₂+bx+c±m.向左、右平移m个单位得y=a(x±m)₂+b(x±m)+c.平移规律：左加右减，上加下减.对于一般式、顶点式均适用.二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax₂+bx+c=0的解，即二次函数y=ax₂+bx+c与x轴交点的横坐标.(1)抛物线与x轴有两个交点，则方程ax₂+bx+c=0有两个不相等的实数根，即b₂-4ac>0.(2)抛物线与x轴有且只有一个交点，则方程ax2+bx+c=0有两个的实数根，即b₂-4ac=0.(3)抛物线与x轴无交点，则方程ax₂+bx+c=0实数根，即b₂-4ac<0.2.二次函数与不等式的关系(1)ax₂+bx+c>0的解集，即y=ax₂+bx+c的图象位于x轴上方部分横坐标的取值范围.(2)ax₂+bx+c<0的解集，即y=ax₂+bx+c的图象位于x轴下方部分横坐标的取值范围.第四章几何初步与常见的几何图形第一节角、相交线与平行线基础知识梳理直线、线段1.两个基本事实(1)过两点一条直线(两点确定一条直线).(2)两点之间最短. 2.线段的中点：如图ACB,点C把线段AB分成相等的两条线段AC和BC,则点C叫1做线段AB的中点，即有AC=BC=2AB.3.线段的和与差：如图在线段AC上取一点B,则有：AB+=AC;AB4.两点间的距离：连接两点间的的角与角平分线1.角的分类分类锐角直角钝角平角周角2.角的换算度、分、秒的换算：1°=60',1′=60",角的度、分、秒是60进制的.3.余角和补角余角定义如果两个角的和等于，则这两个角互余性质补角定义如果两个角的和等于,则这两个角互补性质4.角平分线的性质(1)性质：角平分线上的点到角两边的距离如图，已知0C平分∠AOB,点P在(2)判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在,如图，点P在0C上，PM⊥0A相交线1.两条直线相交(如图)(2)邻补角2.三线八角(如图)5(1)同位角：∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与;(2)内错角：∠2与∠8,∠3与;(3)同旁内角：∠2与∠5,∠3与温馨提示(1)两个角有一条边共线是两个角是同位角、内错角、同旁内角的前提.(2)同位角、内错角、同旁内角示意图表示：(1)垂线性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短；③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度；(2)垂直平分线：①定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的相等；②逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上.平行线已知直线平行的推论如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也,即a//b,a//c,的性质(1)两直线平(2)两直线平行(3)两直线平行同位角相等；内错角相等：同旁内角互补命题与定理2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题.4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.第二节三角形及其性质[三边各不相等的三角形按边分类{等腰|三角形腰与底不相等的等腰三角形等边三角形直角三角形按角分类{锐角三角形钝角三角形一条边大于另外两边之差，小于另外两边之和.4.三角形具有稳定性.31.等腰三角形五线图形性质备注角平分线BA2DC内心：三角形的三条角平分线的交点，到三角形三边的距离中线ADD条中线的交点条高线的交点高线ADD中垂线AD 外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的A特殊三角形的性质与判定AAha性质(1)两腰相等，两个底角,简称“等边对等角";(2)顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称"三线合一";(3)是轴对称图形，有条对称轴：(4)两腰上的高、两腰上的中线、两底角的平分线分别相等；判定(1)定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形：(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”2.等边三角形性质判定(2)三内角相等，且每一个内角都等于60°;(3)是轴对称图形，有条对称轴：(4)具有等腰三角形的所有性质AAA(1)定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形：(2)三个角都相等的三角形是等边三角形：(3)有一个角等于的等腰三角形是等面积3.