2024-2025学年新教材高中数学 第七章 复数 7.2.2 复数的乘、除运算（教学用书）教学实录 新人教A版必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第七章复数7.2.2复数的乘、除运算（教学用书）教学实录新人教A版必修第二册主备人备课成员教学内容本章节为“2024-2025学年新教材高中数学第七章复数7.2.2复数的乘、除运算”。主要内容包括复数乘法、除法的概念、法则、性质以及应用。通过学习本节课，学生能够掌握复数乘法、除法的计算方法，能够进行复数的乘法、除法运算，并能够应用所学知识解决一些实际问题。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过复数乘除运算的学习，学生能够抽象出复数运算的规律，发展逻辑推理能力；通过实际问题中的应用，学生能够将数学知识应用于解决实际问题，提升数学建模能力；同时，通过系统的计算训练，学生能够提高数学运算的准确性和效率。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了实数的运算、二次根式的基本概念和运算，以及复数的概念。他们能够进行实数的加减乘除运算，理解二次根式的性质，并初步接触了复数的概念，包括复数的表示方法和实部虚部的概念。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学学科普遍保持一定的兴趣，尤其是对抽象的数学概念和运算规则。他们的学习能力因人而异，部分学生可能具有较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够较快地理解复数乘除运算的规律。学习风格上，有的学生偏好通过直观图形理解概念，有的则更倾向于通过公式和逻辑推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习复数乘除运算时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是对复数乘除运算的符号规则感到混淆，尤其是在处理虚数单位i的幂次运算时；二是难以将复数运算与实数运算进行有效区分，容易在计算过程中出错；三是对于复数乘除运算的实际应用不够熟悉，难以将所学知识应用于解决实际问题。此外，部分学生可能对复数的几何意义理解不足，影响对复数运算的理解和应用。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的新人教A版必修第二册《数学》教材。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图表、动画视频，以帮助学生直观理解复数乘除运算的规则和性质。

3.教学工具：准备计算器，以便学生进行复数运算练习。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习和交流；同时，准备白板或投影仪，以便展示教学内容和学生的解题过程。教学过程一、导入新课

1.老师站在讲台前，微笑着向学生问好：“同学们，上一节课我们学习了复数的概念，那么今天我们来继续探究复数的乘除运算。”

2.老师在黑板上写下“复数的乘除运算”几个字，引导学生回顾上节课的内容：“大家还记得复数是如何表示的吗？它是如何与实数运算联系起来的呢？”

3.学生们纷纷举手回答：“复数是由实部和虚部组成的，实部与虚部之间用加号连接，虚部前面有一个虚数单位i。”

4.老师点头称赞：“很好，同学们记得很清楚。那么，今天我们就来学习如何进行复数的乘除运算。”

二、新课讲授

1.复数乘法

a.老师在黑板上列出复数乘法的公式：“(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。”

b.老师引导学生观察公式，提问：“大家看看这个公式，它与实数乘法有什么不同？”

c.学生回答：“实数乘法只关注实数部分，而复数乘法要考虑实部和虚部。”

d.老师继续提问：“那么，我们如何利用这个公式进行复数乘法运算呢？”

e.老师示范进行复数乘法运算：“比如，计算(2+i)(3+4i)。”

f.学生跟随老师一起计算，并总结出复数乘法的步骤。

2.复数除法

a.老师在黑板上列出复数除法的公式：“(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)。”

b.老师引导学生观察公式，提问：“大家看看这个公式，它与实数除法有什么不同？”

c.学生回答：“实数除法只关注实数部分，而复数除法要考虑实部和虚部。”

d.老师继续提问：“那么，我们如何利用这个公式进行复数除法运算呢？”

e.老师示范进行复数除法运算：“比如，计算(2+i)/(3+4i)。”

f.学生跟随老师一起计算，并总结出复数除法的步骤。

3.课堂练习

a.老师在黑板上给出几道复数乘除运算的练习题，让学生独立完成。

b.学生完成练习后，老师逐一检查学生的答案，并进行讲解。

4.小组讨论

a.老师将学生分成若干小组，每组讨论一个与复数乘除运算相关的问题。

b.学生在小组内交流讨论，分享自己的解题思路。

c.每组选派一名代表向全班同学汇报讨论成果。

三、课堂小结

1.老师在黑板上总结本节课的重点内容：“今天我们学习了复数的乘除运算，包括乘法和除法的公式、步骤以及注意事项。”

2.老师提问：“大家觉得复数乘除运算有什么特点？”

a.学生回答：“复数乘除运算要考虑实部和虚部，运算过程较为复杂。”

b.老师补充：“是的，复数乘除运算确实比较复杂，但只要掌握了方法和技巧，就可以轻松应对。”

3.老师强调：“希望大家在课后认真复习，多做练习，巩固所学知识。”

