2024年甘肃省甘南州中考数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2024年甘肃省甘南州中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）的相反数是（）A． B． C．2024 D．﹣20242．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（）A． B． C． D．4．（3分）某小组8名学生的中考体育分数单位（分）如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（）A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，415．（3分）下列计算正确的是（）A．x6÷x2＝x3 B．5x3•3x5＝15x8 C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 D．5x﹣2x＝36．（3分）已知x，y为实数，若满足，则xy的值为（）A．5 B．6 C．8 D．97．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．88．（3分）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（）A．18° B．36° C．48° D．72°9．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上）11．（4分）分解因式：x3﹣x＝．12．（4分）民之所盼，我之所呼．人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为．13．（4分）若点P（3m+1，2﹣m）在x轴上，则点P的坐标是．14．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为．三、解答题（本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）（1）计算：（π﹣1）0+9tan30°|﹣3|；（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．16．（6分）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可．17．（8分）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）．18．（8分）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：（1）共调查了名学生，图2中A所对应的圆心角度数为；（2）请补全条形统计图；（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．19．（10分）如图，反比例函数与一次函数y＝2x+m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接AB，若OD＝1，求△ABC的面积．20．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝18，，求BE的长．一、填空题：每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上。21．（4分）若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2024+2a﹣b＝．22．（4分）若分式的值为0，则x的值为．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，点C的对应点是点C′．若AB＝4，EF＝2，则AD的长等于．24．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N，若点B的坐标为（4，2），△MON的面积是，则k的值为．25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为．二、解答题（本大题共3小题，共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）26．（8分）某网络经销商购进了一批A型钥匙扣和B型钥匙扣．已知购进A型钥匙扣50个、B型钥匙扣30个共需870元，购进A型钥匙扣30个、B型钥匙扣50个共需810元．（1）每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元？（2）该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个，投入资金不超过1000元，并将A型钥匙扣的售价定为每个20元，B型钥匙扣的售价定为每个15元，请问如何进货可以使该经销商获得最大利润？最大利润是多少元？27．（10分）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值；（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．（1）求此抛物线的表达式；（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．

2024年甘肃省甘南州中考数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BDDCBDBBAC一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）的相反数是（）A． B． C．2024 D．﹣2024【解答】解：的相反数是．故选：B．2．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．3．（3分）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（）A． B． C． D．【解答】解：俯视图为是．故选：D．4．（3分）某小组8名学生的中考体育分数单位（分）如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（）A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，41【解答】解：将这组数据排列为39，40，40，42，42，42，43，44，所以这组数据的众数为42，中位数为42，故选：C．5．（3分）下列计算正确的是（）A．x6÷x2＝x3 B．5x3•3x5＝15x8 C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 D．5x﹣2x＝3【解答】解：A、x6÷x2＝x4，故A不符合题意；B、5x3•3x5＝15x8，故B符合题意；C、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故C不符合题意；D、5x﹣2x＝3x，故D不符合题意；故选：B．6．（3分）已知x，y为实数，若满足，则xy的值为（）A．5 B．6 C．8 D．9【解答】解：∵，，∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，∴x＝3，∴，∴xy＝32＝9．故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由作图知，AF⊥BC，∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．∴ABAC＝4，∵AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∴，故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（）A．18° B．36° C．48° D．72°【解答】解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°−18°＝72°，∴∠D＝180°﹣72°×2＝36°．故选：B．9．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，故选：A．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，∴abc＜0，所以①正确，符合题意；②当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确，不符合题意；③对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确，符合题意；④，则，而a﹣b+c＜0，则，2c＜3b，所以④正确，符合题意；⑤开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤错误，不符合题意．故①③④正确，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上）11．（4分）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．12．（4分）民之所盼，我之所呼．人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为5.81×106．