直角三角形(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则有a²十b²-:(1)有一个角为90°的三角形是直角三(3)勾股定理的逆定理：若a²+B²一，则以a.b.c为三边的三角形是直角三角形积边，c为斜边，h为斜边上的高)方法技巧突破一—几何“中点问题”七大模型模型1多个中点或平行+中点(中点在平分线上)出现时，常考虑构造三角形中位线模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质△ADE∽△ABC,解决线段之间的相等或比例关系及平行问题.模型2直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想斜边上的中线等于斜边的一半模型分析直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”可得)来解题，有时有直角无中点，要找中点，可简记为“直角+中点，等腰必呈现”.此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换.模型3等腰三角形中遇到底边的中点，常联想“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边的中点时，常作底边上的中线，利用等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到：∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,BD=CD(如图),解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.模型4遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质模型分析当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到：BE=CE(如图),证明线段间的数量关系.模型5中线等分三角形面积模型分析如图，AD是△ABC的中线，底同高的三角形).模型6遇到三角形一边的中点(中线或其他与中点有关的线段),考虑倍长中线法构造全等三角形模型分析当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系，该方法经常会与中位线定理一起综合应用.模型7遇到圆中弦(或弧)的中点，考虑垂径定理及圆周角定理模型分析(1)圆心0是直径的中点，常与已知中点连接，或过点0作一条弦的平行线或垂直构造中位线解题；(2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”,出现“四中点一垂直”解决相应问题；(3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”“垂径定理”解决相应问题.方法技巧突破二一角平分线问题三大模型模型1由角平分线上的点向两边作垂线模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为证明边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.(2)如图，∠1=∠2,∠3=∠4.求证：AP平分∠BAC模型2角平分线+平行线结论：△POQ是等腰三角形.为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切模型3角平分线+垂线结论：△AOB是等腰三角形.三角形，进而得到对应边、对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.第三节全等三角形线段(高、中线、角平分线),周长、面积全等三角形的判定1.判定定理已知条件全等的判定两角两边一角[找夹角→SAS已知两边{找直角→HL或SAS找第三边→SSs证题思路证题思路已知边为角的对边→找任一角→AAS一边和一找夹角的另一边→一边和一找夹边的另一角→ASA的邻边找边的对角→AAS找夹边→ASA已知两角找任一角的对边→AAS已知两角小编说事先找到已知条件，再证明其他需要配齐的条件.模型含对顶角含公共角ADADCADECADEBCDBC模型主主模型AADCBEAAD第四节图形的相似基础知识梳理中两条线段的比相等，那么这四条线段a,b,c,d是成比例的线段，简称比例线段.2.常用性质两内项之积等于两外项之积，即如等比性质略).d均不为0),那么ad=01bc(合比性质，平行线分线段成比例两条直线被一组平行几何语言表述或如图①,若AD//BE//或CF,则平行于三角形一边的推论边的延长线),所得的如图②,若DE//BC.等4B44①温馨提示如图③:3相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等，对应边2.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、周长的比，都等于相似三角形的判定方法1.于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.对应成比例的两个三角形相似.3.两边对应成比例且相等的两个三角形相似.4.两角分别_的两个三角形相似.5.斜边和一直角边对应的两个直角三角形相似.