四、布置作业

1.老师在黑板上布置几道与复数乘除运算相关的作业题，要求学生在课后完成。

2.老师提醒：“作业题要独立完成，遇到困难可以请教同学或老师。”

3.学生认真记录作业内容，准备课后完成。

五、课后反思

1.老师在课后进行自我反思，总结本节课的教学效果。

2.老师思考如何改进教学方法，提高学生的学习兴趣和效果。

3.老师记录下学生的反馈意见，为今后的教学提供参考。拓展与延伸一、提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

1.**复数的几何意义**：推荐阅读《复数在几何中的应用》一文，探讨复数在平面几何中的应用，如通过复数表示点在复平面上的位置，以及利用复数进行旋转、缩放等几何变换。

2.**复数的物理应用**：《复数在物理科学中的应用》介绍了复数在波动理论、电磁学等领域的重要性，如波动方程的解可以用复数表示，有助于简化物理问题的分析和计算。

3.**复数的代数性质**：《复数代数性质探讨》一文深入分析了复数的代数性质，包括复数的乘法、除法、幂运算等，有助于学生更全面地理解复数的代数特性。

4.**复数与极坐标的关系**：《复数与极坐标的转换与应用》详细讲解了复数与极坐标之间的转换关系，以及如何在复数和极坐标之间进行转换，这对于理解复数在工程和物理中的应用非常有帮助。

二、鼓励学生进行课后自主学习和探究

1.**探究复数的性质**：引导学生思考复数的性质，如复数的平方、立方、四次幂等，以及这些性质在复数运算中的应用。

2.**复数在方程中的应用**：让学生尝试解决一些涉及复数的方程问题，如解复系数的二次方程，探讨复数根的性质。

3.**复数在三角函数中的应用**：鼓励学生探究复数在三角函数中的应用，如复数表示的三角函数的周期性和对称性。

4.**复数在计算机图形学中的应用**：介绍复数在计算机图形学中的角色，如复数用于生成图形的旋转、缩放和映射。

5.**复数在量子力学中的应用**：简要介绍复数在量子力学中的基本概念和方程，如薛定谔方程，激发学生对复数在科学领域应用的兴趣。典型例题讲解例题1：计算复数乘法(3+2i)(4-5i)。

解答：根据复数乘法的公式，我们有：

(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i

=(12-10)+(-15+8)i

=2-7i。

例题2：计算复数除法(5+12i)/(2+3i)。

解答：首先，我们需要将分母实部化，即乘以共轭复数：

(5+12i)/(2+3i)=(5+12i)(2-3i)/(2+3i)(2-3i)

=(10-15i+24i-36i^2)/(4-9i^2)

=(10+9i+36)/(4+9)

=(46+9i)/13

=46/13+9/13i。

例题3：求复数方程z^2-5z+6=0的解。

解答：这是一个二次方程，我们可以通过因式分解来解它：

z^2-5z+6=(z-2)(z-3)=0

因此，z=2或z=3。

例题4：求复数方程2z^2+3z+1=0的解。

解答：同样地，我们使用求根公式来解这个二次方程：

z=[-b±sqrt(b^2-4ac)]/(2a)

这里，a=2,b=3,c=1，所以：

z=[-3±sqrt(3^2-4*2*1)]/(2*2)

z=[-3±sqrt(9-8)]/4

z=[-3±sqrt(1)]/4

z=[-3±1]/4

所以，z=(-3+1)/4=-1/2或z=(-3-1)/4=-1。

例题5：计算复数幂(2+i)^5。

解答：我们可以通过二项式定理来计算这个幂，或者直接使用乘法来逐步计算：

(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i

(2+i)^3=(3+4i)(2+i)=6+12i+4i+4i^2=6+16i-4=2+16i

(2+i)^4=(2+16i)(2+i)=4+32i+16i+16i^2=4+48i-16=-12+48i

(2+i)^5=(-12+48i)(2+i)=-24-12i+96i+48i^2=-24+84i-48=-72+84i。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材中“复数的乘除运算”部分的所有练习题，确保理解并能够独立完成。

2.选择以下题目进行深入练习：

a.计算以下复数的乘法：(3+4i)(2-3i)和(5+2i)(-1+i)。

b.计算以下复数的除法：(4+3i)/(2-i)和(7-5i)/(1+2i)。

c.解以下复数方程：z^2-4z+5=0和z^2+2z-3=0。

3.尝试将复数的乘除运算应用于解决实际问题，如计算电路中的复数电流和电压。

4.回顾本节课学习的复数乘除运算的性质，尝试证明至少一个性质。

作业反馈：

1.作业批改：在学生提交作业后的第二天，进行作业批改。确保每份作业都得到及时的反馈。

2.个体反馈：对于每份作业，给出详细的评分和反馈。对于每个学生的作业，指出他们在复数乘除运算中的强项和需要改进的地方。

3.共性问题：总结作业