【解答】解：5810000＝5.81×106，故答案为：5.81×106．13．（4分）若点P（3m+1，2﹣m）在x轴上，则点P的坐标是（7，0）．【解答】解：∵点P（3m+1，2﹣m）在x轴上，∴2﹣m＝0，解得m＝2，把m＝2代入3m+1，得3m+1＝3×2+1＝7，∴P（7，0），故答案为：（7，0）．14．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为π．【解答】解：如图，连接OA、OD、OC，∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，∴∠DOC＝36°，∴弧CD的长为．故答案为：π．三、解答题（本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）（1）计算：（π﹣1）0+9tan30°|﹣3|；（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）原式＝1+93﹣（﹣2）＝13+2＝6；（2），解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣4，故不等式组的解集为﹣4＜x≤2．将解集表示在数轴上如下：．16．（6分）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可．【解答】解：原式，∵﹣2≤x≤2，且x≠0，±2，∴整数x＝1或﹣1，∴当x＝1时，原式（答案不唯一）．17．（8分）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CE于点F，∴四边形AGCF是矩形，∴AG＝CF，GC＝AF，∵AB＝5m，BC＝4m，∠BAG＝16°，∴AG＝ABcos∠GAB＝5×cos16°≈5×0.96＝4.8（m），BG＝ABsin∠GAB＝5×sin16°≈5×0.28＝1.4（m），∴CF＝4.8（m），CG＝4﹣1.4＝2.6（m），∴AF＝2.6（m），∵∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝2.6（m）∴CD＝CF﹣DF＝4.8﹣2.6＝2.2（m）．18．（8分）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：（1）共调查了50名学生，图2中A所对应的圆心角度数为144°；（2）请补全条形统计图；（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）共调查的学生人数为：10÷20%＝50（名），∴图2中A所对应的圆心角度数为：360°144°，故答案为：50，144°；（2）D的人数为：50×10%＝5（人），∴C的人数为：50﹣20﹣10﹣5＝15（人），补全条形统计图如下：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．19．（10分）如图，反比例函数与一次函数y＝2x+m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接AB，若OD＝1，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数图象上，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为：y，∵y＝2x+m的图象过点A（1，4），∴4＝2×1+m．解得m＝2，∴一次函数解析式为：y＝2x+2．（2）将y＝1代入y得x＝4，∴B（4，1），将y＝1代入y＝2x+2得x，∴C（，1），∴BC＝4﹣（），∴S△ABC（4﹣1）．20．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝18，，求BE的长．【解答】解：（1）DE为⊙O的切线，理由为：证明：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝CB，∴点D为AC的中点，∵点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∴∠ODE＝∠DFC，∵DE⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点，∴DE为⊙O的切线；（2）∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠A+∠OBD＝90°，∠BDE+∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDE，即sinA＝sin∠BDE，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，sinA，AB＝18，∴BD＝ABsinA＝186，在Rt△BDF中，sin∠BDE，BD＝6，∴BF＝BDsin∠BDE＝62，∵BF∥OD，∴∠FBE＝∠DOE，∠EFB＝∠EDO，∴△BEF∽△OED，∴，即，∴，解得：BE．一、填空题：每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上。21．（4分）若二次函数y＝ax2﹣bx﹣1的图象经过点（2，1），则2024+2a﹣b＝2025．【解答】解：将（2，1）代入y＝ax2﹣bx﹣1得4a﹣2b﹣1＝1，∴2a﹣b＝1，∴2024+2a﹣b＝2024+1＝2025．故答案为：2025．22．（4分）若分式的值为0，则x的值为﹣2．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得：x＝﹣2，故答案为：﹣2．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，点C的对应点是点C′．若AB＝4，EF＝2，则AD的长等于8．【解答】解：过点F作FM⊥AD交于点M，由折叠可知，BE＝ED，CD＝C'B，CF＝C'F，∵AB＝4，∴BC'＝4，MF＝4，∵EF＝2，∴EM2，设CF＝x，则C'F＝x，BE＝2+x，∵∠C'＝∠C＝90°，在Rt△C'BF中，BF，在Rt△ABF中，AE，∵AE+EM＝BF，∴2，解得x＝3，∴BF＝5，CF＝3，∴AD＝8，故答案为：8．方法2：过点F作FM⊥AD交于点M，由折叠可知，BE＝ED，CD＝C'B，CF＝C'F，∵AB＝4，∴BC'＝4，MF＝4，∵EF＝2，∴EM2，设AE＝x，则AM＝2+x，∵BE＝BF，∴BE＝2+x，在Rt△ABE中，（2+x）2＝32+x2，解得x＝3，∴BF＝5，CF＝3，∴AD＝8，故答案为：8．24．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N，若点B的坐标为（4，2），△MON的面积是，则k的值为2．【解答】解：由题意可知点M的坐标为（4，），点N的坐标为（，2，），则BM＝2，BN＝4，由反比例函数k值的几何意义可得：S△OCN+S△OAM＝k，∴S△BMN＝S矩形OABC﹣k，8﹣k，解得：k＝2．故答案为：2．25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为（1010，0）．【解答】解：根据题意可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），……可得坐标规律为：A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），A4n+3（2n+1，0），∵2020＝4×505，∴点A2020的坐标为（1010，0），故答案为：（1010，0）．二、解答题（本大题共3小题，共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）26．（8分）某网络经销商购进了一批A型钥匙扣和B型钥匙扣．已知购进A型钥匙扣50个、B型钥匙扣30个共需870元，购进A型钥匙扣30个、B型钥匙扣50个共需810元．（1）每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元？（2）该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个，投入资金不超过1000元，并将A型钥匙扣的售价定为每个20元，B型钥匙扣的售价定为每个15元，请问如何进货可以使该经销商获得最大利润？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设每个A型钥匙扣进价x元，B型钥匙扣的进价为y元，根据题意得：，解得：，答：每个A型钥匙扣进价12元，B型钥匙扣的进价为9元．（2）设购进A型钥匙扣a个，则B型钥匙扣（100﹣a）件，利润为W元，根据题意得：W＝（20﹣12）a+（15﹣9）（100﹣a），即：W＝2a+600，∵12a+9（100﹣a）≤1000，∴，且a为非负整数，∵2＞0，∴W随着a的增大而增大，∴当a＝33时，W最大，最大值为：2×33+600＝666，∴该经销商应购进A型钥匙扣33个，B型钥匙扣67个，可获得最大利润，最大利润为666元．27．（10分）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值；（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线