温馨提示找准对应角和对应边是正确解答三角形相似问题的关键.对应边、对应角的找法同全等三角形中对应边、对应角的找法一样(详见全等三角形一节).三角形相似的常见模型图形示例8字型DD(AB//CD)(AB不平行于CD,∠A=∠C或∠B=∠D)EEDA(DE//BC)(DE与BC不平行)型DAADDA2cD等角型2B3BE常以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等相似多边形的定义及性质1.定义：如果两个多边形的对应角分别相等，对应边,那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应角,对应边(2)相似多边形的周长的比等于,面积的比等于第五节直角三角形及其应用基础知识梳理锐角三角函数1.定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A为△ABC中的一锐角，则有：∠A的正弦：2.特殊角的三角函数值示意图反反a——1—解直角三角形(1)三边关系：勾股定理.(2)角的关系：两锐角互余.(3)边角关系：满足锐角三角函数.(4)解直角三角形：由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程叫做解直角三角4解直角三角形的实际应用1.相关概念俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯坡度坡角坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫坡度(坡比),用字母i表示；坡面与水平线的夹角a叫坡角.如图②方位角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度.如图③铅垂线视线仰角俯角水平线h视线北偏西45°CB(南偏东60)B(南偏东60)12.解直角三角形的常见模型温馨提示(1)读懂题意，把实际问题转化成数学问题，解直角三角形求解或构造直角三角形求解.(2)为了计算结果准确，应尽量使用原始数据，计算过程中，遇到不能除尽需要取近似值时，比题目最后的要求至少多保留一位.如：结果要求精确到0.1,中间需要取近似值时，至少精确到0.01.第六节多边形与平行四边形基础知识梳理多边形的性质1.一般多边形(n≥3)内角和等于(n-2)×180°,外角和等于从一个顶点可作条对角线，n边形对角线的总数2.正多边形正n边形的每一个内角每一个外角正n边形的边数等于360÷每个外角的度数，当n为奇数时，正n边形是轴对称图形，有条对称轴，当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有条，对称中心是正多边形的中心.平行四边形的性质和判定1.性质是对称图形.(1)两组对边分别的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别的四边形是平行四边形.(3)一组对边的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别的四边形是平行四边形.(5)对角线的四边形是平行四边形.温馨提示(1)性质、判定均是从边、角、对角线三方面定义，可分类记忆.(2)平行四边形的判定思路：先找到题目中直接给出的条件，再通过证明配齐其他条件，如：给出AB//CD,可证AB=CD或证AD//BC…(3)平行四边形中出现角平分线，必有等腰三角形.3.平行四边形的面积如图，(1)平行四边形的面积=底×高=CD·AE=(3)同底(等底)同高(等高)的平行四边形的面积相等.第七节特殊的平行四边形基础知识梳理矩形、菱形的性质与判定6ODC 性质边对边平行，四边都相等角四个直角对角相等，邻角互补对角线对角线互相对角线互相每条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，既是轴对称图形，判定(1)有三个角是直角(2)平行四边形十一个角是直角(3)平行四边形十(1)四条边都相等(2)平行四边形十一组邻(3)平行四边形十对角线互相垂直面积温馨提示(1)对比学习，效果更好.(2)矩形被对角线分成两组全等的等腰三角形，菱形被对角线分成四个全等的直角三角形.(3)菱形、矩形中出现30°,60°或120°等角时，常用到直角三角形或等边三角形的相关性质进行计算.(4)涉及到矩形的折叠问题，常用勾股定理建立方程.正方形的性质与判定ABaC性质边角四个角都是既是轴对称图形，又是中心对称图形判定矩形+邻边相等(或对角线互相垂直)菱形十一个角是90°(或对角线相等)面积(1)正方形中所有处于对称位置上的线、角、三角形都是全等的，这是证明问题的一个重要思考方向.(2)正方形被对角线分成四个全等的等腰直角三角形.第五章圆基础知识梳理圆的定义(1)在一个平面内，一条线段绕C着它固定的一个端点旋转一0BA周，另一个端点所形成的图形叫做圆；0BAD(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形弦连接圆上任意两点的,如AC,BC,CD直径直径是经过圆心的,是圆内最的弦，如CD弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧(如ABC)、半圆、劣弧(如AC,AD)之分，能够圆心角圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如等圆能够重合的两个圆叫做等圆同心圆圆心相同的圆叫做同心圆圆的周长和面积r为圆的半径)圆的性质1.圆是图形，其对称轴是2.圆是中心对称图形，对称中心为3.圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转角度，都能与原来的图形重合.4.过一点和两点均可作.个圆.过不在同一直线上的三点确定一个圆，“确定”指的是有且只有的意思.知识点3弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中定理相等的圆心角所对的相等，所对的也相等.推论(1)如果两条弧相等，那么它们所对的_相等，所对的也相等.若AB-CD,则∠AOB-(2)如果两条弦相等，那么它们所对的_ 相等，所对的相等.若AB=CD,则∠AOB=,圆周角定理及其推论定理0B一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 续表PPP.(1)同弧或等弧所对的圆周所对的弦是CAC0垂径定理及其推论AD0MCB垂直于弦的直径弦，并且弦所续表AD0MCB的推论直于弦，并且弦所对的两条弧温馨提示垂径定理及其推论的延伸：根据圆的对称性，在以下五个结论中：①AC=BC;②AD=BD;③AM=BM;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”.圆内接四边形的性质圆的内接四边形(1)性质定理1:圆内接四边形的对角(2)性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的如图，四边形ABCD内接于⊙0,则∠A+∠BCD=∠B+∠D=180°,∠DCE=∠A.第二节点、直线与圆的位置关系基础知识梳理点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系如下表所示：点与圆的位置关系图形d与r的大小关系点A在圆内AC点B在圆上点C在圆外温馨提示如图，圆内点P(非圆心)与圆上各点之间距离的最大值为PA,最小值为PB,圆外点M与圆上各点之间距离的最大值为MA,最小值为MB(均在该点与圆心连线所在的直线上).特别地，圆心是圆的一个特殊点，它到圆上各点的距离相等.知识点直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系相切相离图形0d0ddd的关系dd公共点名称交点切点无公共点的个数20判断直线与圆的位置关系的两种方法(2)看圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系.知识点3切线的性质与判定1.性质：圆的切线于过切点的半径.(1)“连半径，证垂直”:如果已知直线与圆相切于一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；(2)“作垂直，证相等”:如果已知条件中不能确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长.温馨提示“见切点，连圆心”是常用的作辅助线的方法.(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的条切线，它们的切线长,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA,PB分别切⊙0于A,B两点，则有PA=PB,∠APO名称三角形的外接圆三角形的内切圆图形AA0A0A0定义经过三角形各顶点形成的圆与三角形各边都相切的圆圆心O的交点)的交点)性质三角形的外心到三角形各个的距离三角形的内心到三角温馨提示(1)直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a,b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则外接圆的半径：内切圆的半径：(2)直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点.圆内接正多边形,设正n,第三节与圆有关的计算基础知识梳理知识点弧长与扇形面积的计算内容公式备注圆的周长(1)R为圆(扇形)的(2)n°为弧所对的圆心角的度数：(3)L是扇形的弧长圆的面积扇形的面积A0BT知识点开图的扇形的圆心角续表知识点性质(1)圆锥的侧面展开图是(2)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形(3)圆锥的等于其侧面展开图扇形的侧面积全面积阴影部分的面积的计算1.规则图形：直接利用公式.52.不规则图形：采用转化的思想，把不规则图形转化为规则图形.方法技巧突破一阴影部分面积的求法一整体作差法整体(或整体中的某一部分)为规则图形可求面积，空白也为规则图形可求面积，此时一般二和旋转有关的整体作差法整体面积为几部分之和，其中某一部分的面积和空白部分中某一部分的面积同样大，抵消后再计算，比较简单.如图，△ABC绕A点逆时针旋转得△ADE,则S=S-S=S+S-S三构造和差法先设法将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.如图.四分割求和法分割求和法是将不规则阴影部分面积通过作辅助线，分割成几个规则图形的面积.五等面积转化法通过对图形的平移、旋转、对称、割补等变换，为直接利用公式或用作差法创造条件.(一)割补转化法(二)等积转化此类题多利用同底等高的三角形面积相等进行转化.如图：第六章图形的变化基础知识梳理轴对称与轴对称图形定义区别直线折叠，如果能够与另一个图形合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是图形之间的位置关系如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的图形AB0D性质(1)对应点的连线被对称轴;(2)成轴对称的两个图形(1)常见的轴对称图形：菱形、矩形、等腰三角形、等腰梯形、圆、所有的正多边形.特别地平行四边形不是轴对称图形.(2)判断一个图形是否为轴对称图形，要看沿某一直线对折后两部分是否能够完全重合.知识点中心对称与中心对称图形中心对称中心对称图形定义转后，如果与另一图形成中心对称，这个点叫做对称中心转后，能与其自身中心对称图形，这个点叫做区别中心对称是指两个全等图形之问的相互位置关系中心对称图形是指具有图形0B性质(1)成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经(2)成中心对称的两个图形(2)判断一个图形是否为中心对称图形，只要将其绕一点旋转180°后，看能否与自身重合.特别地，奇数角个数的图案一律不是中心对称图形.方法突破精讲练一线段及线段和差最值问题常用图形在重庆中考经常出现在二次函数压轴题中.问题：两定点A,B位于直线I同侧，在直线I上找一点P,使得PA+PB值最小.问题：两定点A,B位于直线I同侧，在直线I上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.解决：根据三角形任意两边之差小于第三边，有|PA-PB|≤AB,则|PA-PB|的最大值为线解决：作点B关于直线I的对称点B',连接AB′并延长，与直线I的交点即为点P.6.一定点与两条直线上两动点问题解决：要使△PCD周长最小，即PC+PD+CD的值最小.根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可.分别作点P关于射线OA,OB的对称点P',P",连接P'P",分别交射线OA,OB于点C,D,点C,D即为所求，△PCD周长最小值即为线段P'P"的长.7.两定点与两条直线上两动点问题解决：分别作点P,Q关于射线OA,OB的对称点P',Q',连接P'Q',分别交0A,OB的最小值为P'Q′+PQ的值.问题：已知1/12,1,!之间距离为d,在直线!,I₂上分别找M,N两点，使得MN⊥I,且AM+MN+NB值最小.解决：根据两点之间线段最短，将点A向下平移d个单位得到A',连接A'B交直线I2于点N,过点N作NM⊥I,于M,则AM+MN+BN的最小值为A'B+MN.29.平移型问题问题：在直线I上找M,N两点(M在左),使得MN=d,且AM+MN+NB值最小.解决：根据两点之间线段最短，将点A向右平移d个单位到A',作A'关于直线I的对称点A",连接A"B交直线I于点N,将点N向左平移d个单位到M.则AM+MN+BN的最小值图形的平移与旋转基础知识梳理平移的和距离性质平移是全等变换，即平移前后两个图形经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移角相等图形FFBEHADG点平移规律：点左移、横坐标减；点右移，横坐标加；点上移，纵坐标加；点下移，纵坐标减.图形的旋转旋转中心、旋转方向和性质旋转前后的两个图形全等；对应点到旋转中心的相等，且等于旋转角图形0D温馨提示A(a,b)绕原点旋转90°得A',A'的坐标为(a,b)位置互换，符号看象限，如A(1,2)绕0顺时针转90°得A'的坐标为(-2,-1),绕0点逆时针转90°得A"的坐标为A"(-2,1).第三节视图与尺规作图基础知识梳理知识点投影1.投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，其中照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.2.平行投影：由形成的投影，如：物体在太阳光的照射下形成的影子.3.中心投影：由(同一点)点光源发出的光线形成的下形成的影子.三视图1.三视图三视图主视图物体的视图左视图在侧面内得到的由向观察物体的视图俯视图察物体的视图视图的画法(1)长对正：主视图与俯视图的长对正；高平与俯视图的宽相等几何体主视图左视图俯视图几何体主视图左视图俯视图长方体、正方体、圆柱……三视图略知识点几何体立体图形表面展开图侧面展开图圆柱圆锥三棱柱正方体(1)一四一型(2)二三一型(3)三三型(4)二二二型知识点尺规作图五种基本作图步骤示意图于已知线段a“)P